Лекции №5-6-7 определенный интеграл. Формула ньютона лейбница



Download 454.73 Kb.
Pdf ko'rish
bet1/4
Sana10.04.2020
Hajmi454.73 Kb.
TuriЛекции
  1   2   3   4

 

 



ЛЕКЦИИ № 5-6-7 

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА 

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 

 

 

 

 

ПЛАН: 

1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции 

2. 

Задача о массе материальной плоской пластины 

3. 

Определение определенного интеграла 

4. Классы интегрируемых функций 

5. Аддитивность определенного интеграла 

6. Теорема о среднем для определенного интеграла 

7.  

Формула Ньютона - Лейбница 

8.  

Геометрические приложения определенного интеграла 

 

 

 

1. 

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции 

Криволинейной  трапецией  называют  фигуру  в  плоскости 

xOy

ограниченную прямыми 



a

x



b

x



)

(

b



a

 



и графиками функций 

)

(



1

x

f

y



)

(

2



x

f

y



непрерывных  на 

]

,



[

b

a

 

и  таких,  что 



)

(

)



(

2

1



x

f

x

f

 



для  всех 

]

,



[

b

a

x

 



(рис. 1). 

Рассмотрим  частный  случай  такой  трапеции,  ограниченной  прямыми 



a

x



b

x



0



y

 

и  графиком  непрерывной  и  неотрицательной  на 



]

,

[



b

a

 

функции 



)

x



f

y

 



(рис.  2).  Как  найти  площадь  такой  фигуры?  Правда,  само 

понятие  площади  также  нуждается  в  определении,  но  к  этому  мы  вернемся 

позднее  (п.  8).  Пока  же  будем  опираться  на  интуитивное  представление  о 

площади. 

Разобьем отрезок 

]

,



[

b

a

 

на ряд мелких участков точками  



b

x

x

x

x

x

a

n

n





1



2

1

0



на каждом участке 



]

,

[



1



r



k

x

x

 

найдем наименьшее значение функции 



)

x



f

y



обозначим  его 

k

m

 

и  рассмотрим  прямоугольник  с  основанием 



]

,

[



1



k



k

x

x

 

и 



высотой 

k

m

 

(рис. 3); его площадь равна 



)

(

1



k

k

k

x

x

m



Объединение  этих  прямоугольников  представляет  собой  вписанную  в  дан-

ную  криволинейную  трапецию  ступенчатую  фигуру  (рис.  4);  ее  площадь 

обозначим 



T

s

 

(буква    символизирует  то  разбиение  отрезка 



]

,

[



b

a

которое 



мы  осуществили).  Аналогично,  если  на  каждом  участке 

]

,



[

1



r

k

x

x

 

выбрать 



наибольшее  значение  функции 

k

M

 

и  рассмотреть  прямоугольник  с  высотой 



k

M

то  объединение  таких  прямоугольников  даст  описанную  около  данной 



криволинейной трапеции ступенчатую фигуру (рис. 5); ее площадь обозначим 

 

 



T

S

 



                

Рис. 1                                       Рис. 2                                     Рис.3  

 

              



Рис. 4                                    Рис.5                                       Рис.6 

 

 



Очевидно,  что  для  любого  разбиения    выполняется  неравенство 

T

T

S

S

s



,

 

где  S



  -

 

искомая площадь криволинейной трапеции. Эту площадь 



можно  определить  как  число,  которое  не  меньше  площади  любой  вписанной 

ступенчатой  фигуры  и  не  больше  площади  любой  описанной  ступенчатой 

фигуры,  а  точнее  как  число,  разделяющее  множества 

}

{



T

s

 

и 



}

{

T



S

 

для 



всевозможных  разбиений    отрезка 

]

,



[

b

a

Интуитивно  ясно,  что  такое 



разделяющее число должно быть единственным. 

Искомая  площадь    приближенно  равна  площади  вписанной  или 

описанной  ступенчатой фигуры, т. е. 

T

s

S

 



или 

T

S

S



На  практике  делят  отрезок 

]

,



[

b

a

 

на 



n

 

равных  частей  и  вместо 



T

s

 

используют  запись 



n

s

а  вместо 



T

S

  - 


запись 

n

S

Чем  больше 



n

тем  точнее 



приближенное равенство 

S

s

n

или 



S

S

n



Точное равенство получается при 

переходе к пределу: 



n

n

s

S



 lim

 

или 



n

n

S

S



 lim



Пример 1.    Найти   площадь    криволинейной    трапеции,   ограниченной     

параболой 

2

x



y

 



и прямыми 

0



x

1





x

0





y

 

(рис. 6). 



Решение. Разделим отрезок 

]

1



,

0

[



 

на 


n

 

равных частей точками  



1

,

1



,

...


,

2

,



1

,

0



1

2

1



0







n

n

x

n

n

x

n

x

n

x

x

n

n



 

 



Тогда  

1

)



(

,

)



1

(

)



(

,

...



,

2

)



(

,

1



)

(

,



1

)

(



2

2

2



2

1

2



2

2

2



2

1

0









n



n

x

f

n

n

x

f

n

x

f

n

x

f

x

f

n

n

Составим сумму 



n

S

 

(площадь ступенчатой фигуры на рис. 6): 



2



2

2

2



3

2

2



2

2

2



2

2

3



2

1

1



3

2

1



1

n

n

n

n

n

n

n

n

S

n

















Методом математической индукции можно доказать, что 



6

)

1



2

)(

1



(

3

2



1

2

2



2

2







n

n

n

n



Значит, 

2

2



3

2

2



2

2

2



2

2

6



1

3

2



6

)

1



2

)(

1



(

1

3



2

1

1



n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

S

n

















откуда 



3

1

6



2

6

1



3

2

lim



lim

2

2











n

n

n

S

S

n

n

n

Заметим,  что  этот  результат  был  получен  еще  Архимедом  с  помощью 



предельного перехода.  

 

2. 

Задача о массе материальной плоской пластины 

Пусть дан прямолинейный неоднородный материальный стержень 

]

,

[



b

a

линейная  плотность  которого  в  точке    выражается  функцией 



)

x



Найдем 



массу  стержня. 

Если бы стержень был однородным, т. е. его линейная плотность во всех 

точках  была  бы  равна   ,  то  масса    стержня  вычислялась  бы  по  формуле 

)

(



a

b





В  данном  случае  эту  формулу  применить  нельзя.  Поступим  сле-

дующим  образом:  произведем  разбиение    отрезка   

]

,

[



b

a

 

на  ряд  мелких 



участков и рассмотрим участок 

]

,



[

1



k

k

x

x

. Пусть 


k

m

 

и 



k

M

  - 


соответственно 

наименьшее и наибольшее значения линейной плотности 

)

x



 

на этом участке. 



Тогда масса участка 

]

,



[

1



k

k

x

x

 

заключена между числами 



k

k

x

m

 



и 

k

k

x

M



где 

k

x

  - 



длина  отрезка 

]

,



[

1



k

k

x

x

Проведя  аналогичные  рассуждения  для 



остальных участков разбиения, получим, что масса   стержня 

]

,



[

b

a

 

удовлет-



воряет   двойному   неравенству 

T

T

S

s



где   









1



0

1

1



2

2

1



1

0

0



n

k

k

k

n

n

T

x

m

x

m

x

m

x

m

x

m

s





,     


      









1

0

1



1

2

2



1

1

0



0

n

k

k

k

n

n

T

x

M

x

M

x

M

x

M

x

M

S







 

 



Таким образом, масса стержня есть число, разделяющее множества 

}

{



T

s

 

и 



}

{

T



S

 

для



 

всевозможных разбиений  отрезка 

]

,

[



b

a



 



3. 

Определение определенного интеграла 

Две различные задачи, рассмотренные в предыдущих пунктах, в процессе 

решения  привели  к  одной  и  той  же  математической  модели  -  к  двум  опре-

деленным образом построенным числовым множествам 

}

{

T



s

 

и 



}

{

T



S

,

 



разделяю-

щимся единственным числом: в первом случае это число определяет площадь 

криволинейной  трапеции,  во  втором  —  массу  стержня.  Оказывается,  многие 

важные задачи из геометрии, физики, техники и других дисциплин, в том числе 

экономики  приводят  к  такой  же  математической  модели, поэтому  есть  смысл 

специально заняться ее изучением. Прежде всего нужно более точно осмыслить 

процесс  решения  двух  рассмотренных  выше  задач, отвлекаясь от  их конкрет-

ного содержания. 

Итак,  пусть  на  отрезке 

]

,



[

b

a

 

определена  ограниченная  функция 



)

x



f

y



Произведем разбиение  отрезка 

]

,



[

b

a

 

точками 



b

x

x

x

x

x

a

n

n





1



2

1

0



на каждом из отрезков разбиения 



]

,

[



1



k



k

x

x

 

найдем нижнюю и верхнюю грани 



значений функции, обозначим их соответственно 

k

m

 

и 



k

M

, и составим суммы 





1

0



n

k

k

k

T

x

m

s

 ,          





1

0



n

k

k

k

T

x

M

S



Первая из этих сумм называется 

нижней,

 

а вторая - 



верхней суммой Дарбу

Эти суммы обладают следующими свойствами: 



Для любого  справедливо неравенство 



T

T

S

s



Доказательство следует из того, что 

k

k

M

m



Если  к  данному  разбиению 

1

T

 

добавить  несколько  новых  точек, 



получив тем самым разбиение 

2

T

 

отрезка 


]

,

[



b

a

то 



2

1

T



T

s

s

, а 



2

1

T



T

S

S

 



Доказательство следует из того, что если отрезок 

]

,



[

1



k

k

x

x

 

разбить на 



два  отрезка  и  на  каждом  из  них  найти  нижние  и  верхние  грани  значений 

функции - соответственно 



k

k

k

k

M

M

m

m







,



,

,

 - 



то, 

k

k

k

k

m

m

m

m





,



в то время 

как 

k

k

k

k

M

M

M

M





,





Для  любых  разбиений 

1

T

 

и 



2

T

 

отрезка 



]

,

[



b

a

 

выполняется 



неравенство 

2

1



T

T

S

s

 



Доказательство следует из того что, составив разбиение , включающее 

в  себя  все  точки  разбиения 

1

T

 

и  все  точки  разбиения 

2

T

а  затем  используя 

свойства 1° и 2°, получим 

2

1



T

T

T

T

S

S

s

s





.

 

 



Последнее  свойство  означает,  что  множество  M

 

нижних  сумм  Дарбу 

расположено  левее  множества  N

 

верхних  сумм  Дарбу,  построенных  для 

ограниченной  на  отрезке 

]

,



[

b

a

 

функции 


)

x



f

y



Тогда  найдется  хотя  бы 


 

 



одно число  , разделяющее множества  M

 

и  N , т


е. такое, что для любого 

разбиения отрезка 

]

,



[

b

a

 

выполняется двойное неравенство 



T

n

k

k

k

n

k

k

k

T

S

x

M

I

x

m

s







1



0

1

0



.           



Определение  1.  Функция 

)

x



f

y



ограниченная  на  отрезке 

]

,



[

b

a



называется  интегрируемой  на  этом  отрезке,  если  существует  единственное 

число  ,  разделяющее  множества  нижних  и  верхних  сумм  Дарбу, 

образованных  для  всевозможных  разбиений  отрезка 

]

,

[



b

a

Если  функция 



интегрируема  на  отрезке 

]

,



[

b

a

,

 

то  единственное  число,  разделяющее  эти 

множества, 



называют определенным интегралом этой   функции по отрезку   

]

,



[

b

a

 

и обозначают символом 





b

a

dx

x

f

)

(



Знак 




b

a

 

читается:  «интеграл  от 



a

 

до  »;  числа 



a

 

и   



называются 

соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Позднее мы 

установим  связь  между 



dx

x

f

)

(



 

и 



b

a

dx

x

f

)

(



которая  сделает  оправданным 

использование знака интеграла и в случае определенного интеграла. 

 

Мы определили интеграл 





b

a

dx

x

f

)

(



 

для случая, когда 



b

a

  


Если 


b

a

 , 


то  положим 





a



b

b

a

dx

x

f

dx

x

f

)

(



)

(

Это  определение  естественно,  так  как  при  

изменении  направления  промежутка  интегрирования  каждая  разность 



k

k

x

x

1



изменяет  знак,  а  тогда  изменят  знаки  и  суммы  Дарбу  и,  следо-

вательно, разделяющее их число, т. е. интеграл. 

Так как при 

b

a

  


все 

k

x

 



обращаются в нуль, то положим 

0

)



(



a

a

dx

x

f

Рассматривая  в  п.  1  задачу  о  площади  криволинейной  трапеции,  мы 



получили,  что  площадь  есть  число,  разделяющее  площади  вписанных  и 

описанных ступенчатых фигур, а эти площади являются нижними и верхними 

суммами  Дарбу  для  заданной  неотрицательной  и  непрерывной  на  отрезке 

]

,



[

b

a

 

функции 



)

x



f

y



Опираясь на интуицию, мы предположили, что это 

число  единственно.  Значит, 



b



a

dx

x

f

S

)

(



т.  е.  определенный  интеграл 

выражает  площадь  криволинейной  трапеции,  ограниченной  прямыми 

a

x

,  



b

x

  (



b

a

 ),


0



y

 

и  графиком  непрерывной  и  неотрицательной  на  отрезке 



]

,

[



b

a

 

функции 



)

x



f

y



В  этом  состоит  геометрический  смысл 

 

 



определенного интеграла. 

Рассматривая в п. 2 задачу о массе стержня, мы получили, что масса есть 

число,  разделяющее  множества  нижних  и  верхних  сумм  Дарбу  для  функции 

)

x



задающей плотность стержня. По смыслу задачи это число единственно. 



Значит, 





b



a

dx

x)

(



т.  е.  масса  стержня  есть  интеграл  от  плотности.  В 

этом состоит физический смысл определенного интеграла. 

Приведем  пример,  показывающий,  что  существуют  неинтегрируемые 

функции.  Напомним,  что  функцией  Дирихле  называют  функцию 

)

x



D

определяемую на отрезке 



]

1

,



0

[

 



равенствами 





.

,



0

,

,



1

)

(



число

ьное

иррационал

x

если

число

ое

рациональн

x

если

x

D

 

Какой  бы  отрезок 



]

,

[



1



k



k

x

x

 

мы  ни  взяли,  на  нем  найдутся  как 



рациональные, так и иррациональные точки, т. е. точки, где 

0

)



(



x



D

, и точки, 

где 

1

)



(



x



D

.  Поэтому  для  любого  разбиения  отрезка 

]

1

,



0

[

 



все  значения 

k

m

 

равны  нулю,  а  все  значения 



k

M

 

равны  единице.  Тогда  все  нижние  суммы 



Дарбу 



1



0

n

k

k

k

T

x

m

s

  


равны нулю, а все верхние суммы Дарбу 



1



0

n

k

k

k

T

x

M

S

 



равны единице, поскольку 

0

0



1

0

1



0









n



k

k

n

k

k

k

T

x

x

m

s



,

      


1

1

1



0

1

0











n

k

n

k

k

k

k

T

x

x

M

S



 

а 



1



0

n

k

k

x

 



длина  отрезка 

]

1



,

0

[



Итак,  в  рассматриваемом  случае 

}

0

{



M



}

1

{



N

 



и любое число из промежутка 

]

1



,

0

[



 

разделяет множества  M



 

и  N . 


Значит, функция Дирихле 

не является интегрируемой на отрезке 

]

1



,

0

[



 

 

Теорема  1  (необходимое  и  достаточное  условие  интегрируемости  



функции). Для того чтобы функция 

)

x



f

y

, определенная и ограниченная на 



отрезке, была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы 

для любого 

0





 

существовало такое разбиение , что 





T

T

s

S

Короче: 









T

T

s

S

:

0



Доказательство  следует  из  критерия  единственности  разделяющего 

числа  и свойств 1°   и 2° сумм Дарбу. 

Поскольку  











1

0

1



0

1

0



)

(

n



k

k

k

k

n

k

k

k

n

k

k

k

T

T

x

m

M

x

m

x

M

s

S



 

условие 





T

T

s

S

 

можно записать и так: 



 

 







1

0

)



(

n

k

k

k

k

x

m

M

.                                                (1) 



Разность 

k

k

m

M



будем обозначать через 

k

 



и 

называть колебанием 

функции 

)

x



f

 

на отрезке 



]

,

[



1



k



k

x

x

Тогда неравенство (1) можно записать 



следующим образом: 





1

0



n

k

k

k

x

 



 

4. 

Классы интегрируемых функций 

 

В  предыдущем  пункте  мы  ввели  понятие  интегрируемой  функции  и 

установили  необходимое  и  достаточное  условие  интегрируемости.  Ниже    без 

доказательства  приведем  ряд  теорем,  которые  выделяют 



некоторые  классы 

интегрируемых функций. 

Теорема  2.  Если  функция 

)

x



f

 

непрерывна  на  отрезке 



]

,

[



b

a

,  то  она 

интегрируема на этом отрезке. 

Замечание.  В литературе по математическому анализу существует много 

вариантов  доказательства  теоремы  2.  Например,  теорему  2  можно  доказать 

используя: 

- 

теорему Кантора о равномерной непрерывности; 



понятие модуля непрерывности функции. 



Теорема  3.  Если  функция 

)

x



f

 

определена  на  отрезке 



]

,

[



b

a

 

и 



монотонна, то она интегрируема на этом отрезке. 

Теорема  4.  Если  функция 

)

x



f

 

ограничена  на  отрезке 



]

,

[



b

a

 

и 



непрерывна  во  всех  точках  этого  отрезка,  кроме  конечного  числа  точек 

m

k

c

k

,....,


2

,

1



,



то она  интегрируема на этом отрезке. 

Теорема  5.  Если  функция 

)

x



f

 

ограничена  на  отрезке 



]

,

[



b

a

ограничена, интегрируема на отрезке 



]

,

[





a

 

при любом 



]

,

[



b

a



 

и существует 

конечный 

A

dx

x

f

b

a

b













)

(

lim



0

то она  интегрируема на этом отрезке, причем 



A

dx

x

f

b

a



)

(



 

5. 

Аддитивность определенного интеграла 

Теорема  6.  Если  функция 

)

x



f

 

интегрируема  на  отрезках   



]

,

[



c

a

 

и 



]

,

[



b

c



b



c

a



, то она интегрируема и на отрезке 

]

,



[

b

a

, причем выполняется 

равенство 





b

c

c

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

)

(



)

(

)



(

   


(аддитивное свойство интеграла).          (2) 

 

 



Доказательство. Возьмем  произвольное число 

0



. Так как по условию 

функция  интегрируема  на  отрезке   

]

,



[

c

a

,  то  в  силу  теоремы  1  существует 

разбиение 

1

T

 

отрезка 


]

,

[



c

a

 

такое,  что 



2

1

1





T

T

s

S

.  Аналогично  функция 

)

x



f

 

интегрируема  на  отрезке 



]

,

[



b

c

 

и,  значит,  существует  разбиение 



2

T

 

отрезка 



]

,

[



b

c

 

такое, что 



2

2

2





T

T

s

S

. Эти разбиения 

1

T

 

и 



2

T

 

в совокупности 



образуют разбиение  отрезка 

]

,



[

b

a

, причем 













2

2

)



(

)

(



)

(

)



(

2

2



1

1

2



1

2

1



T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

s

S

s

S

s

s

S

S

s

S

Итак,  для  произвольного  числа 



0



нам  удалось  построить  разбиение   

отрезка 


]

,

[



b

a

,  такое,  что 





T

T

s

S

.  Это  означает,  что  функция 

)

x



f

 

интегрируема на отрезке 



]

,

[



b

a

Из неравенств 



1

1

)



(

T

c

a

T

S

dx

x

f

s



,   


2

2

)



(

T

b

c

T

S

dx

x

f

s



следует, что  

 

T

T

T

b

c

c

a

T

T

T

S

S

S

dx

x

f

dx

x

f

s

s

s







2

1



2

1

)



(

)

(



Таким образом, как 



b

a

dx

x

f

)

(



, так и 





b

c

c

a

dx

x

f

dx

x

f

)

(



)

(

 



разделяют множества  

}

{



T

s

 

и 



}

{

T



S

 

сумм  Дарбу  для  отрезка 



]

,

[



b

a

.  Поскольку  эти  множества 

разделяются лишь одним числом, справедливость равенства (2) доказана.  

 

Отметим, что если 



c

b

, то  









b

c

b

a

c

b

b

a

c

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(



Значит, и в этом случае  





b

a

b

c

c

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

)

(



)

(

)



(

Равенство  (2)  имеет  наглядный  геометрический  смысл:  оно  выражает 



свойство  аддитивности  площади  плоской  фигуры.  Так,  площадь   

криволинейной трапеции 



aABb

 

изображенной на рис.7, равна 



2

1

S



S

, где 



1

S

 - 


площадь трапеции 

aACc

, а 


2

S

 -

площадь трапеции 



cCBb

. Но 




c



a

dx

x

f

S

)

(



1

,        



b



c

dx

x

f

S

)

(



2

,        



b



a

dx

x

f

S

)

(



откуда следует равенство (2). 

С  физической  точки  зрения  равенство  (2)  выражает 

свойство 

аддитивности массы стержня. 

 


 

 



 

                           

Рис. 7                                                                       Рис.8 

 

6. 

Теорема о среднем для определенного интеграла 

Теорема  7  (о  среднем).  Если  функция 

)

x



f

 

непрерывна  на  отрезке 



]

,

[



b

a

, то существует точка 

]

,

[



b

a

c

, такая, что  



)

)(

(



)

(

a



b

c

f

dx

x

f

b

a



Число   







b

a

dx

x

f

a

b

c

f

)

(



1

)

(



 

называется  средним  значением  функции 



f

на отрезке 

]

,

[



b

a



Доказательство. Так как функция 

)

x



f

 

непрерывна на отрезке 



]

,

[



b

a

то 



по  теореме  2  она  интегрируема  на  нем.  Пусть 

m

 

и    -  соответственно 



наименьшее и наибольшее значения функции на 

]

,



[

b

a

Выражения 



)

(

a



b

m

  


и 

)

(



a

b

M

   



являются  нижней  и  верхней  суммами  Дарбу,  соответствующими 

разбиению отрезка 

]

,

[



b

a

который состоит лишь из одной части - самого этого 



отрезка. Но  



b



a

dx

x

f

)

(



 

разделяет суммы Дарбу и потому 







b



a

a

b

M

dx

x

f

a

b

m

)

(



)

(

)



(

откуда 







b



a

M

dx

x

f

a

b

m

)

)



(

1



Число 





b

a

dx

x

f

a

b

)

(



1

 

заключено  между 



m

 

и  .  Так  как 



)

x



f

непрерывная на 



]

,

[



b

a

 

функция, то по теореме о промежуточном значении (см. 




Download 454.73 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
O’zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
axborot texnologiyalari
o’rta maxsus
davlat pedagogika
nomidagi toshkent
guruh talabasi
pedagogika instituti
texnologiyalari universiteti
toshkent axborot
xorazmiy nomidagi
rivojlantirish vazirligi
samarqand davlat
navoiy nomidagi
haqida tushuncha
toshkent davlat
ta’limi vazirligi
nomidagi samarqand
vazirligi toshkent
Darsning maqsadi
Toshkent davlat
tashkil etish
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
Ўзбекистон республикаси
Alisher navoiy
matematika fakulteti
bilan ishlash
Nizomiy nomidagi
pedagogika universiteti
sinflar uchun
fanining predmeti
таълим вазирлиги
vazirligi muhammad
maxsus ta'lim
o’rta ta’lim
fanlar fakulteti
ta'lim vazirligi
tibbiyot akademiyasi
Toshkent axborot
махсус таълим
haqida umumiy
Referat mavzu
umumiy o’rta
pedagogika fakulteti
ishlab chiqarish
fizika matematika
universiteti fizika
Fuqarolik jamiyati