Mavzu : Funksiyaning



Download 3.89 Mb.
bet3/5
Sana29.08.2021
Hajmi3.89 Mb.
1   2   3   4   5

Yechish.


lim(3х + 1) = 3 × 2 + 1 = 7 ¹ 0 . Shuning uchun:

x®2
х +


x®2
lim 2 х + 3 = lim (2

3) 2 × 2 + 3 7

= =


= 1.

x®2 3х + 1

lim (3х + 1)

x®2

3 × 2 + 1 7



  1. misol. lim х + 1

x®3 х - 3
ni toping.

Yechish.



Suratning limiti

lim(х - 3) = 3 - 3 = 0



x®3
lim(х + 1) = 3 + 1 = 4 ¹ 0

x®3

bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi. bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini

topamiz:


lim х - 3 = lim (х


x®3

-
+

3) 3 - 3 0

= = = 0 .

+


x®3 х + 1

lim (х 1)

x®3

3 1 4




Bundan

lim х + 1 = ¥

x®3 х - 3
kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz

katta funksiya bo’ladi.

Teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha х lar uchun у=f(x) ³ 0 va

lim f (x) = b

x®а

(b-chekli son) bo’lsa, u holda

b ³ 0

bo’ladi.

Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya‘ni

lim f (x) = b

x®а

bo’lib b<0 bo’lsin. U holda |f(х)-

b| ³ |b|>0 bo’lishi ravshan. Oxirgi tengsizlik f(х)-b ayirmaning nolga intilmasligini, ya‘ni b son f(x)

funksiyaning

х ® a dagi limiti emasligini ko’rsatadi. Bu teoremaning shartiga zid, binobarin b<0

degan faraz shu ziddiyatga olib keldi. Demak, f(x) ³ 0

bo’lsa


lim f (x) ³ 0

x®а

bo’lar ekan.


Shunga o’xshash limitga ega
mumkin.

f (x) £ 0

funksiya uchun

lim f (x) £ 0

x®а

bo’lishini isbotlash



Boshqacha aytganda nomanfiy funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti manfiy son bo’laolmas ekan va nomusbat funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti musbat son bo’laolmas ekan.

Teorema. Agar

х ® а

da limitga ega



f1(x) va

f2 (x)

funksiyaning mos qiymatlari

uchun

f1(x) ³

f2 (x) tengsizlik bajarilsa, u holda

lim

x ®а

f1(x) ³ lim

x ®а

f2 (x)

bo’ladi.


Isboti. Shartga ko’ra

f1(x) ³

f2 (x) , bundan

f1(x) - f2 (x) ³ 0. Oldingi teoremaga binoan

lim [ f1(x) - f2 (x) ] ³ 0 yoki

x ®а

lim

x ®а

f1(x) - lim

x ®а

f2 (x) ³ 0. Bundan

lim

x ®а

f1(x) ³ lim

x ®а

f2 (x)

tengsizlik kelib

chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Bu teoremaga ko’ra tengsizlikda limitga utish mumkin ekan.

Teorema (oraliq funksiyaning limiti haqida). Agar u(x), v(x) va z(x) funksiyalarning mos

qiymatlari uchun u(x) £ v(x) £ z(x) tengsizliklar bajarilsa va

lim u(x)= lim z(x)=b bo’lsa, u holda


lim v(x)=b bo’ladi.

x ®а

x ®а

x ®а

Isboti. Shartga ko’ra lim u(x)=b va lim z(x)=b, demak istalgan e >0 son uchun а nuqtaning

x ®а

x ®а


d1 -atrofi mavjudki, undagi barcha х lar uchun

| u(x) - b |< e



tengsizlik bajariladi. Shunga

o’xshash shu e >0 son uchun а ning

d 2 -atrofi mavjud bo’lib undagi barcha х lar uchun

| z(x) - b |< e

tengsizlik bajariladi. Agar d orqali

d1 va d 2

sonlarning kichigini belgilasak а

nuqtaning d -atrofidagi barcha х lar uchun Bular

| u(x) - b |< e

va | z(x) - b |< e

tengsizlik bajariladi.


- e < u(x) - b < e

tengsizliklarga teng kuchli.

va - e < z(x) - b < e



(17.1)

Endi teorema shartidagi u(x) £ v(x) £ z(x) tengsizliklarni unga teng kuchli b £ z(x) - b tengsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil b son ayirildi).

u(x) - b £ v(x)-

Bunga (17.1) tengsizliklarni qo’llasak

- e < u(x) - b £ v(x)-b £ z(x) - b < e



yoki bundan

- e <v(x)-b < e

tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib а nuqtaning d -atrofidagi barcha х lar

uchun - e <v(x)-b < e

tengsizlik o’rinli ekan.


Bu lim v(x)=b ekanini bildiradi.

x ®а

Bu teoremani hazillashib «Ikki militsioner haqidagi teorema» deb atashadi. Nima uchun shunday deb atalishini o’ylab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz.

  1. misol. lim sin x = 0

x®0

isbotlansin.



Yechish. Radiusi 1 ga teng aylanani qaraymiz.




  1. chizmadan: x>0 bo’lsa

АС = sin x ; АС= sin x ,

ОА

(








АВ =х


В
(markaziy burchak o’zi tiralgan yoy bilan o’lchanadi), AC< А (

yoki

sin x <x ekani ayon bo’ladi. x<0 bo’lganda | sin x |<|x|

bo’lishi ravshan.

