Математик анализга кириш Функциянинг нуқтадаги лимити. Ажойиб лимитлар Функциянинг узлуксизлиги

Математик анализга кириш
1. Функциянинг нуқтадаги лимити. Ажойиб лимитлар
2. Функциянинг узлуксизлиги.
3. Функция графигининг асимптоталари

1. Функциянинг нуқтадаги лимити. Ажойиб лимитлар

Таъриф. функция нуқтанинг бирор атрофида аниқланган бўлсин. В сон функциянинг лимити дейилади, агар га яқинлашувчи, кетма – кетликнинг қийматларида, нинг қийматларидан иборат кетма – кетлик ҳам В сонига яқинлашса. Буни қуйидагича ёзиш мумкин
.
Мисол. учун

бўлишини исботланг.
Ечиш. Ихтиёрий кетма – кетлик учун, да ва га эгамиз. Шунинг учун функция лимити таърифига кўра .
Айтайлик, ва бўлсин.
Теорема 1. Агар функциялар йиғиндиларининг лимити мавжуд бўлса, у ҳолда уларнинг лимитлари йиғиндиси(айирмаси) ҳам мавжуд бўлади

Теорема 2. Агар функциялар кўпайтмаларининг лимити мавжуд бўлса, у ҳолда уларнинг лимитлари кўпайтмаси ҳам мавжуд бўлади

Теорема 3. Агар функциялар нисбатларининг лимити мавжуд бўлса, у ҳолда уларнинг лимитлари нисбатлари ҳам мавжуд бўлади. Бунда махраждаги функциянинг лимити нолдан фарқли
.
Бир томонлама лимитлар. Функция лимити таърифидаги нуқтанинг атрофидан олинган қийматлар, га чап ва ўнг томондан яқинлашсин.
Агар х қиймат х₀ га чап томондан яқинлашса, бу чап томонлама лимит дейилади ва қуйидагича белгиланади

Агар х қиймат х₀ нинг ўнг томонидан олинишини кўрсак, бу ўнг томонлама лимит дейилади ва қуйидагича белгиланади

Функциянинг нуқтадаги чап ва ўнг томонлама лимитлари бир томонлама лимит дейилади.
Функциянинг нуқтадаги бир томонлама лимити ва лимити орасидаги алоқаси қандай бўлади. Агар лимит мавжуд бўлса

Бир томонлама лимитлари ҳам мавжуд бўлса
.
Шундай қилиб, функциянинг нуқтадаги лимити мавжуд бўлади, фақат ва фақат қуйидаги учта шарт бажарилса: а) чап лимит мавжуд; б) ўнг лимит мавжуд; в) бир томонлама лимитлари бир хил.
Мисол.

Функциянинг x=0 нуқтадаги бир томонлама лимитларини топинг. да функциянинг лимити мавжудми?
Ечим. Бу функция барча сонлар ўқида аниқланган. Бу функция учун x=0 да бир томонлама лимитларини ҳисоблаймиз:

Демак, . Шундай қилиб, бу функциянинг x=0 нуқтада лимити мавжуд эмас.
Мисол. лимитни ҳисобланг.
Ечим. 0 га яқин h қиймат учун қуйидаги жадвал тузамиз

h	-0.5	-0.2	-0.1	-0.01	0.0	0.01	0.1	0.2	0.5
F(h)	0.586	0.528	0.513	0.501	*	0.499	0.488	0.477	0.449

Бундан кўринадики, .
Мисол. Функциянинг лимитини ҳисобланг