Funksiya uzluksizligi. Uzilish nuqtalari va ularning



Download 89,43 Kb.
Sana21.09.2021
Hajmi89,43 Kb.
#180758
Bog'liq
Funksiya uzluksizligi. Uzilish nuqtalari va ularning turlari
1-практическое задание по ИКТ, 1 Практическая работа №1, Funksiya uzluksizligi. Uzilish nuqtalari va ularning turlari, Funksiya uzluksizligi. Uzilish nuqtalari va ularning turlari, Ajoyib limitlar 1- ajoyib va 2- ajoyib limit, Ajoyib limitlar 1- ajoyib va 2- ajoyib limit, Haqiqiy sonlar, To’plam haqida tushuncha. To’plamlar ustida amallar. To'plam haq (2), 201, KOMMUTATSION APPARATLAR, ПК1, ariza namuna last, pride and prejudice shortly, Sport inshootlari


FUNKSIYA UZLUKSIZLIGI.

UZILISH NUQTALARI VA ULARNING TURLARI


Reja


  1. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi

  2. Bir tomonlama uzluksizlik. Funksiyaning kesmada uzluksizligi.

  3. Uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalari. Elementar funksiyalarning uzluksizligi.

  4. Uzilish nuqtalari va ularning turlari.

  5. Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari.

Tayanch soʻz va iboralar: Uzluksizlik, chapdan uzluksizlik, oʻngdan uzluksizlik, kesmada uzluksizlik, uzilish nuqtalari, uzilish turlari.

    1. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi





у f (x)

funksiya


x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan boʻlsin.

Agar funksiyaning boʻlsa, ya’ni

x0 nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga tеng

lim

xx0

f (x) 

f (x0 )

(4.1)


tenglik oʻrinli boʻlsa,

у f (x) funksiya

x0 nuqtada uzluksiz dеb ataladi.

Demak, (4.1) formuladan quyidagi uchta shart oʻrinli ekanligi kelib chiqadi:

  1. у f (x)

  2. у f (x)

funksiya funksiya

x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan;

x0 nuqtada limitga ega;

  1. у f (x)

boʻladi.

funksiyaning



x0 nuqtadagi limiti shu nuqtadagi qiymatiga teng

Bundan,
sin x
lim sin x


lim

xx0
f (x) 
f ( lim x) 

xx0

f x0 .

Masalan,

lim e x x0

ex0 x

e1 e .

Yuqoridagi ta’rifni kengaytirib quyidagicha yozish mumkin.

Agar

у f (x)

funksiya


x0 nuqtada va uning atrofida aniqlangan boʻlib,

istalgan   0

son uchun shunday 0

son mavjud boʻlsaki,

x x0

shartni


qanoatlantiradigan istalgan х uchun

f x f x0   

tеngsizlik oʻrinli boʻlsa,



у f (x)

funksiya


x0 nuqtada uzluksiz dеb ataladi.

Uzluksizlikning yana bir ta’rifini argument va funksiya orttirmasi tushunchalari yordamida ham berish mumkin.

у f (x)

funksiya biror

(a,b)

oraliqda aniqlangan boʻlsin. Ixtiyoriy



x0 (a,b)

nuqtani olamiz, unga funksiyaning

у0

f (x0 )

qiymati mos kеladi. Ixtiyoriy



x (a,b)

nuqta uchun



x x0

ayirma x argumеntning



x0 nuqtadagi orttirmasi

dеyiladi va x bilan bеlgilanadi.

f x f x0 ayirma esa у f (x) funksiyaning argumеnt orttirmasi x

ga mos



orttirmasi, ya’ni

у f (x) funksiyaning

x0 nuqtadagi orttirmasi dеyiladi va y

bilan


bеlgilanadi. Shunday qilib,

x

x x 0 ,

y f x f x0 .

Bundan,

x x0 x , u holda

Y

y f x0 x f x0 .

y0y y=f (x)

y0

0 a x0 x0 + x b X

1-shakl.


x va y

orttirmalar musbat ham, manfiy ham boʻlishi mumkin.



x x0

shart

x x0  0

ga teng kuchli boʻlgani uchun (4.1)ni



lim y  0

x0



lim f x f x0  0 kabi yoki

xx0

(4.2)


kabi ifodalash mumkin. Bu esa, nuqtada uzluksizlikning orttirmalar boʻyicha ta’rifidan iboratdir.

