F(x) funktsiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funktsiyani qatorga yoyish

Teylor va makloren qatorlari
Reja:

1.Teylor qatori.

2. Makloren qatori.

3. Elementar funktsiyalarni darajali qatorlarga yoyish.
1. TEYLOR QATORI

f(x) funktsiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funktsiyani qatorga yoyish deb ataladi.

Faraz qilaylik, f(x) funktsiya biror (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:

f(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ+… (1)

(1) qatorning koeffisiyentlari va x₀ nuqtadagi hosilalarini f(x) funktsiyaning qiymatlari orqali ifodalaymiz. U holda, qatorning birinchi hadi f(x₀) =x₀ (2)

dan iborat bo`ladi.

f(x) funktsiya x₀ nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e`tiborga olib, ni topamiz:

f`(x)=a₁+2a₂(x-x₀)+3a₃(x-x₀)²+…+na_n(x-x­₀)^n-1+… (3)

Bundan, x = x₀ bo`lgan holda

f`(x₀)=a₁ (4)

ekanligi ko`rinadi. (3) ning ikkala tomonini differentsiallab, quyidagini hosil qilamiz:

(5)

x = x₀ bo`lganda

. (6)

Yuqoridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo`ladi:

(7)

(2), (4), (6) va (7) lardan (1)- qator koeffisiyentlarini topamiz:

, , ,…, ,… (8)

a_0­­, a_1, a₂,… a_n lar Teylor koeffitsiyentlaridan iborat.

Agar (8)- qatordagi a_0­­,_, a₁,…a_n larning qiymatlari (1)- qatorga qo`yilsa, f(x) funktsiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi Teylor qatori hosil bo`ladi:

(9)

f(x) funktsiyaning x₀ nuqtadagi integral ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagidan iborat:



R_n (x) – qoldiq had.

Bunda, .

2. MAKLOREN QATORI
Faraz qilaylik, berilgan f(x) funktsiya quyidagi darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:

(1)

Bundagi a₀, a₁, a₂, a₃,… lar aniqmas koeffisiyentlardan iborat. Shu koeffisiyentlarni berilgan f(x) funktsiya orqali ifodalaymiz. Darajali qatorni uning yaqinlashish oraligi da hadlab differentsiallaymiz:

Hosil bo`lgan tengliklar va (1) tenglikda x=0 deb, quyidagi a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,… larga ega bo`lamiz:

, , , , ,...

Bu qiymatlarni (1) qatorga qo`yamiz:

(2)

Hosil bo`lgan (2) qatorga Makloren qatori deyiladi.

formula esa qoldiq hadli Makloren formulasidir.

Teylor va Makloren qatorlaridan ko`rinadiki, Makloren qatori Teylor qatorining xususiy holidan iborat bo`lib, Teylor qatoridagi x = 0 bo`lganda ikkala qator ham bir xil ko`rinishga ega bo`ladi.
3. ELEMENTAR FUNKTSIYaLARNI DARAJALI QATORLARGA YoYISh
1.f(x) =e^x funktsiyani x darajasi bo`yicha Makloren qatoriga yoyish.

Yechilishi: e^x ning hosilalarini ketma–ket topamiz va x=0 nuqtada ularning qiy-matlarini aniqlaymiz:

, , , ,…

x=0 bo`lganda:

, , , ,…

Bu qiymatlarni Makloren qatoriga qo`ysak, quyidagi qator hosil bo`ladi:

2. f(x) = sinx funktsiyani Makloren qatoriga yoyish.

Yechilishi: Berilgan funktsiyaning hosilalarini topamiz:



x =0 nuqtada ularning qiymatlarini topamiz va Makloren qatoriga qo`yamiz:



3.f(x) = cos x funktsiyaning yoyilmasi.

Yechilishi: f(x) = cos x funktsiyaning hosilalarini topamiz:

…

x = 0 nuqtada topilgan hosilalarning qiymatlarini aniqlaymiz:

Topilgan qiymatlarni Makloren qatoriga qo`yamiz:

4.f(x) = (1+x)^k – Nyuton binomining yoyilmasi.

Yechilishi: Berilgan Nyuton binomidan ketma – ket hosilalar olamiz:



,…

x = 0 nuqtada qiymatlarini topamiz:

Topilganlarni Makloren qatoriga qo`yamiz:

5. ko`phadni (x - 1) ning darajasi bo`yicha qatorga yoyish.

Yechilishi: Berilgan funktsiyaning hosilalarini topamiz:

x=1 nuqtada ko`phad va uning hosilalari qiymatlarini topamiz:

, , , , ,

Topilgan qiymatlarni Teylor qatoriga qo`yamiz:

6. funktsiyani x = 0 nuqtada Teylor qatoriga yoyish.

Yechilishi: Funktsiyaning hosilalarini topamiz:

, ,

Qiymatlarini topib, Teylor qatoriga qo`yamiz:

, , , ,…,

U holda,

7. ko`phadni x–2 ning o`suvchi darajasi tartibida Teylor qatoriga yoying.

Yechilishi: Funktsiyaning hosilalarini topamiz:

, ,

Hosilalarning son qiymatini topish uchun x ning o`rniga 2 ni qo`yamiz, ya`ni x=2:

, , , .

Bu qiymatlarni Teylor qatoriga qo`yamiz:

yoki