Деривацион формулалар

Деривацион формулалар
Биз сиртнинг биринчи ва иккинчи квадратик форма­лари орасидаги боғланишларни кўрсатамиз. Регуляр Ф сирт нуқта атрофида регуляр параметрлаш усули билан берилган бўлсин. Ҳосил бўладиган формулаларни ихчамлаш учун тензор ҳисоб-китобдаги белгилашлардан фойдаланамиз. Бунинг учун белгилашларни киритамиз. Бундан ташқари биринчи квадратик форма матрицаси элементларини лар билан, иккинчи квадратик форма матрицаси элементларини лар билан белгилаймиз. Демак,
.
Йиғиндиларда агар биронта индекс þқорида ва пастда бир хил мар­та учраса бу индекслар бўйича йиғинди белгисини ташлаб ёзамиз. Мисол учун
.
Энди да ва векторларни базис сифатида олиб, ва векторларни бу базис векторлар ёрдамида чизиқли ифодалаймиз:
(1)
Бу ерда . Агар биринчи тенгликда бўлса

тенглик ҳосил бўлади.
Ана шу ёзилган (1) формулаларда ва , , функциялар (коэффициентлар) фақат биринчи ва иккинчи квадратик формалар коэффициентлари орқали ифодаланишини кўрсатамиз. Бунинг учун тенгликни векторга скаляр кўпайтирамиз ва
_,
тенгликларни ҳисобга олиб

тенгликни ҳосил қиламиз.
Энди тенгликни га скаляр кўпайтирамиз ва

_{тенгликларни ҳисога олиб}
(2)
тенгликни ҳосил қиламиз. Бу тенгликни одатдаги кўринишда ёзсак

системани ҳосил қиламиз. Бу системадан бўлганлиги учун коэффициентларни топиш мумкин. билан матрицанинг элементларини белгилаймиз. Шунда тенгликни

кўринишда ёза оламиз. Бундан фойдаланиб, (2) тенгликни га кўпайтириб ва j индекс бўйича йиғиб, қуйидаги формулаларни ҳосил қиламиз: . Бундан тенглик келиб чиқади.
Мисол учун да

ни ҳосил қиламиз. Бу ерда
,
бўлади. Шундай қилиб, , функцияларни топдик. Энди

тенгликни векторга скаляр кўпайтириб

тенгликни ҳосил қиламиз. Бу ерда эканлиги маълум. Биз (1) системадаги коэффициентларни топмоқчимиз. Бунинг учун белгилашни киритиб
₍₃₎
тенгликни ҳосил қиламиз. Энди

тенгликни бўйича дифференциаллаб

тенгликни ҳосил қиламиз.
Бу тенгликни функциялар орқали ёзсак
₍₄₎
кўринишда бўлади. Бу тенгликда индексларни айлантириб яна иккита тенгликни ёзамиз
. (5)
Энди (4) тенгликдан (5) тенгликларни айириб
₍₆₎
тенгликни ҳосил қиламиз. Бу ерда тенгликни ҳисобга олиб (6)ни қуйидагича ёзамиз
.
Бундан эса
(7)
тенгликни ҳосил қиламиз. Энди функцияларни топа оламиз. Бунинг учун (3) ни га кўпайтириб индекс бўйича йиғсак

тенгликни ҳосил қиламиз.
Демак, формулани ҳосил қилдик. Ниҳоят (7) тенг­ликни га кўпайтириб j индекс бўйича йиғамиз ва натижада
(8)
формулани ҳосил қиламиз. Бу (8) формула бизга 6 та функцияларни топиш имконини беради. Мисол учун да

тенгликни ҳосил қиламиз. Þқоридаги (8) формуладан кўриниб туриб­дики, функциялар фақат биринчи квадратик форма коэффициентлари ва уларнинг ҳосилалари орқали ҳисобланади. Ниҳоят (1) формуладаги ҳамма коэффициентлар топилди. Энди (1)ни қуйидаги кўринишда ёза оламиз:
. (9)
Бу формулалар деривацион формулалар деб аталади. Деривацион формулаларни биринчи ва иккинчи квадратик формалар орасидаги боғланишни топиш учун ишлатамиз. Бунинг учун
₍₁₀₎
тенгликларни ёзиб, , , , функцияларни деривацион форму­лалар ёрдамида ифодалаймиз. Шунда (10) тенгликлар

ва

кўринишга келади. Бу тенгликларда дифференциаллаш амалини бажариб


тенгликларни ҳосил қиламиз.
Бу тенгликларда яна бир марта деривацион формулалардан фойдаланамиз. Шунда векторлар чизиқли эркли бўлганлиги учун улар олдидаги коэффициентларни нолга тенглаштириб
₍₁₁₎
ва
(12)
муносабатларни ҳосил қиламиз. Бу муносабатлардан биринчиси Гаусс тенгламаси, иккинчи Петерсон-Кодацци тенгламалари деб аталади. Гаусс тенгламасини га кўпайтириб индекс m бўйича йиғайлик:
.
Шунда ўнг томондаги ифода

кўринишга келади. Бу ерда бўлганда
(13)
кўринишга келади.
Демак, Гаусс эгрилиги К фақат биринчи квадратик форма коэффи­циентларига боғлиқ экан. Бу эса унинг изометрик акслан­тиришларда ўзгармай қолишини кўрсатади.