Mavzu : Funksiyaning



Download 3,89 Mb.
bet3/5
Sana29.08.2021
Hajmi3,89 Mb.
#158845
1   2   3   4   5
Bog'liq
sonli ketma ketlik va uning limiti funksiya limiti va uzluksizligi referat

Yechish.


lim(3х + 1) = 3 × 2 + 1 = 7 ¹ 0 . Shuning uchun:

x®2
х +


x®2
lim 2 х + 3 = lim (2

3) 2 × 2 + 3 7

= =


= 1.

x®2 3х + 1

lim (3х + 1)

x®2

3 × 2 + 1 7



  1. misol. lim х + 1

x®3 х - 3
ni toping.

Yechish.



Suratning limiti

lim(х - 3) = 3 - 3 = 0



x®3
lim(х + 1) = 3 + 1 = 4 ¹ 0

x®3

bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi. bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini

topamiz:


lim х - 3 = lim (х


x®3

-
+

3) 3 - 3 0

= = = 0 .

+


x®3 х + 1

lim (х 1)

x®3

3 1 4




Bundan

lim х + 1 = ¥

x®3 х - 3
kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz

katta funksiya bo’ladi.

Teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha х lar uchun у=f(x) ³ 0 va

lim f (x) = b

x®а

(b-chekli son) bo’lsa, u holda

b ³ 0

bo’ladi.

Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya‘ni

lim f (x) = b

x®а

bo’lib b<0 bo’lsin. U holda |f(х)-

b| ³ |b|>0 bo’lishi ravshan. Oxirgi tengsizlik f(х)-b ayirmaning nolga intilmasligini, ya‘ni b son f(x)

funksiyaning

х ® a dagi limiti emasligini ko’rsatadi. Bu teoremaning shartiga zid, binobarin b<0

degan faraz shu ziddiyatga olib keldi. Demak, f(x) ³ 0

bo’lsa


lim f (x) ³ 0

x®а

bo’lar ekan.


Shunga o’xshash limitga ega
mumkin.

f (x) £ 0

funksiya uchun

lim f (x) £ 0

x®а

bo’lishini isbotlash



Boshqacha aytganda nomanfiy funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti manfiy son bo’laolmas ekan va nomusbat funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti musbat son bo’laolmas ekan.

Teorema. Agar

х ® а

da limitga ega



f1(x) va

f2 (x)

funksiyaning mos qiymatlari

uchun

f1(x) ³

f2 (x) tengsizlik bajarilsa, u holda

lim

x ®а

f1(x) ³ lim

x ®а

f2 (x)

bo’ladi.


Isboti. Shartga ko’ra

f1(x) ³

f2 (x) , bundan

f1(x) - f2 (x) ³ 0. Oldingi teoremaga binoan

lim [ f1(x) - f2 (x) ] ³ 0 yoki

x ®а

lim

x ®а

f1(x) - lim

x ®а

f2 (x) ³ 0. Bundan

lim

x ®а

f1(x) ³ lim

x ®а

f2 (x)

tengsizlik kelib

chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Bu teoremaga ko’ra tengsizlikda limitga utish mumkin ekan.

Teorema (oraliq funksiyaning limiti haqida). Agar u(x), v(x) va z(x) funksiyalarning mos

qiymatlari uchun u(x) £ v(x) £ z(x) tengsizliklar bajarilsa va

lim u(x)= lim z(x)=b bo’lsa, u holda


lim v(x)=b bo’ladi.

x ®а

x ®а

x ®а

Isboti. Shartga ko’ra lim u(x)=b va lim z(x)=b, demak istalgan e >0 son uchun а nuqtaning

x ®а

x ®а


d1 -atrofi mavjudki, undagi barcha х lar uchun

| u(x) - b |< e



tengsizlik bajariladi. Shunga

o’xshash shu e >0 son uchun а ning

d 2 -atrofi mavjud bo’lib undagi barcha х lar uchun

| z(x) - b |< e

tengsizlik bajariladi. Agar d orqali

d1 va d 2

sonlarning kichigini belgilasak а

nuqtaning d -atrofidagi barcha х lar uchun Bular

| u(x) - b |< e

va | z(x) - b |< e

tengsizlik bajariladi.


- e < u(x) - b < e

tengsizliklarga teng kuchli.

va - e < z(x) - b < e



(17.1)

Endi teorema shartidagi u(x) £ v(x) £ z(x) tengsizliklarni unga teng kuchli b £ z(x) - b tengsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil b son ayirildi).

u(x) - b £ v(x)-

Bunga (17.1) tengsizliklarni qo’llasak

- e < u(x) - b £ v(x)-b £ z(x) - b < e



yoki bundan

- e <v(x)-b < e

tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib а nuqtaning d -atrofidagi barcha х lar

uchun - e <v(x)-b < e

tengsizlik o’rinli ekan.


Bu lim v(x)=b ekanini bildiradi.

x ®а

Bu teoremani hazillashib «Ikki militsioner haqidagi teorema» deb atashadi. Nima uchun shunday deb atalishini o’ylab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz.

