M a’ruza 5 yuqori tartibli hosila. Lopital qoidasi
Download 197,65 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1. Yuqori tartibli hosila.
|
M A’RUZA 5 4.5.YUQORI TARTIBLI HOSILA. LOPITAL QOIDASI. , 0 0 KO’RINISHDAGI ANIQMASLIKLARNI OCHISH. Reja. 1. Yuqori tartibli hosila. 2. Lopital qoidasi. , 0 0 ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish. Tayanch iboralar. yuqori tartibli hosila, aniqmasliklar, Lopital qoidasi. 1. Yuqori tartibli hosila. Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda bu funksiyaning hosilasi f'(x) umuman aytganda yana x ning funksiyasi bo’ladi. Shuning uchun undan x bo’yicha hosila olsak, hosil bo’lgan hosilaga berilgan funksiyadan olingan ikkinchi tartibli hosila deyiladi va y "
y"=f"(x)=(y')'=(f'(x)) '.
y"=f "(x) ikkinchi tartibli hosiladan olingan hosilaga y=f(x) funksiyaning uchinchi tartibli hosilasi deyiladi:
y'''=f'"(x)=(f"(x))' Shu jarayonni n marta davom ettirsak y=f(x) funksiyaning n tartibli hosilasi y (n)
=f (n)
(x)=(y n-1
)'=(f (n-i)
(x))' ko’rinishda bo’ladi. Misol. y=f(x) =2x 4 +3x 3 -5x
2 +6x-8
y'=8x 3 +9x 2 -10x+6
y"=24x 2 +18x-10 y"'=48x+18
Agar u(x), v(x) funksiyalar differensiallanuvchi bo’lib, u (n) (x), v
(n) (x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda 1. (Cu) < n) =Cu
(n) (C-o’zgarmas son) 2. (u+v) (n)
=u (n)
+ v (n)
3. (uv)
(n) =u (n) +nu (n-1)
v'+ 2 1 ' ' ) 1 ( ) 2 (
u n n n + ...+uv
(n) . tengliklar o’rinli bo’ladi. Oxirgi tenglikka Leybnis formulasi deyiladi. 2. Lopital qoidasi 1-teorema qoidasi Lopital ochishning larni aniqmaslik rinishdagi ko ' 0 0 0
nuqtaning biror atrofida ) ( x f va
) ( x g funksiyalkar uzluksiz, differensiallanuvchi va 0 )
g bo‘lsin.Agar 0 )
lim 0 x f x x va
0 ) ( lim 0 x g x x bo‘lib, k x g x f x x ) ( ) ( lim 0 (chekli yoki cheksiz) limit mavjud bo‘lsa, u holda ) ( ) ( lim
) ( ) ( lim
0 0
g x f x g x f x x x x (4.2.9) bo‘ladi. Isboti. ) ( x f va ) ( x g funksiyalar uchun 0
nuqtaning biror atrofida yotuvchi ] ;
0 x x
kesmada Koshi teoremasini qo‘llaymiz. U holda ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 c g c f x g x g x f x f , bu yerda c nuqta
x va
0 x nuqtalar orasida yotadi. 0 )
) ( 0 0 x g x f ni hisobga olib topamiz: ) (
( ) ( ) (
g c f x g x f (4.2.10) 0
da c ham
0 x ga intiladi. (4.2.10) tenglikda limitga o‘tamiz: ) (
( lim
) ( ) ( lim
0 0
g c f x g x f x c x x . k x g x f x x ) ( ) ( lim 0 ekanidan k c g c f x c ) ( ) ( lim 0 . Shu sababli ) ( ) ( lim
) ( ) ( lim
0 0
g x f x g x f x x x x . Izohlar: 1. 1- teorema ) ( x f va
) ( x g funksiyalkar 0
da aniqlanmagan, ammo 0 ) ( lim 0 x f x x va
0 ) ( lim 0 x g x x bo‘lganda ham o‘rinli bo‘ladi. Bunda 0 )
lim ) ( 0 0
f x f x x
va 0 ) ( lim ) ( 0 0
g x g x x deb olish etarli. 2. 1-teorema x da ham o‘rinli bo‘ladi. Haqiqatan ham z x 1 deb, topamiz: . ) ( ) ( lim 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim ) ( ) ( lim
2 2 0 0 0 0 x g x f z z g z z f z g z f z g z f x g x f x z z z x
) ( x f va ) ( x g funksiyalar 1-teoremaning shartlarini qanoatlantirsa teorema takror qo‘llanishi mumkin: ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim
) ( ) ( lim
0 0 0 x g x f x g x f x g x f x x x x x x va hokazo. Misol e e x x x x ln 1 lim
2 1 limitni topamiz.. e e x g x x x f x ) ( , ln 1 ) ( 2
funksiyalar 1 x nuqta atrofida aniqlangan. 0 )
lim ) ( lim 1 1 x g x f x x , ya’ni 0 0
ko‘rinishdagi aniqmaslik hosil bo‘ladi. e e x x x g x f x x x 3 1 2 lim
) ( ) ( lim
1 1 mavjud
va 0 ) ( e x g . U holda 1-teoremaga ko‘ra ) (
( lim
) ( ) ( lim
1 1
g x f x g x f x x . Demak,
e e e x x x x 3 ln 1 lim
2 1 .
