Differensial tenglamalar



Download 3.27 Mb.
bet6/8
Sana29.08.2021
Hajmi3.27 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8
х

)/ + ( ò

хо

f (t)dt)'

= 0 + f (x) =


f (x) ekanligi kelib chiqadi.


x
Misol: y¢=3x2+2x+1, xÎR, differensial tenglamani y(1)=3 boshlang‟ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.

Yechish. Avvalo umumiy yechimni topamiz:

х


1
у = ò (3t 2 1

+ 2t + 1)dt + C = (t 3



  • t 2

  • t) x +C =

= x3 + x 2 + x -1 -1 -1 + C = x3 + x 2 + x - 3 + C,

y = x3 + x2 + x - 3 + C

Endi xususiy yechimni topish uchun umumiy yechimda x=1, y=3 deymiz va C=3 ni aniqlaymiz. Demak, izlangan xususiy yеchim:



y = x3 + x2 + x;

ko„rinishda bo„ladi.

20 y' = g( y)

ko‟rinishdagi tenglamalar ham eng sodda birinchi tartibli tenglama deyiladi, bu

yerda g(y),

y ÎY

oraliqda aniqlangan, uzluksiz va nolga aylanmaydi deb faraz qilamiz. Agar

y' = dy = 1

dx dx

dy

y' = dx = 1

ni e‟tiborga olsak, berilgan tenglama o‟rniga



tenglamani hosil qilamiz.

dy g( y)

Ravshanki,

F ( y) =

1




g( y)

funksiya Y oraliqda uzluksiz bo‟ladi, chuinki

g( y) ¹ 0,

"y ÎY . Shu

sababdan ohirgi tenglamaning umumiy yechimi

x( y) = ò

dt g(t)

  • C,

(C = const),

(7)
0



ko‟rinishda bo‟ladi. Agar

x y= y

= x0 ,



(8) boshlang‟ich shart berilsa, 1

–punkitdagidek


0
mulohozalar yuritsak (6) ni (8) boshlang‟ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi ushbu ko‟rinishda bo‟lishiga ishonch hosil qilish mumkin :


Misol. y' = 3 y 2

x

x( y) = x0 + ò

xo

tenglamani yeching.

dt ,

g(t)

y ÎY ,

y0 ÎY ,
(9)

Yechilishi : Ravshanki, y=0 (ox o‟q) berilgan tenglamaning yechimi bo‟ladi. Endi O„zgaruvchilarni ajratib topamiz:

y ¹ 0 bo‟lsin.


2
dy = dx Þ


y 3

- 2

y 3 dy = dx.

integrallab, umumiy yechimini topamiz:

- 2 1
(x + C)3

ò y 3 dy = ò dx + C

Þ 3y 3 = x + C



yoki

y = ,

27

C = const

Topilgan umumiy yechimga mos integral egri chiziqlar oilasi kubik parabolalardan iborat. y=0 yechim (ox o‟q) ning har bir nuqtasi orqali berilgan tenglamaning yana bitta integral chizig‟i (kubik parabola) o‟tadi. y=o yechim esa umumiy yechim tarkibida bo‟lmayanti va undan C o‟zgarmasning hech qanday konkret qiymatida hosil bo‟lmasligini alohida qayt etamiz. Bu y=0 (ox o‟q) yechimga berilgan tengamaning maxsus yechimi deyiladi. M(a,0), ( - ¥ < a < ¥)

nuqtalar esa maxsus nuqtalar bo‟ladi. Umuman

y = j(x) chiziq faqat maxsus nuqtalardan

iborat bo‟lib, differensial tenglamaning integral chizig‟i bo‟lsa, u holda

maxsus yechim deyiladi.

y = j(x) funksiya

Mashqlar.


Quyidagi ko‟rsatilgan differensial tenglamalarning yechimlarini toping.
(Javoblar.)

æ x3 ö

1. у / = 2sin 2x + x2 - 2;

çç у = -cos 2x +

è

- 2x + C;÷÷



3 ø

  1. у /

= 32 x + е- x +1 ,


2

у(0) = -1;

æ

çç у =

è
32 x


2 ln 3





  • e- x + x -

1


2 ln 3
ö

;÷÷

ø


  1. у /

æ

= x + х



1 + x2

1 + х;



2 2 2 ö

ç у = х - arctgx +

è

(1 + x) ×

5

- (1 + х) 3



1 + x + C;÷

ø


  1. у / = 2 x ;

у(0) = 1;

æ

ç у =



è

æ

х е2 х -



2

1 1


1 е2 х + 5 ö


;

÷
4 4 ø

ö


  1. у /

= sin 2 x;

ç у =

è

æ х3

х - sin 2x + C;÷

2 4 ø

1 1 ö


  1. у /

= (х + 1 )2 + sin х cos x; x

çç у =

è

+ 2x -



3

    • cos 2x + C;÷÷ x 4 ø



§3. Birinchi tartibli differensial tenglamalar.


