Matrisa rangi. Matrisa rangi haqidagi asosiy teorema. Reja

Matrisa rangi. Matrisa rangi haqidagi asosiy teorema.
Reja:

1. 
   Matritsa rangi.
   
2. 
   Matritsa rangi haqidagi asosiy teorema.
   

Tayanch iboralr: Matritsa, matritsa rangi, minor, algebraik to`ldiruvchi.
Mashg`ulotning maqsadi: talabalarga matritsa rangini hisoblashning oson yo`lini o`rgatish.
Bizga   maydonda
(1)
tartibli matrisa berilgan bo’lsin. Bu matrisaning ustunlaridan tuzilgan  vektorlar sistemasini tuzamiz:
(2)
Ta’rif 11.1.  Matrisaning rangi deb, uning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining rangiga aytiladi, ya’ni  
.
Tabiykim matrisani rangi ta’rif bo’yicha hisoblash ancha murakkab masala hisoblanadi. (Rangini hisoblashning boshqacha, ya’ni oson va tez hisoblash yo’li bormi?) 
To’g’ri to’rtburchakli matrisa uning  satr va  ustunlarinning kesishgan joyida turuvchi elementlardan  tartibli ( ) determinant ajratib olamiz. Hosil bo’dgan determinantga matrisaning  tartibli minori deyiladi.
Bizni  matrisaning minorlari ichida noldan farqli eng yuqori tartibli minorlari qiziqtiradi. Dastlab quyidagi muhim lemmalarni keltiramiz:
Lemma 11.2.  Agar matrisaning barcha  tartibli minorlari nolga teng bo’lsa, barcha  tartibli ( ) minorlari ham nolga teng bo’ladi.
Isbot. Bizga   tartibli minorlar berilgan bo’lsin. U holda Laplas teoremasiga asosan, bu minor hamma  tartibli minorlarning algebraik yig’indisidan iborat bo’ladi va bular nolga tengligidan  minorning nolga tengligi kelib chiqadi.
Lemma 11.3.  Agar matrisaning  tartibli noldan farqli bo’lsa, u holda shu minorda hisoblangan ustunlardan tuzilgan vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi.
Isbot. Teskarisidan faraz qilamiz, ya’ni agar bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda minorning ustunlari shu minorning boshqa ustunlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak determinantning xossasiga asosan minor nolga teng bo’ladi. Bu farazimiz esa lemma shartiga ziddir.
Endi matrisaning rangini minorlar yordaida hisoblashni beruvchi asosiy teoremani keltiramiz: