Ii qism. Qatorlar nazariyasidan mashqlar I bob. Sonli qatorlar 1-§. Sonli qatorlar

 

76

 

II QISM. QATORLAR NAZARIYASIDAN MASHQLAR 

I BOB. SONLI QATORLAR 

1-§. Sonli qatorlar 

 

1-misol.  Umumiy  hadi 







1

2

1

2

1







n

n

a

n

  bo’lgan 

qator yig’indisini toping. 

Yechish. 

n

  ga  ketma-ket 

,

.

.

.

,

3

,

2

,

1

  qiymatlar  berib 

quyidagi  













































1

1

2

1

2

1

.

.

.

1

2

1

2

1

.

.

.

7

5

1

5

3

1

3

1

1

n

n

n

n

n

  

qatorni  hosil  qilamiz.  Qatorning  birinchi 

n

  ta  hadlarining 

yig’indisi 







1

2

1

2

1

.

.

.

7

5

1

5

3

1

3

1

1





















n

n

S

n

 

ga  teng.   

n

S

  xususiy  yig’indini  soddaroq  ko’rinishga 

keltirish  uchun  qatorning  umumiy 







1

2

1

2

1







n

n

a

n

  hadini 

aniqmas  koeffitsientlar  usuli  bo’yicha  sodda  kasrlarga 

ajratamiz: 







1

2

1

2

1

2

1

2

1













n

B

n

A

n

n

. 

Umumiy mahraj berib quyidagi ifodani hosil qilamiz  

B

Bn

A

An









2

2

1

 



 





B

A

n

B

A









2

2

1

. 

Bundan  

 

77

 















1

0

2

2

B

A

B

A

 

sistemani yozamiz. 

Bu sistemadan 

2

1



A

,  

2

1





B

 kelib chiqadi.  









 





 



































1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

n

n

n

n

n

n

.

 

Qatorning har bir hadini ikki qo’shiluvchi yig’indisi 

ko’rinishida  ifodalasak, 

n

S

  xususiy  yig’indi  quyidagi 

ko’rinishga keladi: 



















 













 























5

1

3

1

2

1

3

1

1

2

1

1

2

1

2

1

.

.

.

7

5

1

5

3

1

3

1

1

n

n

S

n

` 







































































 



1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

1

3

2

1

2

1

.

.

.

7

1

5

1

2

1

n

n

n

n

n

. 

Qator yig’indisi 

S

 ni quyidagicha topamiz 

2

1

1

2

1

1

lim

2

1

lim































n

S

S

n

n

n

. 

Demak,  berilgan  qator  yaqinlashuvchi  bo’lib, 

qatorning yig’indisi 

2

1

 ga teng bo’ladi. 

2-misol. 

.

.

.

7

6

5

4

3

2







qator  yaqinlashishning  zaruriy 

shart bajarilishini tekshiring. 

Yechish.  Berilgan  qatorning  umumiy  hadi 

1

2

2



n

n

 

ko’rinishda bo’ladi. U holda  

,

.

.

.

1

2

2

.

.

.

7

6

5

4

3

2













n

n

  

1

2

2





n

n

a

n

. 

 

78

 

Ma’lumki,  qator  yaqinlashuvchi  bo’lsa,  uning 

umumiy hadi 





n

 da nolga intiladi. Buni e’tiborga olgan 

holda 

1

1

2

2

lim

1

2

2

lim

lim























n

n

n

a

n

n

n

n

 

bo’ladi. 

Qator  yaqinlashishining  zaruriy  sharti  bajarilmadi, 

shuning uchun berilgan qator uzoqlashuvchi.  

 

Mustaqil yechish uchun mashqlar 

 

Quyidagi qatorlarinng yig’indilarini toping. 

1. 

.

.

.

2

3

1

.

.

.

12

1

6

1

3

1

1















n

                           Javob: 

3

2

  

2. 





.

.

.

1

1

.

.

.

4

3

1

3

2

1

2

1

1



















n

n

                   Javob: 

1

 

3. 





















.

.

.

5

4

3

1

4

3

2

1

3

2

1

1

 







.

.

.

2

1

1









n

n

n

                                

Javob: 

4

1

 

4. 





.

.

.

1

1

2

.

.

.

3

2

5

2

1

3

2

2

2

2

2

2

















n

n

n

                 Javob: 

1

 

5. 

.

.

.

5

3

1

4

2

1

3

1

1













                                    Javob: 

4

3

 

6. 

.

.

.

7

5

1

5

3

1

3

1

1













                                     Javob: 

2

1  

 

79

 

Quyidagi  qatorlarning  yaqinlashishini  zaruriy  sharti 

yordamida tekshiring. 

1. 

.

.

.

1

.

.

.

