Gruppa. Qism gruppa. Chekli gruppalar

1.1 Gruppa. Qism gruppa. Chekli gruppalar.

           – ixtiyoriy bo’sh bo’lmagan to’plam bo’lsin. Agar   to’plamning ma’lum tartibda olingan   ta elementi mos qilib qo’yilgan bo’lsa,   da n-ar algebraik amal aniqlangan deyiladi. Boshqacha qilib aytganda n-ar algebraik amal  

 

akslantirishdir.   soni   amalning arligi deyiladi.

         0–ar (nular) amal   ning qandaydir elementini doimiylashtiradi (ya’ni bu amal   ning hamma elementlarini bitta elementga o’tkazadi);

         1-ar (unar) amal har bir   elementga   elementni mos qilib qo’yadi.

2-ar (binar) amal   elementlarning har bir tartiblangan juftiga   elementni mos qilib qo’yadi.

3-ar (ternar) amal   elementlarning har bir tartiblangan uchligiga   elementni mos qilib qo’yadi va h.k.

Biz asosan binar algebraik amallarni qarab chiqamiz. Binar algebraik amal ko’pgina hollarda umumiy shaklda * belgi bilan, bu amalning a va b elementlarga tadbiq etilishi natijasi esa   shaklda belgilanadi. Bunday belgilashda (bu amalni qandaydir biror aniq amal, masalan,   va h.k. bilan almashtirganda) * amalning o’zi kompozitsiya, uning   va   elementlarga tadbiq etilishi natijasi, ya’ni   element   va   elementlar kompozitsiyasi deyiladi. Algebraik amallar majmo’i (ular istalgan arlik bo’lishi mumkin) aniqlangan bo’sh bo’lmagan ixtiyoriy to’plam algebraik sistema (algebraik struktura, algebraik tizim) deyiladi.

         Shuni qayd qilamizki,   da binar algebraik amal ta’rifi   va   elementlarning   kompozitsiyasi; birinchidan   ga tegishli, ikkinchidan bu kompozitsiya bir qiymatli va uchinchidan    va   elementlar tartibiga bog’liq bo’lishini talab qiladi.

          * algebraik amalli   to’plam   shaklda belgilanadi va gruppoid deyiladi.  

         1-m i s o l. Agar   (natural sonlar to’plami),  

 – esa oddiy ma’nodagi qo’shish   bo’lsa, u holda  gruppoid bo’ladi. ■

         2-m i s o l.   ham gruppoid (bu yerda  –  sonlarni ko’paytirish). ■

         3-m i s o l.  lar gruppoid emas. ■

4-m i s o l.   va   -- lar gruppoid emas, chunki birinchi o’nlik sonlarini qo’shish va ko’paytirish uning chegarasidan tashqariga chiqarib yuborishi mumkin:

 bo’lsa hamki  . ■

5-m i s o l. Agar   kompozitsiya   bo’lsa u holda    gruppoid bo’ladi. Unda oldingi misollardan farqli ravishda hamma vaqt ham   bo’lavermaydi (masalan,  ). ■

6-m i s o l.   bo’lsin. Kompozitsiyani quyidagi jadval bilan beriladi:

*	a	b	e
a	a	e	a
b	e	a	b
e	a	b	e

 Ko’rinib turibdiki,   - gruppoid. ■

7-m i s o l.   bo’sh bulmagan to’plam bo’lsin. Almashtirishlar kompozitsiyasi (ko’paytmasi):

a)   to’plamning hamma almashtirishlari;

b)   to’plamning hamma inyektiv almashtirishlari;

s)   to’plamning hamma suryektiv almashtirishlari;

d)   to’plamning hamma biyektiv almashtirishlari

to’plamlarida binar algebraik amamllar bo’ladi. Demak, a), b), c), va d) hollardagi algebraik sistemalar gruppoidlardir. ■

Agar ixtiyoriy   lar uchun   bo’lsa,   dagi * binar algebraik amallar assosiativ deyiladi.

Agar * kompozitsiya assosiativ bo’lsa,   gruppoid polugruppa (yarimgruppa) deyiladi.

8-misol.   va   polugruppalardir, chunki hamma vaqt

 va  . ■

9-misol.   amalli   sistema polugruppa emas, chunki   tenglik hamma vaqt ham to’g’ri bo’lavermaydi, masalan,   ■

10-misol. Hamma rasional amallarning  to’plami uchun   amalli  gruppoid polugruppa emas, chunki ixtiyoriy   elementlar uchun  va   qiymatlar hamma vaqt ham mos tushavermaydi. ■

Agar har qanday   element uchun   va   bo’lsa,   gruppoidning   elementi neytral element deyiladi.