Agar

у f (x) funksiya

x0 nuqtada va uning atrofida aniqlangan boʻlib,

argumеntning chеksiz kichik orttirmasiga funksiyaning chеksiz kichik orttirmasi

mos kеlsa, ya’ni

lim y  0

x0



boʻlsa, funksiya

x0 nuqtada uzluksiz dеb ataladi.

1-misol.


у x2

funksiya


x0 1 nuqtada uzluksizligini koʻrsating.

Yechish. (4.2) ni tekshiramiz,

y f x0 x f x f 1 x f 1 1 x 1 2 x x .


0

2 2 2

lim y  lim 2  x  x  0 .


Demak, у x2

x0

funksiya


x0

x0 1 nuqtada uzluksiz ekan.

Funksiyaning nuqtadagi bir tomonlama limitlari oʻzaro tеng boʻlganda, ya’ni

f (x0 0) f (x0 0) da va faqat shundagina funksiyaning limiti mavjudligi ma’lum.

Funksiyaning chap va oʻng limitlari x0 nuqtada mavjud va oʻzaro tеng boʻlib,



shu nuqtadagi qiymatiga teng boʻlsa, у f (x) funksiya

ataladi:


x0 nuqtada uzluksiz dеb

f (x0  0) 

f x0  

f (x0  0)

(4.3)




    1. Bir tomonlama uzluksizlik. Funksiyaning kesmada uzluksizligi





Agar

у f (x)

funksiya a; x0

oraliqda aniqlangan va

lim

xx0 0

f (x) 

f (x0 )


boʻlsa, u holda bu funksiya x0 nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi.

Agar

у f (x)

funksiya x0;b

oraliqda aniqlangan va

lim


xx0 0

f (x) 

f (x0 )

boʻlsa, u holda bu funksiya x0 nuqtada oʻngdan uzluksiz deyiladi.

Agar

у f (x)

funksiya ixtiyoriy



x (a,b) da uzluksiz boʻlsa, u holda

funksiya shu

(a,b)

oraliqda uzluksiz deyiladi.


Agar

у f (x)

funksiya


(a,b)

oraliqda uzluksiz boʻlib,



x a

nuqtada oʻngdan



uzluksiz(

lim


xa 0

f (x)  f (a) ) va

x b

nuqtada chapdan uzluksiz(

lim

xb0

f (x)  f (b) )


boʻlsa, u holda funksiya a,b

kesmada uzluksiz deyiladi.





    1. Uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalari. Elementar funksiyalarning uzluksizligi



Tеorеma 1. Ikki uzluksiz funksiyalar yigʻindisi, koʻpaytmasi va boʻlinmasi yana uzluksiz funksiyalardir(bunda boʻlinma uchun maxrajidagi funksiya noldan farqli argument qiymatlaridan tashqari).

1) lim  f (x)  x 

xx0

f (x0)  (x0)

2) lim  f (x) x 

xx0

f (x0) (x0)

3) lim

f (x)

f (x0 ) ,

(x )  0

x x0 (x)

(x0 )




0
Tеorеma 2 Agar

u  (x)

funksiya


x0 nuqtada uzluksiz,

у f (u) funksiya

esa

x0

u0 x0 nuqtada uzluksiz boʻlsa, u holda nuqtada uzluksiz funksiyadir, ya’ni

у f (x)

murakkab funksiya ham



lim

xx0

f x  f x0 .

Tеorеma 3. Agar

у f (x)

funksiya Ox oʻqining a,b

kesmasida qat’iy


monoton va uzluksiz boʻlsa, u holda unga teskari

y  (x)

funksiya ham mos



ravishda Oy oʻqining c, d

kesmasida monoton va uzluksiz boʻladi.


2-misol.


y  sin x

funksiya oʻzi aniqlangan barcha



x R

nuqtalarda



uzluksizligini isbotlang.

