Aylana uzunligi

π SONI BILAN BOG’LIQ BA’ZI GEOMETRIK TUSHUNCHALAR
AYLANA UZUNLIGI

Aylana uzunligi haqidagi ayyoniy tasavvur bunday hosil qilinadi. Ipni aylana shakliga keltirilgan deb tasavvur qilamiz. Uni qirqib, uchlarida tortamiz. Hosil qilingan kesmaning uzunligi aylana uzunligi bo'ladi. Aylana radiusini bilgan holda uning uzunligini qanday toppish mumkin? Ravshanki, aylanaga ichki chizilgan muntazam ko'pburchak tomonlari soni cheksiz ortganda uning perimetri aylana uzunligiga cheksiz yaqinlashadi. Shunga asolanib, aylana uzunligining ba'zi xossalarini isbotlaymiz.

Teorema: Aylana uzunligining diametrga nisbati aylana uzunligiga bog'liq emas, ya'ni har qanday ikkita aylana uchun bir xildir.

Isbot: Ikkita ixtiyoriy aylana olamiz. R1 va R2-ularning radiuslari, h va l2

esa aylana uzunliklari bo’lsin. Teoremaning tasdig’i noto’g’ri va — ^ — (*),

2£?-l 2

masalan, — < — deb faraz qilaylik.

’ 2R_± 2R₂ ^{1 J}

Qaralayotgan aylanalarga tomonlarining soni n kata bo’lgan qavariq ko’pburchaklarni ichki chizamiz. Agar n juda katta bo’lsa, u holda qaralayotgan aylanalaming uzunliklari ichki chizilgan ko’pburchaklarning p₁ va p₂ perimetrlaridan juda kam farq qiladi. Shu sababli, agar (*) tengsizlikda ni p₁ ga, l₂ ni ~p₂ ga almashtirilsa, bu tengsizlik buzilmaydi: ^ ^

Ammo biz bilamizki, muntazam qavariq n burchaklar perimetrlarining nisbati

D J? n m

tashqi chizilgan aylanalar radiuslari nisbati kabidir: —=-^. Bundan —=— . Bu esa

V₂ Rz R1

(**) tengsizlikka zid. Teorema isbotlandi.

Aylana uzunligining diametriga nisbati grek harfi ir( “pi” deb o’qiladi) bilan

belgilanadi. — =n. n irratsional sondir. Uning taqribiy qiymati ushbuga teng:

^{71 =} 3,1416. -L =_n bo’lgani uchun aylana uzunligi 1=2nR formula bo’yicha

hisoblanadi.

Burchakning radian o’lchovi

° . . . . . ....

• 
  li markaziy burchakka mos keluvchi aylana yoyining uzunligini topamiz.
  

Yoyiq burchakka yarim aylananing nR Uzunligi to’g’ri A. J keladi. Demak, 1 li burchakka yoy to’g’ri keladi, n li

/ y/ burchakka esa 1⁼~ ^-n yoy mos keladi.

1. 
   chizma. Aylanadagi markaziy burchak.
   

Burchakning radian o’lchovi deb, mos yoy uzunligining formulasidan -=— -n

R 190

kelib chiqadi, ya’ni burchakning radian o’lchovi uning gradus o’lchovini —— ga

ko’paytirishdan hosil qilinadi. Jumladan, 180 li burchakning radian o’lchovi tt ga, to’g’ri burchakning radian o’lchovi j ga teng. Burchaklaming radian o’lchovi birligi radiandir. Bir radianli burchak yoyining uzunligi radiusga teng. Ya’ni: Bir radianli burchakning gradus o’lchovi ^ 57’ ga teng.

Doiraning yuzi

Tekislikning berilgan nuqtasidan berilgan masofadan katta bo’lmagan masofada yotuvchi barcha nuqtalaridan iborat figura doira deb ataladi. Bu nuqta doiraning markazi deyiladi, berilgan masofa esa doiraning radiusi deyiladi. Doiraning chegarasi aylanadan iborat bo’lib, bu aylananing markazi va radiusi

IR

doiraning markazi va radiusidir. R radiusli doiraning yuzi S=—^:=tzR² formula orqali topiladi.

Doiraviy sektor deb doiraning mos markaziy burchagi ichidagi qismiga aytiladi

Doiraviy sektoming yuzi formula bo’yicha hisoblanadi, bunda R-

doira radiusi cl esa mos markaziy burchakning gradus o’lchovi. Doira bilan yarim tekislikning umumiy qismi doiraviy segment deyiladi.

Yarim doiraga teng bo’lmagan segmentning yuzi S⁼"“~ + S_& formula

bo’yicha hisoblanadi, bunda a-shu doiraviy segment yoyini o’z ichiga olgan markaziy burchakning gradus o’lchovi, S& esa uchlari doira markazi bilan tegishli sektomi chegaralovchi radiuslar oxirlaridan iborat uchburchakning yuzi. C( < 180 bo’lganda ishorani, cl > 180 bo’lganda “+” ishorani olish kerak.

Aylanish jismlari

l.Silindr.

Parallel ko’chirish bilan ustma-ust tushadigan va bitta tekislikda yotmaydigan ikki doiradan va bu doiralarning mos nuqtalarini tutashtiruvchi hamma parallel to’g’ri chiziq kesmalaridan tashkil topgan jism silindr (to’g’rirog’i doiraviy silindr ) deyiladi

Doiralar silindrning asoslari deyiladi, doira aylanalari mos nuqtalarini tutashtiruvchi kesmalar silindrning yasovchilari deyiladi.

Silindming asoslari R radiusli doiradan iborat. Demak, silindming asosining yuzi