  1. misol. lim sin x = 0

x®0

isbotlansin.



Yechish. Radiusi 1 ga teng aylanani qaraymiz.




  1. chizmadan: x>0 bo’lsa

АС = sin x ; АС= sin x ,

ОА

(








АВ =х


В
(markaziy burchak o’zi tiralgan yoy bilan o’lchanadi), AC< А (

yoki

sin x <x ekani ayon bo’ladi. x<0 bo’lganda | sin x |<|x|

bo’lishi ravshan.

Shunday qilib x>0 uchun 0< sin x <x va x<0



uchun 0<| sin x |<|x| tengsizliklarga ega bo’ldik.
lim 0 = lim x = 0


87-chizma. ekanligini hisobga olsak 17.6-


teoremaga binoan
lim sin x = 0

x®0

x®0
ekanligi kelib chiqadi.

x®0

    1. misol. lim sin x = 0

isbotlansin.




Yechish.


x®0

0 <

2

sin x

< sin x

ekani ravshan.



lim 0 = lim sin x = 0

bo’lgani uchun 17.6-

2 x®0

x®0


teoremaga binoan lim sin x = 0

yoki lim sin x = 0
kelib chiqadi.

x®0 2

x®0 2

    1. misol. lim соsx = 1

x®0

ekanligi isbotlansin.

Yechish.


æ

2 s i 2n х = 1 - с o xs



2

х ö
yoki
х

сos x = 1 - 2sin 2 х

2
ekanligini e‘tiborga olsak

lim сos x = lim ç1- 2sin2 ÷ =

1- 2lim sin2 = 1 - 2 × 02 = 1

hosil bo’ladi.



x®0

x®0 è

2 ø x®0 2

Birinchi ajoyib limit


sin x x

funksiya faqat х=0 nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada kasrning surati ham,

mahraji ham 0 ga aylanib uni o’zi

0 ko’rinishga ega bo’ladi. Shu funksiyaning

0

х ® 0

dagi

limitini topamiz. Bu limit birinchi ajoyib limit deb ataladi.

Teorema.


sin x x

funksiya

х ® 0 da 1 ga teng limitga ega.

æ

ç 0,

è

Isboti. Radiusi 1 ga teng aylana olib АОВ markaziy burchakni х bilan belgilaymiz va u


÷
p ö intervalda yotadi deb faraz qilamiz (87-chizma).

2 ø



Chizmadan ko’rinib turibdiki,

D АОВ yuzi<АОВ sektor yuzi< D DOB yuzi (17.2).




Biroq, D АОВ yuzi = 1 ОА× ОВ × sin x = 1 ×1×1sin x = 1 sin x
(uchburchakning yuzi ikki tomoni va

2 2 2

ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining yarmiga teng).




АОВ sektor yuzi =

1 ОВ2 × АВ = 1 ×12 × х = 1 x ,


(
2 2 2

D DOB yuzi = 1 ОВ × ВD = 1 ОВ × BD = 1 ×1× tgx = 1 tg x .

2 2 1 2 2


Shu sababli (17.2) tengsizliklar



1 sin x < 1 x < 1 tgx
ko’rinishni yoki

1 ga qisqartirilgandan so’ng

2 2 2

2

æ p ö



sin x < x < tgx

ko’rinishni oladi. Buning barcha hadlarini sinx>0 ga bo’lamiz

ç 0 < x <

è

÷ . U



2 ø

holda 1<



х


sin x

< 1

сos x
yoki

1> sin x > сos x

x


tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklar x>0 deb faraz qilinib chiqarildi.

sin (-x) = sin x ,
сos(- x) = сosx
ekanligini e‘tiborga olib, bu tengsizliklar x<0 bo’lganda ham

(- x) x


to’g’ri degan xulosaga kelamiz. Ammo lim1 = 1 va

x®0

lim соsx = 1.

x®0


Demak,

sin x x
funksiya shunday ikki funksiya orasidaki, ularning ikkalasi ham bir xil 1 ga

teng limitga intiladi. Shuning uchun oraliq funksiyaning limiti haqidagi 16.6-teoremaga binoan


oraliqdagi

sin x x
funksiya ham ana shu 1 limitga intiladi, ya‘ni
lim

x ®0

sin x =1.

x

у = sin x

x

funksiyaning grafigi 88-chizmada tasvirlangan.

sin x

    1. misol. lim

tg x = lim


cos x = lim

sin x

1 = lim

sin x lim

1 =1× 1 = 1.

x ®0 x

x ®0 x

x ®0

x cos x

x ®0

x x ®0

cos x 1




    1. misol. lim

sin mx = lim

m × sin mx =m lim

sin mx =m×1=m (m-o’zgarmas son).

x ®0 x

x ®0

mx x ®0 mx



    1. misol. lim


sina x = lim

sin a x




x =
lim

x ®0

sina x x
= a .

x ®0

sin bx

x ®0

sin bx

lim sin bx b

x x®0 x




88-chizma.



Download 3,89 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish