Mavzu : Funksiyaning


Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi



Download 3.89 Mb.
bet2/5
Sana29.08.2021
Hajmi3.89 Mb.
1   2   3   4   5

3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi


Teorema. Agar

f (x)

funksiyaning а nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda у= f (x)


funksiya а nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.

Isboti.


lim f (x) = b

x®a

chekli son bo’lsin. U holda limitni ta‘rifiga binoan istalgan

e > 0

son



uchun shunday

d > 0

son topilib ( a - d , a + d ) intervaldagi barcha х lar uchun



f (x) - b < e


yoki

f (x) - b £

f (x) - b < e , bundan

f (x) < b + e

bo’lishi kelib chiqadi. Agar



M = b + e


deb olinsa а nuqtaning d -atrofidagi barcha х lar uchun

f (x) £ M

tengsizlik bajariladi. Bu


f (x) funksiya ( a - d , a + d ) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.



Agar
f (x)
funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda

1




f (x)


funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz.

Bir tomonlama limitlar


Ta„rif. Agar

f (x)

funksiyaning х=а nuqtadagi limitining ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan


kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b1 limiti uning х=а nuqtadagi (yoki



x ® a -0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va

b1 = lim f (x) , yoki

x®a

x<a

b1 =

lim

x®a -0

f (x) , yoki


b1 =

f (a - 0) kabi yoziladi.

Agar а=0 bo’lsa, u holda b1

= lim



x®-0

f (x) = f (-0) kabi yoziladi.

Ta„rif. Agar

f (x)

funksiyaning х=а nuqtadagi limiti ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan katta


bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b2

limiti uning х=а nuqtadagi (yoki



x ® a +0 dagi) o‟ng tomonlama limiti deb ataladi va

b2 = lim f (x)

x®a

x >a

yoki

b2 =

lim

x®a +0

f (x) , yoki


b2 =

f (a + 0)

kabi yoziladi.

Agar а=0 bo’lsa, u holda b2

= lim










x®+0

f (x) = f (+0) kabi yoziladi.

f (x)

funksiyaning х=а nuqtadagi chap

va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama



limitlar deb ataladi.

b1 = b2

bo’lsa, u holda

f (x)

funksiya х=а nuqtada limitga ega.



Aksincha,
f (x)

86-chizma.

funksiyaning а nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni


f (a - 0) = f (a + 0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya а nuqtada limitga ega bo’ladi.

Masalan,

ì 1,




í
f (x) = signx = ï 0,

ï
аgаr аgаr


x > 0

x = 0

bo' lsа, bo'lsа,

î- 1,

аgаr

x < 0

bo' lsа

funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki

f (-0) =-1,

f (+0) =1 va

f (-0) ¹

f (+0) (86-chizma).


Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega.

  1. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.


Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz.

Bunda isbot faqatgina

х ® а

hol uchun o’tkaziladi ( х ® ¥

da shunga o’xshash


isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun,

х ® а

ni ham,


х ® ¥ ni ham yozmaymiz.


Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni

lim(u1(x) + u2 (x) + ... + un (x)) = lim u1(x) + lim u2 (x) + ... + lim un (x) .

Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz.

lim u1(x) = а ,

lim u2 (x) = b

bo’lsin. U holda



lim (u1(x) + u2 (x)) = a + b

tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz.

Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan

u1 = a +a,

u2 = b + b

deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi α, β- cheksiz kichik funksiyalar.

Demak,

u1 + u2 = (a +a )+ (b + b ) = (a + b)+ (a + b ). Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, α+β-

cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak

lim (u1 + u2 ) = a + b = lim u1 + lim u2

ekanligi kelib chiqadi.


