Mavzu : Funksiyaning

3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi

Teorema. Agar

f (x)

funksiyaning а nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda у= f (x)

funksiya а nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.

Isboti.

lim f (x) = b

x®a

chekli son bo’lsin. U holda limitni ta‘rifiga binoan istalgan

e > 0

son

uchun shunday

d > 0

son topilib ( a - d , a + d ) intervaldagi barcha х lar uchun

f (x) - b < e

yoki

f (x) - b £

f (x) - b < e , bundan

f (x) < b + e

bo’lishi kelib chiqadi. Agar

M = b + e

deb olinsa а nuqtaning d -atrofidagi barcha х lar uchun

f (x) £ M

tengsizlik bajariladi. Bu

f (x) funksiya ( a - d , a + d ) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.

Agar
f (x)
funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda

1


f (x)

funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz.

Bir tomonlama limitlar

Ta„rif. Agar

f (x)

funksiyaning х=а nuqtadagi limitining ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan

kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b₁ limiti uning х=а nuqtadagi (yoki

x ® a -0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va

b₁ = lim f (x) , yoki

x®a

x<a

b₁ =

lim

x®a -0

f (x) , yoki

b₁ =

f (a - 0) kabi yoziladi.

Agar а=0 bo’lsa, u holda b₁

= lim

x®-0

f (x) = f (-0) kabi yoziladi.

Ta„rif. Agar

f (x)

funksiyaning х=а nuqtadagi limiti ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan katta

bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b₂

limiti uning х=а nuqtadagi (yoki

x ® a +0 dagi) o‟ng tomonlama limiti deb ataladi va

b₂ = lim f (x)

x®a

x >a

yoki

b₂ =

lim

x®a +0

f (x) , yoki

b₂ =

f (a + 0)

kabi yoziladi.

Agar а=0 bo’lsa, u holda b₂

= lim

x®+0

f (x) = f (+0) kabi yoziladi.

f (x)

funksiyaning х=а nuqtadagi chap

va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama

limitlar deb ataladi.

b₁ = b₂

bo’lsa, u holda

f (x)

funksiya х=а nuqtada limitga ega.

Aksincha,
f (x)

86-chizma.

funksiyaning а nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni

f (a - 0) = f (a + 0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya а nuqtada limitga ega bo’ladi.

Masalan,

ì ^1,

í
f (x) = signx = ^ï 0,

ï
аgаr аgаr

x > 0

x = 0

bo' lsа, bo'lsа,

_î- 1,

аgаr

x < 0

bo' lsа

funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki

f (-0) =-1,

f (+0) =1 va

f (-0) ¹

f (+0) (86-chizma).

Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega.

4. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.

Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz.

Bunda isbot faqatgina

х ® а

hol uchun o’tkaziladi ( х ® ¥

da shunga o’xshash

isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun,

х ® а

ni ham,

х ® ¥ ni ham yozmaymiz.

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni

lim(u₁(x) + u₂ (x) + ... + u_n (x)) = lim u₁(x) + lim u₂ (x) + ... + lim u_n (x) _.

Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz.

lim u₁(x) = а ,

lim u₂ (x) = b

bo’lsin. U holda

lim (u₁(x) + u₂ (x)) = a + b

tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz.

Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan

u₁ = a +a,

u₂ = b + b

deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi α, β- cheksiz kichik funksiyalar.

Demak,

u₁ + u₂ = (a +a )+ (b + b ) = (a + b)+ (a + b ). Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, α+β-

cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak

lim (u₁ + u₂ ) = a + b = lim u₁ + lim u₂

ekanligi kelib chiqadi.

2
1-misol. lim <sup>x

- 4</sup> = lim ^{(x - 2)(x + 2)} = lim(x + 2) = lim x + lim 2 = 2 + 2 = 4 .

x®2

x - 2

4

x®2

2

x - 2

_æ 4 2 _ö

x®2
æ

x®2
ö

x®2

2-misol.

lim ^x

• 
  5x
  

= lim

x _- 5x

^{= lim}ç^{1 -}

5 5

÷ ^{= lim1 - lim}

= 1 - 0 = 1 .

x®¥ _x⁴

x®¥^çç _x<sup>4

4</sup> ÷^÷

x _ø

x®¥<sub>è

x</sub>2 _ø

x®¥

x®¥ _x²

è
Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni

lim(u₁(x) × u₂ (x) ×...× u_n (x)) = lim u₁(x) × lim u₂ (x) ×...× lim u_n (x) _.

Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz.

lim u₁ = a,

lim u₂ = b

bo’lsin.

U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan

u₁ = a + a,

u₂ = b + b

bo’ladi, α, β-cheksiz

kichik funksiyalar. Demak,

u₁ × u₂ = (a +a )× (b + b ) = ab + (ab + ab +ab). Bu tenglikdagi ab-

o’zgarmas son, (ab + ab +ab )- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi

qismini qo’llasak

lim u₁ × u₂ = ab = lim u₁ × lim u₂

ekanligi kelib chiqadi.

3-misol.

lim(х + 3)(х - 4) = lim(х + 3)lim(х - 4) = [lim x + lim 3] ×[lim x - lim 4] =

x®2
= (2 + 3)(2 - 4) = 5 × (-2) = -10 .

x®2

x®2

x®2

x®2

x®2

x®2

4-misol.

^limç^{1 - 1} ÷ç ^{2 -}

1 1

÷ ^{= lim}ç^{1 -} ÷ ^limç ^{2 -}

1

÷ ^{= (1 - 0)(2 + 0) = 2 .}

æ öæ

ö æ ö æ ö

x®¥_è

^x øè

_x2 _ø

x®¥<sub>è

x ø</sub> x®¥<sub>è

x</sub>2 _ø

Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini limit belgisidan chiqarish mumkin, ya‘ni

lim C × u(x) = C lim u(x) _, chunki

lim C =C .

5-misol.

lim 7х² = 7 lim х² = 7 × (-1)² = 7 .

x®-1

x®-1

Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli

bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar

lim v ¹ 0

bo’lsa,

_lim u ₌ lim u
bo’ladi.

v

olsak

lim v

Isboti. lim u(x)=a, lim v(x)=b≠0 bo’lsin. U holda
u = a + a,
v = b + b
bo’lishini hisobga

u ₌ a + a

₌ a _{+ ç} a + a _- a _{÷ =} a ₊ ab + ab - ab - ab

₌ a ₊ ab - ab

v b + b

æ ö

è

b

b

ø
b ^ç b + b ^÷
b(b + b )
b b(b + b )

tenglikka ega bo’lamiz, bunda ^a -o’zgarmas son,

b

ab - ab b(b + b )
- cheksiz kichik funksiya, chunki

ab - ab

cheksiz kichik funksiya va

b(b + b )≠0.

So’nggi tenglikka 16.5-teoremani 2-qismini qo’llasak

_lim u ₌ a ₌ lim u

tenglik hosil bo’ladi.

6. 
   misol. lim ^{2х + 3}
   

^x®2 3х + 1

ni toping.

v b lim v