Shunday qilib x>0 uchun 0< sin x <x va x<0



uchun 0<| sin x |<|x| tengsizliklarga ega bo’ldik.
lim 0 = lim x = 0


87-chizma. ekanligini hisobga olsak 17.6-


teoremaga binoan
lim sin x = 0

x®0

x®0
ekanligi kelib chiqadi.

x®0

    1. misol. lim sin x = 0

isbotlansin.




Yechish.


x®0

0 <

2

sin x

< sin x

ekani ravshan.



lim 0 = lim sin x = 0

bo’lgani uchun 17.6-

2 x®0

x®0


teoremaga binoan lim sin x = 0

yoki lim sin x = 0
kelib chiqadi.

x®0 2

x®0 2

    1. misol. lim соsx = 1

x®0

ekanligi isbotlansin.

Yechish.


æ

2 s i 2n х = 1 - с o xs



2

х ö
yoki
х

сos x = 1 - 2sin 2 х

2
ekanligini e‘tiborga olsak

lim сos x = lim ç1- 2sin2 ÷ =

1- 2lim sin2 = 1 - 2 × 02 = 1

hosil bo’ladi.



x®0

x®0 è

2 ø x®0 2

Birinchi ajoyib limit


sin x x

funksiya faqat х=0 nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada kasrning surati ham,

mahraji ham 0 ga aylanib uni o’zi

0 ko’rinishga ega bo’ladi. Shu funksiyaning

0

х ® 0

dagi

limitini topamiz. Bu limit birinchi ajoyib limit deb ataladi.

Teorema.


sin x x

funksiya

х ® 0 da 1 ga teng limitga ega.

æ

ç 0,

è

Isboti. Radiusi 1 ga teng aylana olib АОВ markaziy burchakni х bilan belgilaymiz va u


÷
p ö intervalda yotadi deb faraz qilamiz (87-chizma).

2 ø



Chizmadan ko’rinib turibdiki,

D АОВ yuzi<АОВ sektor yuzi< D DOB yuzi (17.2).




Biroq, D АОВ yuzi = 1 ОА× ОВ × sin x = 1 ×1×1sin x = 1 sin x
(uchburchakning yuzi ikki tomoni va

2 2 2

ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining yarmiga teng).




АОВ sektor yuzi =

1 ОВ2 × АВ = 1 ×12 × х = 1 x ,


(
2 2 2

D DOB yuzi = 1 ОВ × ВD = 1 ОВ × BD = 1 ×1× tgx = 1 tg x .

2 2 1 2 2


Shu sababli (17.2) tengsizliklar



1 sin x < 1 x < 1 tgx
ko’rinishni yoki

1 ga qisqartirilgandan so’ng

2 2 2

2

æ p ö



sin x < x < tgx

ko’rinishni oladi. Buning barcha hadlarini sinx>0 ga bo’lamiz

ç 0 < x <

è

÷ . U



2 ø

holda 1<



х


sin x

< 1

сos x
yoki

1> sin x > сos x

x


tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklar x>0 deb faraz qilinib chiqarildi.

sin (-x) = sin x ,
сos(- x) = сosx
ekanligini e‘tiborga olib, bu tengsizliklar x<0 bo’lganda ham

(- x) x


to’g’ri degan xulosaga kelamiz. Ammo lim1 = 1 va

x®0

lim соsx = 1.

x®0


Demak,

sin x x
funksiya shunday ikki funksiya orasidaki, ularning ikkalasi ham bir xil 1 ga

teng limitga intiladi. Shuning uchun oraliq funksiyaning limiti haqidagi 16.6-teoremaga binoan


oraliqdagi

sin x x
funksiya ham ana shu 1 limitga intiladi, ya‘ni
lim

x ®0

sin x =1.

x

у = sin x

x

funksiyaning grafigi 88-chizmada tasvirlangan.

sin x

    1. misol. lim

tg x = lim


cos x = lim

sin x

1 = lim

sin x lim

1 =1× 1 = 1.

x ®0 x

x ®0 x

x ®0

x cos x

x ®0

x x ®0

cos x 1




    1. misol. lim

sin mx = lim

m × sin mx =m lim

sin mx =m×1=m (m-o’zgarmas son).

x ®0 x

x ®0

mx x ®0 mx



    1. misol. lim


sina x = lim

sin a x




x =
lim

x ®0

sina x x
= a .

x ®0

sin bx

x ®0

sin bx

lim sin bx b

x x®0 x




88-chizma.



Download 3.89 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
maxsus ta’lim
O’zbekiston respublikasi
zbekiston respublikasi
axborot texnologiyalari
o’rta maxsus
guruh talabasi
nomidagi toshkent
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
xorazmiy nomidagi
toshkent axborot
pedagogika instituti
rivojlantirish vazirligi
haqida tushuncha
toshkent davlat
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
matematika fakulteti
tashkil etish
samarqand davlat
ta’limi vazirligi
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
vazirligi muhammad
fanining predmeti
pedagogika universiteti
bilan ishlash
Darsning maqsadi
navoiy nomidagi
o’rta ta’lim
nomidagi samarqand
fizika matematika
Ishdan maqsad
haqida umumiy
fanlar fakulteti
sinflar uchun
maxsus ta'lim
ta'lim vazirligi
universiteti fizika
Nizomiy nomidagi
Ўзбекистон республикаси
moliya instituti
Referat mavzu
umumiy o’rta
Toshkent axborot
Alisher navoiy
respublikasi axborot
таълим вазирлиги
nazorat savollari
Samarqand davlat