2
1-misol. lim x

- 4 = lim (x - 2)(x + 2) = lim(x + 2) = lim x + lim 2 = 2 + 2 = 4 .

x®2

x - 2

4

x®2


2

x - 2

æ 4 2 ö

x®2
æ

x®2
ö

x®2

2-misol.


lim x

  • 5x

= lim

x - 5x

= limç1 -

5 5


÷ = lim1 - lim

= 1 - 0 = 1 .



x®¥ x4

x®¥çç x4

4 ÷÷

x ø

x®¥è

x2 ø

x®¥

x®¥ x2


è
Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni

lim(u1(x) × u2 (x) ×...× un (x)) = lim u1(x) × lim u2 (x) ×...× lim un (x) .

Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz.

lim u1 = a,

lim u2 = b

bo’lsin.


U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan

u1 = a + a,

u2 = b + b

bo’ladi, α, β-cheksiz

kichik funksiyalar. Demak,

u1 × u2 = (a +a )× (b + b ) = ab + (ab + ab +ab). Bu tenglikdagi ab-

o’zgarmas son, (ab + ab +ab )- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi


qismini qo’llasak

lim u1 × u2 = ab = lim u1 × lim u2

ekanligi kelib chiqadi.

3-misol.


lim(х + 3)(х - 4) = lim(х + 3)lim(х - 4) = [lim x + lim 3] ×[lim x - lim 4] =

x®2
= (2 + 3)(2 - 4) = 5 × (-2) = -10 .

x®2

x®2

x®2

x®2

x®2

x®2




4-misol.


limç1 - 1 ÷ç 2 -

1 1


÷ = limç1 - ÷ limç 2 -

1

÷ = (1 - 0)(2 + 0) = 2 .



æ öæ

ö æ ö æ ö



x®¥è

x øè

x2 ø

x®¥è

x ø x®¥è

x2 ø

Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini limit belgisidan chiqarish mumkin, ya‘ni

lim C × u(x) = C lim u(x) , chunki

lim C =C .

5-misol.


lim 7х2 = 7 lim х2 = 7 × (-1)2 = 7 .

x®-1

x®-1

Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli

bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar

lim v ¹ 0

bo’lsa,


lim u = lim u
bo’ladi.

v

olsak


lim v

Isboti. lim u(x)=a, lim v(x)=b≠0 bo’lsin. U holda
u = a + a,
v = b + b
bo’lishini hisobga


u = a + a

= a + ç a + a - a ÷ = a + ab + ab - ab - ab

= a + ab - ab


v b + b

æ ö



è

b

b

ø
b ç b + b ÷
b(b + b )
b b(b + b )


tenglikka ega bo’lamiz, bunda a -o’zgarmas son,

b

ab - ab b(b + b )
- cheksiz kichik funksiya, chunki

ab - ab

cheksiz kichik funksiya va

b(b + b )≠0.



So’nggi tenglikka 16.5-teoremani 2-qismini qo’llasak

lim u = a = lim u


tenglik hosil bo’ladi.

  1. misol. lim 2х + 3

x®2 3х + 1

ni toping.



v b lim v

Download 3.89 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
maxsus ta’lim
O’zbekiston respublikasi
zbekiston respublikasi
axborot texnologiyalari
o’rta maxsus
nomidagi toshkent
guruh talabasi
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
xorazmiy nomidagi
toshkent axborot
pedagogika instituti
rivojlantirish vazirligi
haqida tushuncha
toshkent davlat
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
matematika fakulteti
ta’limi vazirligi
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
samarqand davlat
vazirligi muhammad
pedagogika universiteti
bilan ishlash
fanining predmeti
Darsning maqsadi
navoiy nomidagi
o’rta ta’lim
Ishdan maqsad
haqida umumiy
nomidagi samarqand
fizika matematika
sinflar uchun
fanlar fakulteti
maxsus ta'lim
Nizomiy nomidagi
ta'lim vazirligi
moliya instituti
universiteti fizika
Ўзбекистон республикаси
umumiy o’rta
Referat mavzu
respublikasi axborot
Toshkent axborot
таълим вазирлиги
Alisher navoiy
махсус таълим
Buxoro davlat