Yeсhish.


x0 nuqtani bеlgilaymiz va shu nuqtada y

orttirmani tuzamiz:




y

f x

 x f x



  sinx

 xsinx

  2cos x

x sin x .

0 0 0



00

2 2

Demak, nuqtada uzluksizlik ta’rifga koʻra,

sin x

funksiya


x0 nuqtada

uzluksiz. Biroq

x0 son toʻg‘ri chizig‘ining istalgan nuqtasi, dеmak,

sin x

funksiya


sonlar oʻqining istalgan nuqtasida uzluksizdir.

Teorema 1 ga koʻra, uzluksizdir.

tgx sin x

cos x

funksiya barcha



x  k, k Z

2

nuqtalarda



Teorema 3 ga koʻra, nuqtalarda uzluksiz boʻladi.

arcsin x, arccos x, arctgx,arcctgx

oʻzi aniqlangan barcha



Teorema 4. Barcha asosiy elementar funksiyalar oʻzi aniqlangan barcha

nuqtalarda uzluksizdir.

Elementar funksiyalar deb, bitta formula bilan berish mumkin boʻlgan, asosiy elementar funksiyalarning chekli sondagi arifmetik amallari va superpozitsiyasini oʻz ichiga oluvchi funksiyalarga aytiladi.

Teorema 5. Barcha elementar funksiyalar oʻzi aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir.

    1. Uzilish nuqtalari va ularning turlari

Funksiya uzluksizligi buziladigan nuqtalar shu funksiyaning uzilish nuqtalari



deyiladi. Agar

x0 nuqta

у f (x)

funksiyaning uzulish nuqtasi boʻlsa, quyidagi



shartlardan kamida bittasi bajariladi:

  1. Funksiya

x0 nuqta atrofida aniqlangan, lekin

x0 nuqtaning oʻzida

aniqlanmagan.

Masalan,

у 1 ,

x  2

x0 2 da aniqlanmagan.

  1. Funksiya

x0 nuqta va uning atrofida aniqlangan, lеkin

x0 nuqtadagi

funksiyaning

f (x0  0)

chap limiti va



f (x0  0) oʻng limitlaridan kamida biri

cheksiz yoki mavjud emas.

1


Masalan, у 3x2 , f 2  0  0,

f (2  0)  

  1. Funksiya

x0 nuqta va uning atrofida aniqlangan,

x0 nuqtada bir tomonlama

chekli limitlar mavjud, lеkin oʻzaro tеng emas:

f x0  0 

f (x0  0)

Masalan,


у x 1,

agar

x  2

bo`lsa


,

f 2  0  1  f (2  0)  0



2  x,

agar

x  2 bo`lsa.

  1. Funksiya x0 nuqtada aniqlangan, bir tomonlama limitlar mavjud, oʻzaro

tеng, ya’ni

lim

xx0

f (x)

mavjud, lеkin ular funksiyaning bu nuqtadagi



qiymatiga tеng emas:
sin x , agar

f x0  0  f (x0  0) 

x  0 bo`lsa
f x0 .

Masalan,

у x

2,

agar

x  0 bo`lsa.

Yoʻqotish(Bartaraf etish) mumkin boʻlgan uzilish.


x0 nuqtada

у f (x)

funksiya uzilishga ega, biroq bir tomonlama limitlar mavjud va oʻzaro tеng, ya’ni

f x0  0  f (x0  0)

ataladi.


boʻlsa,

x0 nuqta yoʻqotish mumkin boʻlgan uzilish nuqtasi dеb

Bu nuqtaning bunday atalishiga sabab shuki, funksiyaning bu nuqtadagi qiymati sifatida bir tomonlama limitlarning qiymatlarini oladigan boʻlsak, biz goʻyo funksiyani shu nuqtada yangidan aniqlab, uzilishni yoʻqotamiz.

sin x , agar


x  0 bo`lsa

Masalan,
nuqtasidir.

у x

2,

agar

x  0 bo`lsa.

x0  0

nuqta funksiyaning uzilish



Biroq,

lim

x0

sin x 1 , ya’ni

x

f  0 

f (0)  1

bir tomonlama limitlar mavjud



va oʻzaro tеng, ammo

x0  0

nuqtada


f (0) 2 . Dеmak,

x0  0

yoʻqotish mumkin



boʻlgan uzilish nuqtasi,

f 0  f  0  f (0)  1

dеb olamiz. Shu bilan uzilish




nuqtasini bartaraf etamiz(2-shakl) .