10.O’zgaruvchilari ajralgan tenglamalar.

Ushbu


M(x)dx+N(y)dy=0, (1)

tenglamaga o‟zgaruvchilari ajralgan tenglama deyiladi.ya‟ni dx oldidagi ko‟paytuvchi faqat x ga bog‟liq funksiya, dy oldidagi ko‟paytuvchi esa faqat y ga bog‟liq bo„lgan funksiyadan iborat . (1) da M(x) funksiya xÎX da, N(y) funksiya esa yÎY da aniqlangan, berilgan uzluksiz funksiyalardir.

Agar y=j(x) funksiya bu tenglamaning yechimi bo„lsin deb faraz qilsak, dy=j¢(x)dx ni hisoblab (1) tenglamadagi y va dy lar o‟rniga j(x) va j¢(x)dx ifodalarni qo„ysak, yechimni ta‟rifiga ko‟ra M(x)dx+N[j(x)]j¢(x)dx=0 ayniyatni hosil qilamiz. Bu ayniyatni integrallab

ò M (x)dx + ò N[j(x)]j / (x)dx = C,

(2)


tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda chap tomonda M(x) va N[j(x)] j¢(x) funksiyalarning boshlang‟ich funksiyalari, o‟ng tomonda esa har ikkala integralning ixtiyoriy o„zgarmaslari bir ixtiyoriy o„zgarmas qilib yozilgan C turibdi.

Ikkinchi integralda j(x)=y deb o‟zgaruvchini almashtirish bajarsak (2) tenglik ushbu ko‟rinishga keladi:

ò M (x)dx + ò N ( y)dy = C,

(3) tenglik (1) tenglamaning umumiy integralidir.

(3)


Agar (1) ni y(x0)=y0, boshlangich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak bo„lsa,

  1. umumiy yechimni yuqori chegarasi o‟zgaruvchi bo‟lgan aniq integral shaklda olish qo„laydir, ravshanki C=0 bo‟ladi:

x y

ò M (t)dt + ò N (s)ds = 0,

(4)


xo y0

Misol: xdx+ydy=0 tenglamani y(1)=1 boshlangich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

x y

Yechish. òtdt + ò sds = 0

1 1



2

2
t + s

y = 0 ,

x - 1 + y

- 1 = 0 , x2+y2=2



2 2 1

   




2

2
2 2 2 2

Demak, hususiy yechim markazi O(0;0) nuqtada, radiusi esa

ga teng aylanadan iborat.

Umumiy yechim esa x2+y2=C2, (C- ixtiyoriy o‟zgarmas son) markazi koordinatalar boshida joylashgan konsentrik aylanalardan iborat bo„ladi.

20.O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar.


O„ng tomoni ikkita funksiyaning ko„paytmasidan iborat bo„lib, ulardan biri faqat x ga bog‟liq, ikkinchisi esa faqat y ga bog‟liq bo„lsa, ya‟ni

y¢=f(x)×g(y), (1)

bunday ko„rinishdagi differensial tenglamaga o„zgaruvchilari ajraladigan tenglama deyiladi. (1) da f(x), xÎX da, g(y) yÎY da aniqlangan, berilgan uzluksiz funksiyadir, g(y)¹0, "yÎY. (1) tenglama o‟zgaruvchilari ajralgan tenglamaga keltirib yechiladi. Buni uchun (1) tenglamaning ikkala tomonini g(y)¹0 ga bo„lamiz va dx ga ko„paytiramiz,



natijada o„zgaruvchilari ajralgan

dy =

g( y)

f (x)dx tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglikni

integrallab umumiy yechimini topamiz:

dy

ò g( y) = ò f (x)dx + C,
C = const

Agar y=y0 da g(y0)=0 bo„lsa, (y=y0ÎY), y0- (1) ni yechimlaridan biri bo„ladi, chunki (y0)¢=0 va f(x)×g(y0)= f(x)×0=0, ya‟ni (1) tenglama 0º0 ayniyatga aylanadi. (1) ni y(x0)=y0

y ds x

boshlanag‟ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi esa ò g(s) = ò f (t)dt

ko‟rinishda

bo„lishini ko‟rsatish qiyin emas.

y0 x0

1-misol.

dy 1 + y 2

= differensial tenglamani umumiy yechimi topilsin.

dx 1 + x 2

Yechish: g(y)=1+y2 yÎR da hech qayerda nolga aylanmaydi, o„zgaruvchilarni ajratib integrallaymiz.

dy

ò1 + y 2

= dx + C




ò
1 + х 2 1

arctgy=arctgx+arctgC , (C1=arctgC deb oldik), oxirgi tenglikni tangenslab umumiy yechimni hosil qilamiz.