1-teorema 0 0 ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish imkonini beradi. ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish haqidagi teoremani isbotsiz keltiramiz. 2-teorema qoidasi Lopital ochishning larni aniqmaslik rinishdagi ko '
0
nuqtaning biror atrofida ) ( x f va
) ( x g funksiyalkar uzluksiz, differensiallanuvchi va 0 )
g bo‘lsin. Agar
) ( lim
) ( lim 0 0
g x f x x x x bo‘lib, ) (
( lim
0 x g x f x x limit mavjud bo‘lsa, u holda ) (
( lim
) ( ) ( lim
0 0
g x f x g x f x x x x bo‘ladi. Misol ) ln( ) ln(
lim a x a x e e a x limitni topamiz.
0 0 ) ( lim 1 lim
) ln(
) ln(
lim a x e e e e e e a x e e a x x a x a x a x x a x a x a x
1 0 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 lim ) ( lim
a a x e a x e e a x x x x a x . 0 0 va
ko‘rinishdagi aniqmasliklarga asosiy aniqmasliklar deyiladi. 0 yoki ko‘rinishdagi aniqmasliklar algebraik almashtirishlar yordamida asosiy aniqmasliklarga keltiriladi. 0 0 , 0 yoki 1 ko‘rinishdagi aniqmasliklardan ) ( ln ) ( ) ( ) ( x f x g x g e x f formula yordamida asosiy aniqmasliklar hosil qilinadi. Hosil qilingan asosiy aniqmasliklar yuqorida keltirilgan teoremalar yordamida ochiladi. Misollar 1.
0 lim
3 1 1 3 1 lim 1 ln lim ) 0 ( ln lim
3 0 4 0 3 0 3 0 x x x x x x x x x x x . 2. 0 0 sin
cos sin
lim ) ( 1 lim
0 0
x x x x ctgx x x x
0 0 cos sin sin
lim cos
sin sin
cos cos
lim 0 0 x x x x x x x x x x x x x x
. 0 2 0 sin cos
cos cos
sin lim
0
x x x x x x x
3. x x x x x x x x x x x e e e x sin
1 ln ln sin ln 0 0 sin
0 lim
lim 0 0 sin lim
) 0 ( lim
. 1 0 ) sin
( cos
sin sin
cos 1 lim lim lim
0 2 0 2 0
e e e x x tgx x x x x x x x x x
4. ) ( 1 ln lim 0 0 x x x
x x x x x e e 1 1 ln ln lim ) 0 ( 1 ln ln lim 0 0 x x x e 1 1 ln ln lim 0 0 1 1 ln 1 lim 1 1 1 ln 1 lim 0 2 2 0
e e e x x x x x x 1.
5. ) 1 ( ) sin
1 ( lim 0 ctgx x x 0 0 ) sin 1 ln(
lim 0 ) sin 1 ln( lim 0 0 tgx x x ctgx x x e e
) ( ) ) sin 1 (ln( lim 0 tgx x x e . 1 sin 1 1 lim cos
sin 1 cos lim 1 sin ) sin
1 ln(
lim cos
lim 0 0 0 0
e e e e x x x x x x x x x x x Mavzuni mustahkamlash uchun savollar. 1. Yuqori tartibli hosila qanday topiladi? 2. Lopital qoidalaridan qanday hollarda foydalaniladi? 3. Qanday aniqmasliklarni turini bilasiz? Download 197,65 Kb. Do'stlaringiz bilan baham:
|
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish