Integral Calculus Formula Sheet



Download 158,83 Kb.
Pdf ko'rish
Sana22.01.2020
Hajmi158,83 Kb.
#36630
Bog'liq
Integral Calculus Formula Sheet 0


Integral Calculus Formula Sheet 

Derivative Rules: 

 

0

d c



dx

 



 

1

n



n

d x nx


dx



 

 



sin


cos

d

x

x

dx



sec


sec tan

d

x

x

x

dx



2

tan



sec

d

x

x

dx

 



cos



sin

d

x

x

dx

 


csc



csc cot

d

x

x

x

dx

 


2



cot

csc


d

x

x

dx

 


 

 


ln

x

x

d

a

a

a

dx

 



 

x

x

d

e

e

dx

 



 



 



d

d

cf x



c

f x


dx

dx



 

 


 



 



 



d

d

d



f x

g x


f x

g x


dx

dx

dx





   



f g

f g f g




  



 

2

f g fg



f

g

g





 



 

 


 

 




 


 





d f g x

f g x g x

dx

 

 



Properties of Integrals: 

( )


( )

kf u du

k f u du



 



( )


( )

( )


( )

f u

g u du

f u du

g u du





 

( )



0

a

a

f x dx



 

( )


( )

b

a

a

b

f x dx

f x dx

 


 



( )

( )


( )

c

b

c

a

a

b

f x dx

f x dx

f x dx





 

1

( )



b

ave

a

f

f x dx

b

a



 

0



( )

2

( )



a

a

a

f x dx

f x dx



 if f(x) is even 



( )

0

a



a

f x dx



 if f(x) is odd 

( )

( )


( ( ))

( )


( )

f b

b

a

f a

g f x f x dx

g u du



 



udv

uv

vdu



 



 

Integration Rules: 



du

u

C

 


 

1



1

n

n

u

u du

C

n





 

ln

du



u

C

u



 

u



u

e du

e

C



 

1



ln

u

u

a du

a

C

a



 

sin



cos

u du

u

C

 


cos



sin

u du

u

C



2

sec



tan

u du

u

C



2

csc



cot

u

u

C

 


csc cot



csc

u

u du

u

C

 


sec tan



sec

u

u du

u

C



 

2



2

1

arctan



du

u

C

a

u

a

a

 


 



 


2

2



arcsin

du

u

C

a

a

u

 


 



 



2

2

1



sec

u

du

arc

C

a

a

u u

a

 


 



 


 

 



Fundamental Theorem of Calculus: 

 


 

 


'





x

a

d

F

x

f t dt

f x

dx

 

where 



 

f t

 is a continuous function on [a, x]. 

 

 


 





b

a

f x dx

F b

F a 

where F(x) is any antiderivative of f(x).

 

 

Riemann Sums: 



1

1

n



n

i

i

i

i

ca

c

a





1

1

1



n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

a

b

a

b



 


 



 

1

( )



lim

(

)



b

n

n

i

a

f x dx

f a i x

x





  


 



n

a

b

x



 

1



1

n

i

n



 

1



(

1)

2



n

i

n n

i



 



2

1

(



1)(2

1)

6



n

i

n n

n

i





 

2

3



1

(

1)



2

n

i

n n

i



 







 

 



height of  th rectangle

width of  th rectangle

i

i

i



 

Right Endpoint Rule: 











n



i

n

a

b

n

a

b

n

i

i

a

f

x

x

i

a

f

1

)



(

)

(



1

)

(



)

(

)



(

)

(



 

Left Endpoint Rule: 

(

)

(



)

1

1



(

(

1)



)(

)

(



) (

(

1)



)

n

n

b a

b a

n

n

i

i

f a

i

x

x

f a

i



    



 



 

Midpoint Rule: 





(

1)



(

)

(



1)

(

)



2

2

1



1

(

)(



)

(

) (



)

n

n

i

i

b a

i

i

b a

n

n

i

i

f a

x

x

f a

 


 




  




 

 

Net Change: 



Displacement: 

( )


b

a

v x dx

 



Distance Traveled: 

( )


b

a

v x dx

 



0

( )


(0)

( )


t

s t

s

v x dx



 

0



( )

(0)


( )

t

Q t

Q

Q x dx



 



Trig Formulas: 



2

1

2



sin ( )

1 cos(2 )



x

x



 

sin


tan

cos


x

x

x

 



1

sec


cos

x

x

 



cos(

)

cos( )



x

x

 


 

2

2



sin ( ) cos ( )

1

x



x



2



1

2

cos ( )



1 cos(2 )

x

x



 

cos


cot

sin


x

x

x

 



1

csc


sin

x

x

 



sin(

)

sin( )



x

x

  


 

2

2



tan ( ) 1 sec ( )

x

x

 


 

Geometry Fomulas: 

Area of a Square: 

2

A



s

 



Area of a Triangle: 

1

2



A

bh

 



Area of an 

Equilateral Trangle:

2

3

4



A

s

 



Area of a Circle: 

2

A



r



 

Area of a 

Rectangle: 

A

bh

 



 

 


Areas and Volumes: 

Area in terms of (vertical rectangles): 

(

)

b



a

top bottom dx



 

Area in terms of y (horizontal rectangles): 

(

)

d



c

right

left dy



 

General Volumes by Slicing: 

Given: Base and shape of Cross‐sections 

( )


b

a

V

A x dx



 if slices are vertical 

( )


d

c

V

A y dy



 if slices are horizontal 

 

Disk Method: 



For volumes of revolution laying on the axis with 

slices perpendicular to the axis 



2



( )

b

a

V

R x

dx



 if slices are vertical 



2



( )

d

c

V

R y

dy



 if slices are horizontal 

Washer Method: 

For volumes of revolution not laying on the axis with 

slices perpendicular to the axis 



2



2

( )


( )

b

a

V

R x

r x

dx





 if slices are vertical 



2



2

( )


( )

d

c

V

R y

r y

dy





 if slices are horizontal 

Shell Method: 

For volumes of revolution with slices parallel to the 

axis 


2

b

a

V

rhdx



 if slices are vertical 

2

d

c

V

rhdy



 if slices are horizontal 

 

Physical Applications: 



Physics Formulas 

Associated Calculus Problems 

Mass: 

Mass = Density * Volume      (for 3‐D objects) 



Mass = Density * Area           (for 2‐D objects) 

Mass = Density * Length       (for 1‐D objects) 

Mass of a one‐dimensional object with variable linear 

density: 

(

)



( )

b

b

distance

a

a

Mass

linear density

dx

x dx





 

 

Work: 



Work = Force * Distance 

Work = Mass * Gravity * Distance   

Work = Volume * Density * Gravity * Distance 

Work to stretch or compress a spring (force varies): 

'

(



)

( )


b

b

b

Hooke s Law

a

a

a

for springs

Work

force dx

F x dx

kx

dx





 

Work to lift liquid: 



(

)(

)(



) (

)

9.8* * ( ) * (



)

(

)



d

c

volume

d

c

Work

gravity density distance area of a slice dy

W

A y

a

y dy

in metric










Force/Pressure: 



Force = Pressure * Area 

Pressure = Density * Gravity * Depth 

Force of water pressure on a vertical surface: 

(

)(



)(

) (


)

9.8* * (


) * ( )

(

)



d

c

area

d

c

Force

gravity density depth width dy

F

a

y

w y dy

in metric








 

 


Integration by Parts: 

 

Knowing which function to call u and which to call dv takes some practice.  Here is a general guide: 



 

 



 

Inverse Trig Function  

(

1



sin

, arccos ,



x

x

etc



 

 



 

 

Logarithmic Functions  

(

log 3 , ln(



1),

x

x

 etc


 

 



 

 

Algebraic Functions  

(

3

,



5,1 / ,

x x

x

etc



 

 



 

 

Trig Functions  

 

(

sin(5 ), tan( ),



x

x

etc


 

 



dv 

 

Exponential Functions  

(

3

3



, 5 ,

x

x

e

etc


Functions that appear at the top of the list are more like to be u, functions at the bottom of the list are more like to be dv. 

 

Trig Integrals: 



Integrals involving sin(x) and cos(x): 

Integrals involving sec(x) and tan(x): 

1.  If the power of the sine is odd and positive: 

Goal:  

cos


u

x

 



i.  Save a 

sin( )


du

x dx

   



ii.  Convert the remaining factors to 

cos( )


x

(using 


2

2

sin



1 cos

x

x

 


.)   

1.  If the power of  

sec( )

x

is even and positive:  



Goal:

tan


u

x

 



i.  Save a 

2

sec ( )



du

x dx

   



ii.  Convert the remaining factors to 

tan( )


x

 (using 


2

2

sec



1

tan


x

x

 


.)   

2.  If the power of the cosine is odd and positive:



Goal:

sin


u

x

 



i.  Save a 

cos( )


du

x dx

 



ii.  Convert the remaining factors to 

sin( )


x

(using 


2

2

cos



1 sin

x

x

 


.)   

2.  If the power of 

tan( )

x

is odd and positive: 



Goal:

sec( )


u

x

 



i.  Save a 

sec( ) tan( )



du

x

x dx

 



ii.  Convert the remaining factors to 

sec( )


x

 (using 


2

2

sec



1

tan


x

x

 


.)   

3.  If both  sin( )



x

 and  cos( )



x

have even powers: 

Use the half angle identities:  

i. 


2



1

2

sin ( )



1 cos(2 )

x

x



              

ii. 


2



1

2

cos ( )



1 cos(2 )

x

x



 

 

If there are no sec(x) factors and the power of 



tan(x) is even and positive, use 

2

2



sec

1

tan



x

x

 


to convert one 

2

tan x



to 

2

sec x



 

 

Rules for sec(x) and tan(x) also work for csc(x) and 



cot(x) with appropriate negative signs

If nothing else works, convert everything to sines and cosines. 

 

Trig Substitution: 



Expression 

Substitution 

Domain 

Simplification 



2

2

a



u

 



sin

u

a



 

2

2





  

 

2



2

cos


a

u

a



 

2



2

a

u

 



tan

u

a



 

2

2





  

 

2



2

sec


a

u

a



 

2



2

u

a

 



sec

u

a



 

0

,



2

  



 

 



2

2

tan



u

a

a



 

 



 

Partial Fractions: 

Linear factors: 

Irreducible quadratic factors:

2

1

1



1

1

1



1

( )


...

(

)



(

)

(



)

(

)



(

)

m



m

m

P x

A

B

Y

Z

x r

x r

x r

x r

x r



 






 

2

2



2

2

2



1

2

1



1

1

1



1

( )


...

(

)



(

)

(



)

(

)



(

)

m



m

m

P x

Ax

B

Cx

D

Wx

X

Yx

Z

x

r

x

r

x

r

x

r

x

r





 









 

If the fraction has multiple factors in the denominator, we just add the decompositions.

 

Download 158,83 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish