Differensial tenglamalar



Download 3.27 Mb.
bet7/8
Sana29.08.2021
Hajmi3.27 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8

Mashqlar.



(Javoblar)

1. 1 - y 2 dx +

1 -x2 dy = 0 ; (у = С

1 -х2 +

æ

1 -С 2 х = 0);



ö

2. у / =

1 + y ;



ç у - С

1 + х + 1 = 0÷ ;



1 - x2



ç 1 - х ÷


è

ø
3. x(1+y2)dx=ydy; (у 2 +1 = Се х2 ,)

4. = ; (
2 + у 2 =

+ С),



dy x


dx y

2 + y 2

1 + x 2


  1. у /

= 10x+ y ;

(10x +10- у = С),

æ x 2 ö

  1. у /

= (1+ y 2 )(1 - x);

çç arctgy +

è

- x = C,÷÷



2 ø

3.0 Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar.


Agarda M ko‟phadning barcha hadlari x va y larga nisbatan bir xil darajaga ega bo‟lsa, bunday ko‟phadga bir jinsli ko‟phad deyiladi, masalan: M1=x2y+xy2+y3, ko‟phad 3-

darajali, M2= 2x2+3xy+5y2 ko‟pxad 2-darajali, M3=2 darajali bir jinsli ko‟phadlarga misol bo‟ladi.

Rdx+Qdy=0, (1)

+ 5х - 7 у

ko‟pxad esa 1-


ko‟rinishdagi tenglamada R va Q x va y ga nisbatan bir xil darajali ko‟phaddan iborat bo‟lsa, bu tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi.

Bunday tenglamani qanday yechishni aniq misolda ko„rsatamiz. Misol.



y2dx+(x2-xy)dy=0, (2)

tenglamani yechishni qaraymiz, bu yerda R=y2 va Q=x2-xy bo‟lib, ular 2-tartibli bir jinsli funksiyalardir, shu sababdan (2) tenglama bir jinslidir. (2)dan

dy =

dx

y 2

,

xy - x 2

(3)


y=zx (4)

almashtirish bajarsak, bu yerda z, x ning yangi funksiyasi, (4) ni differensiallab

dy = z + x dz ,

(5)


dx

  1. va (5) dan y va

dx

dy larni qiymatlarini (3) tenglamaga qo‟ysak:

z + x dz =
z 2 x2

,


yoki

dz z 2

dx
dz z

dx zx2 - x2

z + x =

dx


z -1

bundan

x =

dx z -1

o„zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga ega bo„lamiz.

O„zgaruvchilarni ajratsak

z -1 dz = dx

z x

yoki

æ 1 ö



ç1 -

÷dz = dx . Bu tenglikni integrallab

z - ln z

= ln x + ln С ,



C ¹ 0 -o‟zgarmas son.

è z ø x

z=lnez ni e‟tiborga olib lnez=lnçCxzç yoki ez=Czx, (4) dan

(2) yoki (3) tenglamani umumiy yechimini topamiz:



y

z = y ni ohirgi tenglikka qo‟yib,

x



e x = Сy,

Mashqlar.


Qo„yidagi tenglamalarni umumiy yechimini toping.

(Javoblar)

æ y ö

ç ÷


1.(x+y)dx+xdy=0;

ç e x

è

= Cx ÷,



ø

2 2 æ y 2 ö

2. у / = х + y ;

xу

ç e 2 x

ç

è

æ arctg y



ç

= Cx ÷,

÷

ø

ö



÷

3.(x+y)dx+(y-x)dy=0;

ç e x = C

è

x 2 + y 2 ÷,

ø


æ - x ö

4.xdy-ydx=ydy;

ç e y

ç

è



æ

= Cy ÷,

÷

ø

y 2 ö



5.(x2-2y2)dx+2xydy=0;

ç xe x2

ç

è



= C ÷.

÷

ø



Ushbu

40. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.


dy + a(x) y = b(x), dx

(1)


ko‟rinishdagi tenglamalarga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar deyiladi,

tenglamani chiziqli deyilishiga sabab, noma‟lum y funksiya va uning hosilasi

у / = dy

dx

birinchi darajada tenglamada qatnashyapti, bu yerda a(x) va b(x) xÎX da berilgan, aniqlangan va uzluksiz funksiyalardir. Xususiy holda a(x) va b(x) lar o‟zgarmas sonlar ham bo‟lishi mumkin.

Agar (1) tenglamaning o‟ng tomoni b(x)¹0 bo‟lsa, bu tenglama chiziqli bir jinsli bo‟lmagan tenglama deyiladi. Agar b(x)=0 bo‟lsa (1) tenglama chiziqli o‟zgaruvchilari ajralgan tenglama bo‟ladi. b(x)¹0 bo‟lsin, ya‟ni (1) tenglama bir jinsli bo‟lmasin deylik. (1) tenglamani o‟rniga qo‟yish usuli (Eyler-Bernulli metodi) bilan yechishni qaraymiz. (1) tenglamada erkli o‟zgaruvchi x ni o„zicha qoldirib,

y=u×v , (2)

(bu yerda u va v – o„zgaruvchilar x ning yangi uzluksiz funksiyalari) formula bo‟yicha almashtirish bajaramiz. (2) dan x bo„yicha hosila olsak,



dy = u dv + v du ,

(3)


dx dx dx

(2) va (3) ni (1) ga qo‟ysak

v du + ué dv + a(x)vù = b(x),
(4)

dx êë dx úû

Endi v funksiyani shunday tanlaylikki,

dv + a(x)v = 0,

dx
(5)

tenglik o‟rinli bo„lsin. (5) tenglamada o„zgaruvchilarni ajratsak,

dv = -a(x)dx, v

(v ¹ 0)



