Литература 22 введение математический анализ общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями функций, производной и интеграла

План

ВВЕДЕНИЕ 3
1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5
Пусть G – область в Rⁿ, функция f: G R, интеграл не существует из-за того, что либо область G не ограничена, либо функция f не ограничена в области G, либо и то, и другое, но на каждом замкнутом кубируемом подмножестве функция f интегрируема по Риману. 5
При выполнении всех перечисленных выше условий 5
5
будем называть несобственным кратным интегралом. 5
2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ 6
3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 7
4. ВЫЧЕСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 12
Интеграл Эйлера-Пуассона 12
Рассмотрим Это – несобственный двойной интеграл. Возьмём в качестве исчерпывающей последовательности последовательность кругов Тогда 12
1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РОДА . 13
2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 РОДА 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 20
ЛИТЕРАТУРА 22

ВВЕДЕНИЕ

Математический анализ – общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями функций, производной и интеграла.
Дисциплина «Математический анализ» отражает важное направление развития современной математики. В ней рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений, что важно для нашей специальности.
Интегральное исчисление, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями интегрального исчисления являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного. Так же не малую роль играет понятие кратные интегралы.
Кратный интеграл - интеграл от функции нескольких переменных. Определяется при помощи интегральных сумм, аналогично определённому интегралу от функции одного переменного. В зависимости от числа переменных различают двойные, тройные, n-кратные интегралы. Так же существуют кратные несобственные интегралы.
И целью моей курсовой работы является раскрыть один из разделов кратных интегралов – кратные несобственные интегралы.
1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть G – область в Rⁿ, функция f: G R, интеграл не существует из-за того, что либо область G не ограничена, либо функция f не ограничена в области G, либо и то, и другое, но на каждом замкнутом кубируемом подмножестве функция f интегрируема по Риману.
При выполнении всех перечисленных выше условий

будем называть несобственным кратным интегралом.
2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ
Пусть функция F (x, y) непрерывна на открытом круге однако неограниченна на нём. При этом мы предполагаем, что при приближении к любым точкам окружности x² + y² = a² функция F стремиться к бесконечности.
Тогда для любого положительного b < a интеграл
существует, но интеграл от F на G_a в обычном смысле не существует. Из существования интеграла по G_a в римановском смысле должна следовать ограниченность F на G_a.
Однако может случится, что существует предел

Предел I называется интегралом от F по G_a в несобственном смысле и обозначают как обычный риманов интеграл

Площадь сферы ׀S_a׀, соответствующей G_a., нам пришлось определить при помощи не простого риманова интеграла, а несобственного интеграла

Мы рассмотрели пример несобственного интеграла, когда подынтегральная функция неограниченна вдоль линии.
3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Рассмотрим несобственный интеграл
(1)
зависящий от параметра x = (x₁,…,x_m). Будем считать, что интеграл имеет единственную особенность в точке
Точнее, мы рассматриваем область Ω точек y = (y₁,…,y_n) n-мерного пространства, в которой происходит интегрирование и область G точек x = (x₁,…,x_m) – область параметров. Так как мы интегрируем по Ω, а в дальнейшем будем интегрировать и по G, то будем считать, что обе области Ω и G и имеют кусочно-гладкую границу. Что же касается функции f (x,y), то предполагается, что она непрерывна на за исключением точек (x, y⁰), где она имеет особенность.
На Ω в окрестности каждой точки (x, y⁰) функция f (x, y), вообще говоря, неограниченна.
Мы предполагаем, что несобственный интеграл (1) существует для всех Это значит, что для каждого существует конечный предел
(2) где
(3) и Ω_ε = Ω \ U (y⁰, ε) есть множество точек y Ω, из которого выкинут шар радиуса ε с центром в точке y⁰.
Важно отметить, что интеграл (3) – это обыкновенный интеграл Римана (собственный), и так как функция f (x, y) непрерывна на при любом ε > 0, то для него выполняются известные свойства:

1. 
   F_ε (x) непрерывная функция от
   
2. 
   Законно менять местами порядок интегрирования
   

(4)

3. 
   Законно дифференцировать под знаком интеграла
   

(5)
при дополнительно условии, что частная производная непрерывна на .
Возникает вопрос, сохраняются ли свойства 1) – 3) при ε =0, т.е. сохраняются ли они для несобственного интеграла (1). Это, вообще говоря, не так. Однако если на сходимость к F (x) и к наложить дополнительное условие равномерной сходимости, то свойства 1) – 3) сохраняются. В связи с этим полезно понятие равномерной сходимости несобственного интеграла.
По определению интеграл (1) сходящийся равномерно на (или по ), если
т.е.