27

10

8

5

1

2

2

2













n

n

 

           Javob: uzoqlashuvchi 

2. 

.

.

.

2

1

2

.

.

.

6

5

4

3

2

1













n

n

                 Javob: uzoqlashuvchi 

3. 

.

.

.

1

cos

.

.

.

3

1

cos

2

1

cos

1

cos











n

                Javob: 

uzoqlashuvchi 

4. 

.

.

.

3

4

ln

2

3

ln

1

2

ln







                         Javob: uzoqlashuvchi 

5. 

.

.

.

1

2

1

.

.

.

7

4

5

3

3

2















n

n

                 Javob: uzoqlashuvchi 

6. 





.

.

.

3

1

1

2

1

1

1

1

3

2













 













 





              Javob: uzoqlashuvchi 

 

2-§. Musbat hadli qatorlar 

 

Quyidagi 

qatorlarning 

yaqinlashish 

yoki 

uzoqlashishini tekshiring. 

1-misol.  











1

1

3

1

n

n

n

. 

Yechish. Berilgan qatorning 

1

3

1







n

n

n

a

 umumiy hadi 

yaqinlashuvchi  bo’lgan  quyidagi 









1

1

3

1

n

n

    geometrik 

















1

3

1

q

  qatorning  umumiy  hadidan  kichik,  ya’ni 

 

80

 

n

n

n

n

b

n

a













1

1

3

1

3

1

  solishtirish  alomatiga  asosan,  berilgan 

qator yaqinlashuvchi bo’ladi. 

2-misol.  









1

1

2

1

n

n

. 

Yechish.  Umumiy  hadi 

1

2

1





n

a

n

  bo’lgan  berilgan 

qatorni    umumiy  hadi 

n

b

n

1



  bo’lgan  uzoqlashuvchi 







1

1

n

n

 

garmonik qator bilan solishtiramiz. 

Ikkinchi solishtirish alomatiga asosan 

0

2

1

1

2

lim

1

1

2

1

lim

lim

























n

n

n

n

b

a

n

n

n

n

n

 

bo’lgani  uchun  berilgan  qator  ham  uzoqlashuvchi 

bo’ladi. 

3-misol.  







1

3

n

n

n

. 

Yechish.  Bu  qatorning  umumiy  hadi 

n

n

n

a

3



,  keyingi 

hadi 

1

1

3

1









n

n

n

a

. Dalamber alomatiga asosan 









1

3

1

1

lim

3

1

3

3

1

lim

3

3

1

lim

lim

1

1

1











































n

n

n

n

n

n

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

 

bo’lgani uchun berilgan qator yaqinlashuvchi bo’ladi. 

4-misol.  









1

!

3

n

n

n

n

n

. 

 

81

 

Yechish.  Bu  yerda 

n

n

n

n

n

a

!

3





, 









1

1

1

1

!

1

3















n

n

n

n

n

a

. 

Dalamber alomatiga asosan 



























































!

3

1

!

1

3

lim

!

3

:

1

!

1

3

lim

lim

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

 





1

3

1

1

lim

3

1

1

1

lim

3

1

lim

3

1

3

lim















 













 







































e

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

 

bo’lgani uchun berilgan qator uzoqlashuvchi. 

5-misol.  





















1

2

1

n

n

n

n

. 

Yechish. Koshining radikal alomatiga ko’ra  

1

1

1

1

1

lim

1

lim

1

lim

lim

2















 



















































e

n

n

n

n

n

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

 

bo’lgani uchun qator yaqinlashuvchi. 

6-misol. 

 







1

1

n

n



 

(Dirixle 

qatori) 

qatorni 

yaqinlashishga tekshiring. 

Yechish.  Qatorni  yaqinlashishga  tekshirish  uchun 

Koshining integral alomatidan foydalanamiz. 

 



x

x

f

1



  deb  olib,  ushbu 





1



x

dx

  xosmas  integralni 

tekshiramiz. 

 

82

 













































1

,

ln

1

,

1

1

1

lim

lim

1

1













b

b

dx

x

x

dx

b

b

b

 





























chi

uzoqlashuv

 

          

lsa,

bo'

1

agar

,

chi

uzoqlashuv

 

          

lsa,

bo'

1

agar

,

vchi

yaqinlashu

lsa,

bo'

1

agar

,

1

1









 

Demak, xosmas integral 

1





 da yaqinlashuvchi, 

1





 

da  uzoqlashuvchi  .  Koshining  integral  alomatiga  ko’ra 







1

1

n

n



 qator 

1





 da yaqinlashuvchi, 

1





 da uzoqlashuvchi 

bo’ladi. 

1





  bo’lganda 







1

1

n

n

  garmonik  qator  hosil 

bo’ladi.