Bu tenglikni integrallab quyidagini topamiz.

ln v = -ò a(x)dx + ln С ,

-ò a( x)dx

(С ¹ 0 - ixtiyoriy o„zgarmas son) yoki

v = Сe ,

(6)


v funksiyaning bu qiymatini (4) ga qo‟ysak, u funksiya uchun o„zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:

Сe-ò

a( x)dx du

×

dx

= b(x),

(7)


Bu tenglamaning ikkala qismini yerdan

eò a( x)dxdx

ga ko‟paytiramiz

Сdu = b(x)e

ò a( x)dxdx

, bu




é ò
1

u = C êëòb(x)e

a( x)dx

dx + C ù,

1 úû



C1 = const

(8)


(7) va (8) ni (2) ga qo‟ysak, (1) tenglamani umumiy yechimini hosil qilamiz:


у = e

-ò a( x)dx é


òb(x)e
êë

ò a( x)dx

dx + C ù,

1 úû



(9)

Ko‟pincha, (5) tenglamani (6) umumiy yechimida C=1 deb olish, ya‟ni (5) ning noldan

farqli birorta xususiy yechimini

  • a( x)dx


ò
v = e deb olsa ham bo‟ladi. Yuqorida ko‟rib

chiqilgan o‟rniga qo‟yish usuli bitta (1) chiziqli tenglamani

integrallash masalasini o‟zgaruvchilari ajraladigan ikkita (5) va (7) tenglamalarning yechimlarini topishga olib keladi.

Agar (1) tenglamaning y(x0)=y0 boshlangich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish kerak bo‟lsa, (9) umumiy yechimdagi aniqmas integrallarni yuqori chegarasi o‟zgaruvchi bo‟lgan aniq integrallar bilan almashtirish qo‟laydir. Bunday almashtirishda (9) formula ushbu ko‟rinishni oladi:


é
x

  • ò a(t)dt

t


ù

o
ò a(s)ds

у = e xo

ê x x


ê

ê
ò b(t)e xo

ë

ú



dt + C1 ú,

úû

(10)


bu yerda x0 –ixtiyoriy tayinlangan son, x0ÎX. (10) tenglikdan y(xo)=y0 boshlang‟ich shartga ko„ra C1 o‟zgarmasni qiymatini aniqlash mumkin:

xо é t ù


  • 0
    ò a(t)dt x

x ê

ò a(S )dS ú

у(хо ) = у0 = e o

ê ò


x
êë 0

b(t)e xo

dt + C1 ú,

úû

chegaralari bir xil bo‟lgan aniq

integrallarni qiymati nolga teng bo‟lgan aniq integrallarni qiymati nolga teng bo‟lgani uchun C1=y0 ni topamiz. Natijada (1) tenglamani y(xo)=y0 boshlang‟ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini qo‟yidagi shaklda hosil qilamiz.

x é

- ò ( ) ê



t


ù
ò a(S )dS

x ú

у = e

a t dt

xo

ê у0 +

ê

êë

x

ò b(t)e o

x0

dt ú,

ú

úû



Misol . х 2 dy - 2xy = 3 tenglamani yeching.

dx

Yechish : Avvalo berilgan tenglamani (1) chizikli tenglama shakliga keltirish uchun uni ikkala tomonini x2¹0 ga bo‟lamiz:

dy - 2 × y = 3

dx x x 2

y = u × v ni va

dy = u dv + v du

larni tenglamaga qo‟ysak:

dx dx

u( dv - 2 × v ) + v du = 3

dx

(*) v ni shunday tanlaylikki

dx x

dx x2

dv - 2 v = 0 bo‟lsin. Oxirgi tenglamada o„zgaruvchilarni ajratsak:

dx x

dv = 2 dx ,

(v ¹ 0, x ¹ 0) integrallab



ln v = 2 ln x , v=x2; v ni bu qiymatini (*) ga qo‟yib u

v x

ni aniqlaymiz.

х 2 du = 3 ,

dx x 2

O‟zgaruvchilarni ajratamiz:

du = 3

x 4
dx,
ò du = 3ò
x-4 dx

u = - 1

x3


  • C;

u va v ning topilgan qiymatini y=u×v ga qo‟ysak, berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

у = u × v = (- 1

x3

+ C)x2 = - 1 + Cx 2



x




Download 3.27 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
maxsus ta’lim
O’zbekiston respublikasi
zbekiston respublikasi
axborot texnologiyalari
o’rta maxsus
guruh talabasi
nomidagi toshkent
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
xorazmiy nomidagi
toshkent axborot
pedagogika instituti
haqida tushuncha
rivojlantirish vazirligi
toshkent davlat
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
matematika fakulteti
ta’limi vazirligi
samarqand davlat
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
bilan ishlash
pedagogika universiteti
vazirligi muhammad
fanining predmeti
Darsning maqsadi
o’rta ta’lim
navoiy nomidagi
haqida umumiy
Ishdan maqsad
moliya instituti
fizika matematika
nomidagi samarqand
sinflar uchun
fanlar fakulteti
Nizomiy nomidagi
maxsus ta'lim
Ўзбекистон республикаси
ta'lim vazirligi
universiteti fizika
umumiy o’rta
Referat mavzu
respublikasi axborot
таълим вазирлиги
Alisher navoiy
махсус таълим
Toshkent axborot
Buxoro davlat