у = х + С

1 - хС

2-misol.

y' = y x

tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechilishi. O‟zgaruvchilarni ajratib:

dy = dx

( y ¹ 0) , integrallab topamiz.




ln y = ln x + ln C ,
(C ¹ 0) Þ

y x

y = Cx,

Agar

x0 = 1,

y0 = 1

yoki

y x=1 = 1shartga mos xususiy yechimni topish kerak bo‟lsa,

y=Cx umumiy yechimdan, C=1 ni topamiz. Xususiy yechim esa: y=x bo‟ladi.

Endi x=0 da y=0, ya‟ni

y x=0 = 0 shartga mos yechimni

topaylik. Umumiy yechim y=Cx dan 0 = С × 0 , bu tenglik C ning bitta emas, balki har qanday qiymatida o‟rinli bo‟ladi. Ya‟ni, (o,o) nuqtadan cheksiz ko‟p y=Cx to‟g‟ri chiziqlar

o‟tadi. Shu sababdan ham, (o,o) nuqta

y' = y x

differensial tenglamaning maxsus nuqtasidan

iborat. Oy o‟qda yotuvchi nuqtalar ham maxsus nuqtalardir. y=Cx umumiy yechim geometrik jihatdan koordinatalar boshidan o‟tuvchi barcha to‟g‟ri chiziqlar (Oy o‟qdan tashqari) to‟plamini beradi. Oy o‟qda yotmagan har bir nuqta orqali bu to‟plamning yagona to‟g‟ri chizig‟i o‟tadi. Koordinatalar boshi orqali cheksiz ko‟p integral egri chiziqlar o‟tadi. Shuni takidlaymizki, Oy o‟qda yotgan va koordinatalar boshi bilan ustma-ust tushmaydigan maxsus nuqtalar orqali birorta ham integral chiziq o‟tmaydi.

3-misol.

y' = - y

x

tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechilishi. Tenglamada o‟zgaruvchilarni ajratib, integrallaymiz:

dy = - x

Þ ydy = -xdx,



ò ydy = -ò xdx Þ

dx y


2

2

2
y = - x + C

2 2 2


yoki

x2 + y 2 = C 2 , bu yerda C>0 ixtiyoriy haqiqiy son

Tenglamaning umumiy yechimi markazi O(0;0) koordinata boshida joylashgan

radiusi esa R=C ga teng bo‟lgan konsentrik aylanalardan iborat (4-chizma) bo‟ladi.

Xususan, A(4;-3) nuqtadan o‟tuvchi yechimni topish uchun

x2 + y 2 = C 2 ,

umumiy


yechimdan

42 + (-3)2 = C 2 ,

C 2 = 16 + 9 = 25

C=5 ni topamiz, Demak, izlangan xususiy

yechim:

x2 + y2 = 25 bo‟ladi.

Takidlaymizki, O(0;0) nuqta orqali birorta ham aylana (integral chiziq)o‟tmaydi, bu maxsus nuqta hisoblanadi. Shu sababdan ham berilgan tenglamaning umumiy yechimi markazi teshilgan nuqta (markazi O(0;0) nuqta teshib olib tashlangan) bo‟lgan aylanalar oilasidan iborat deb tushunish lozim.


Differensial tenglamalarni yeching.

Download 3.27 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
maxsus ta’lim
O’zbekiston respublikasi
zbekiston respublikasi
axborot texnologiyalari
o’rta maxsus
nomidagi toshkent
guruh talabasi
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
xorazmiy nomidagi
toshkent axborot
pedagogika instituti
rivojlantirish vazirligi
haqida tushuncha
toshkent davlat
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
matematika fakulteti
ta’limi vazirligi
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
samarqand davlat
vazirligi muhammad
pedagogika universiteti
bilan ishlash
fanining predmeti
Darsning maqsadi
navoiy nomidagi
o’rta ta’lim
Ishdan maqsad
haqida umumiy
nomidagi samarqand
fizika matematika
sinflar uchun
fanlar fakulteti
maxsus ta'lim
Nizomiy nomidagi
ta'lim vazirligi
moliya instituti
universiteti fizika
Ўзбекистон республикаси
umumiy o’rta
Referat mavzu
respublikasi axborot
Toshkent axborot
таълим вазирлиги
Alisher navoiy
махсус таълим
Buxoro davlat