Darajali yig’indilarni hisoblash formulalarini keltirib chiqarish dexqonov Shohruhjon Nuriddinovich Dehqonova Dildora Ma’rufjonovna

DARAJALI YIG’INDILARNI HISOBLASH FORMULALARINI KELTIRIB CHIQARISH

Dexqonov Shohruhjon Nuriddinovich

Dehqonova Dildora Ma’rufjonovna

Norin tumani, 13-maktab o’qituvchilari

Telefon: [phone]

E-mail: [e-mail]

Annotatsiya: Biz bilamizki ba’zi limitlarni hisoblashda algebraik yig’indilardan foydalanamiz. Shu maqsadda, bu maqolada natural darajali algebraik yig’indilarni hisoblash formulalari keltirib chiqarilgan.

Kalit so’zlar: Algebraik yig’indi, natural daraja, formula.

Biz bilamizki ko’plab kitoblarda natural darajali yig’indilarni topish formulasi keltirilgan [1], [2]. Lekin bu kitoblarda ularni topish formulasini keltirib chiqarishlar ko’rsatilmagan. Biz bunday natural darajali yig’indilarni hisoblash formulalarini faqatgina matematik induksiya yo’li bilan tenglik to’g’ri ekanligini tekshirganmiz. Biz bilamizki hozirgi kunda 11-sinf “Algebra va analiz asoslari” maktab darsliklarida limitlar mavzusi o’tilmoqda va limitlarni hisoblashda ba’zi hollarida natural darajali yig’indilarni ham bilishimizga to’g’ri kelmoqda [1]. Hsoblashda murakkablik tug’diradigan shunday masalalardan quyida ko’rib chiqamiz.

Aytaylik bizga ko’pxad berilgan bo’lsin. ko’pxadning darajasi ( ) bo’lsin deb olamiz. Quyidagi

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   … …. …. …. …. ….. …. …. ….
   
4. 
   
   

limitlarni qaraylik. Bunda va o’zgarmas son.

Yuqorida berilgan limitlarni hisoblashda bizga natural darajali algebraik yig’indilarni hisoblash formulasi kerak bo’adi. Ya’ni quyidagi

(1)

yig’indilarni hisoblay bilishimiz kerak.

1. 
   tenglik bilan berilgan yig’indini topishimiz uchun biz avvalo quyidagi
   

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   … …. …. …. ….
   
5. 
   
   

yig’indilarni hisoblay bilishimiz kerak. Demak, bizga yuqoridagi ko’rinishdagi ixtiyoriy darajali yig’indini hisoblashimiz uchun biz avvalo darajali yig’indilarni topa bilishimiz kerak ekan.

Tasdiq 1. Quyidagi

(2)

tenglik ixtiyoriy sonlarda o’rinli.

Tasdiq 2. Ushbu

yig’indini hisoblash formulasi ma’lum bo’lsagina, quyidagi

yig’indini hisoblash formulasini keltirib chiqarish mumkin.

Tasdiqni isbotini quyidagi hisoblashlarimiz bevosita ko’rishimiz mumkin.

1. 
   yig’indini hisoblash formulasini toping.
   

Yechish. Buning uchun biz yuqoridagi (2) tenglikda desak, quyidagi

tenglikka ega bo’lamiz va qavslarni ochib chiqib soddalashtiramiz

=> .

Demak, .

2. 
   yig’indini hisoblash formulasini toping.
   

Yechish. Buning uchun biz yuqoridagi (2) tenglikda desak, quyidagi

tenglikka ega bo’lamiz va qavslarni ochib chiqib soddalashtiramiz

=> .

Demak, .

3. 
   yig’indini hisoblash formulasini toping.
   

Yechish. Buning uchun biz yuqoridagi (2) tenglikda desak, quyidagi

tenglikka ega bo’lamiz va qavslarni ochib chiqib soddalashtiramiz

=> =>

.

Demak, .

Ko’rinib turibdiki (2) tenglik yordamida bunday hisob kitoblarni ko’plab bajarishimiz mumkin. Shundan olingan natijalarni quyida keltiramiz

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Bunday natijalarni ya’na ko’plab keltirish mumkin. Hisob kitoblarimiz natijasi shuni ko’rsatdiki endilikda shunga o’xshagan yig’indilar uchun ham (2) tenglikni algebraik almashtirish natijasida rekurent formula tuzib olish mumkin.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz, 1-tom. Tashkent “O’zbekiston”,1994.
   
2. 
   Xudoyberganov G., Varisov A., Mansurov H. Matematik analiz, 1- va 2-qismlar, Qarshi “Nasaf” 2003.
   
3. 
   Mirzaahedov M.A., Ismailov Sh.N., Amanov A.Q. Algebra va analiz asoslari, Toshkent “Zamin nashr”, 2018.