Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral. Aqinmas integralning xossalari. Integrallar jadvali

Aim.uz

Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral. Aqinmas integralning xossalari. Integrallar jadvali
Ma’lumki, harakatdagi nuqtaning tezligini topish, shuningdek, egri chiziqqa urinma o’tkazish kabi masalalar funksiyani differensiallash tushunchasiga olib kelgan edi.

Nuqtaning har bir vaqt momentidagi tezligi ma’lum bo’lganda uning harakat qonunini topish, egri chiziqni uning har bir nuqtasidagi urinmalariga ko’ra aniqlash kabi masalalar ham ko’p uchraydi. Bunday masalalar yuqorida eslatib o’tilgan masalalarga teskari masalalar bo’lib, ular funksiyani integrallash tushunchasiga olib keladi.

Ta’rif. Biror chekli (a,b) yoki cheksiz oraliqdagi har bir nuqtada defferensiallanuvchi va hosilasi

shartni qanoatlantiruvchi F(x) funksiya berilgan f(x) funksiya uchun boshang’ich funksiya deyiladi. Masalan, , funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’ladi.

Ta’rif. Agar va berilgan f(x) funksiyaning ixtiyoriy ikkita boshlang’ich funksiyalari bo’lsa, u holda biror o’zgarmas sonda bo’ladi.

Ta’rif. Agar F(x) biror (a,b) oraliqda f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda funksiyalar to’plami shu oraliqda f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi.

Berilgan funksiyaning aniqmas integrali kabi belgilanadi va ta’rifga asosan, birorta F(x) boshlangich funksiya bo’yicha

tenglik bilan aniqlanadi.

Bunda -integral belgisi, integral ostidagi funksiya, integral ostidagi ifoda, esa integrallash o’zgaruvchisi deyiladi.Berilgan f(x) funksiyaning aniqmas integralini topish amali bu funksiyani integrallash deyiladi.

Aniqmas integral quyidagi bir qator xossalarga ega:

; ; ; ;

.

Agar bo’lsa, bo’ladi.

Differensiallash va integrallash amallari o’zaro teskari amallar bo’lganligi uchun, hosilalar jadvalidan foydalanib, quyidagi integrallar jadvalini hosil qilamiz.

(c-o’zgarmas son); ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

;

;

;



) ;

; ;

.

Aniqmas integralni hisoblashda aniqmas integralning xossalaridan va jadvallaridan foydalaniladi. Bunga aniqmas integralni bevosita hisoblash deyiladi.

Aniqmas integrallarni hisoblashda ko’pincha

va

formulalardan foydalanish qulay bo’ladi.

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. bo’lsa F(x) topilsin.

Yechish: Izlanayotgan F(x) funksiya ikkita funksiya va o’zgarmas son yig’indisidan iborat bo’lib, birinchi qo’shuluvchi ga, ikkinchi qo’shiluvchi ga va uchinchi qo’shiluvchi o’zgarmas sondan iborat. Demak.

2. ni hisoblang.

Yechish: Bu yerda f(x) funksiya uchta qo’shiluvchidan iborat. Integralni hisoblash uchun yig’indining aniqmas integrali haqidagi xossadan va integrallar jadvalidan foydalanamiz.

3. ni hisoblang:

Yechish:

4. ni hisoblang.

Yechish: Agar deb olsak, bo’ladi. U holda

5. ni hisoblang.

Yechish: Agar deb olsak bo’ladi. U holda .

6. integral hisoblansin.

Yechish: deb olsak, bo’ladi. Shunday qilib, berilgan integral ko’rinishga keladi. Bundan esa

kelib chiqadi.
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar.

1. Quyidagi:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)

tengliklardagi bo’sh joylar tegishli mulohazalar yordamida to’ldirilsin.

2. Quyidagi integrallar hisoblansin.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) .

Javob: 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) .

3. Quyidagi integrallar hisoblansin:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Javob: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

4. Quyidagi integrallar hisoblansin:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

Javob: 1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) ;

6) .

Aim.uz