2-shakl.

Birinchi tur uzilish nuqtasi. Agar


x0 nuqtada

у f (x)

funksiyanig bir



tomonlama limitlar mavjud va oʻzaro tеng boʻlmasa, ya’ni

f x0  0 

f (x0  0)

boʻlsa, bu nuqta birinchi tur uzilish nuqtasi dеb ataladi. h

f x0  0 f (x0  0)

soni



{.

.
funksiyaning x0 nuqtadagi sakrashi dеb ataladi(3-shakl).



0 𝑥0 𝑥

3- shakl


Ikkinchi tur uzilish nuqtasi. Agar x0 nuqtada bir tomonlama limitlardan

kamida biri chеksiz yoki mavjud boʻlmasa, dеyiladi.

x0 nuqta ikkinchi tur uzilish nuqtasi

  1. misol. Uzilish turi aniqlansin:

у x x

Yechish.


x  0,

f  0  1 

f (0)  1 ,

y

h f  0 f (0)  2



.

.
4-shakl.




Dеmak,

x  0

birinchi tur uzilish nuqtasi boʻladi.

1


  1. misol. Uzilish turi aniqlansin:

1


f (x)  2 х1


Yechish. f (x) 2 х1

funksiya x 1 nuqtada aniqlanmagan(5-shakl).

1


f 1  0 

lim


x10

2 x 1  2  0,



f 1  0 
lim

x10

1

2 x 1  2  .



Dеmak,

x  1

nuqta - ikkinchi tur uzilish nuqtasi.






  1. shakl.


5-misol. Uzilish turi aniqlansin:

f (x)  sin 1 .

x




Yechish.


f (x)  sin 1

x

funksiya


x  0
nuqtada aniqlanmagan. Lekin

f (0)  lim sin 1
mavjud emas, demak,

x  0
ikkinchi tur uzilish nuqtasidir .

x0

x
  1. Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari


Teorema 6. Agar
f (x)

funksiya a;b kesmada uzluksiz boʻlsa, funksiya shu



kesmada oʻzining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi.

Natija 1. Kesmada uzluksiz funksiya shu kesmada chegaralangan boʻladi.

Teorema 7. Agar
f (x)

funksiya a;b kesmada uzluksiz va kesma chetlarida



f (a)  A, f (b)  B boʻlsa, u holda funksiya shu kesmada A va B lar orasidagi barcha

qiymatlarni qabul qiladi.

Natija 2. Agar f (x)

funksiya a;b kesmada uzluksiz va kesma chetlarida har



xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda shu kesma ichida kamida bitta shunday

c nuqta mavjudki, bu nuqtada funksiya qiymati nolga teng: f (с)  0 .



Download 89,43 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
axborot texnologiyalari
ta’lim vazirligi
zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
O’zbekiston respublikasi
nomidagi toshkent
guruh talabasi
o’rta maxsus
toshkent axborot
texnologiyalari universiteti
xorazmiy nomidagi
davlat pedagogika
rivojlantirish vazirligi
pedagogika instituti
vazirligi muhammad
haqida tushuncha
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
respublikasi axborot
toshkent davlat
O'zbekiston respublikasi
tashkil etish
vazirligi toshkent
bilan ishlash
Toshkent davlat
matematika fakulteti
saqlash vazirligi
Ishdan maqsad
o’rta ta’lim
ta’limi vazirligi
fanining predmeti
pedagogika universiteti
haqida umumiy
uzbekistan coronavirus
sog'liqni saqlash
koronavirus covid
coronavirus covid
qarshi emlanganlik
respublikasi sog'liqni
vazirligi koronavirus
risida sertifikat
vaccination certificate
sertifikat ministry
covid vaccination
moliya instituti
fanidan tayyorlagan
umumiy o’rta
fanlar fakulteti
fanidan mustaqil
ishlab chiqarish
Toshkent axborot