Axborot xavfsizligi

Muhmmad al-xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari unversiteti

“Axborot xavfsizligi”fakulteti

Hisob fanidan 1-mustaqil ish

Topshirdi:Baxtiyorov Ubaydullo

Guruhi:712-20

Tekshirdi:

Funksiyalarni nyuton formulalari yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash

Reja:

1.Algebraik interpolyasiya masalasining qo’yilishi

2.Interpolyatsiyalash xatoligi

3.Nyuton interpolyatsion kophadi

4.Teskari interpolyatsiyalash

5.Nyutoning birinchi interpolyatsion formulasi

6.Nyutoning ikkinchi interpolyatsion formulasi
Aksariyat hisoblash usullari masalasining qo’yilishida qatnashadigan funksiyalarini unga biror muayan manoda yaqin va tuzulishi soddaroq bo’lgan funksiyalarga almashtirish g’oyasiga asoslangan.
Interpolyatsiya masalasining mohiyati quydagidan iborat.Faraz qilaylik y=f(x)funksiya jadval ko’rinishida berilgan bo’lsin.

Odatda Interpolyatsiyalash masalasi quydagich ako’rinishda qo’yiladi.Shunday n-tartiblidan oshmagan P(x)*Pn(x)ko’phad toppish keraki P( berilgan

Nuqtalarda f(x)bilan bir xil qiymatlarni qabul qilish yani P=

Bu masalaning geometric manosi quydagidan iborat darajasi n dan ortmaydigan shunday

(1)

Ko’phad qurulsinki uning grafigi berilgan M( ) (i=0,1,2…n)nuqtalar o’tsin Bu yerdagi (i=0,1,2…n)nuqtalar interpolyatsiya tugun nuqtalari yoki tugunlari deyiladi.R(x)esa interpolyatsiyalovchi funksiya deyiladi.

1-rasm

Amalda topilgan R(x)interpolyatsion formula F(x)funksiyaning berilgan x argumentning (interpolyatsiya tugunlaridan farqli)qiymatlarni hisoblash uchun qo’laniladi.Ushbu operatsiya funksiyani interpolyatsiyalash deyiladi.Agar bolsa interpolyatsiyalash deyiladi.Bu f(x)funksiyani interpolyatsion ko’phadga almashtirganimizda

Xatolikka yol qoyamiz. Bu interpolyatsiyalsh xatoligi deyiladi.Tugun nuqtalarda xatolik nolga teng [a,b]

ga tegishli ixtyoriy x nuqtadagi ifodasini topamiz va baholaymiz.Buning uchun quydagi funksiyani qaraymiz

(1)

Bu yerda z k-ozgarmas va (2)

(1)dagi o’zgarmas k ni shartdan topamiz

(3)

F(z) funksiya [a,b]da n+1 marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin deymiz . funksiya [a,b]

da n+2 ta nuqtada nolga teng,ular x, Roll teoremasiga asosan ga tegishli n+1ta n ta nolga ega bo’ladi va h.k. da kamida biita nolga ega bo’ladi,yani (x)=0 x (1)dan n+1 marta hosila olib z=1 desak quydagiga ega bo’lamiz

(4)

(3)va (4) dan (5)

Kelib chiqadi.

(6)

Bunga ega bo’lamiz [a,b] Bizga [a,b]da aniqlangan f(x)funksiyaning [a,b]ga turli ( nuqtalarda qiymatlarda ma’lum bo’lsin

Quydagicha aniqlanadi

Miqdorlar birinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi ular yordamida aniqlanadi

Miqdorlar ikkinchi tartibli ayirmalar deyiladi.Yuqori tartibli ayirmalar nisbati ham shunday aniqlanadi,masalan

k-tartibli f( va ayirmalar nisbati malum bo’lsa (k+1)-tartibli ayirmalar nisbati aniqlanadi i=0,1,…n-k-1

Ayirmalar nisbat quydagicha xossalarga ega

1-xossa.Algebraik yig’indidan olingan ayirmalar nisbati qo’shiluvchilardan olingan ayirmalar nisbatlarining yig’indisiga teng

2-xossa.O’zgarmasni ayirmalar nisbati bellgisidan tashqariga chiqarish mumkin

3-xossa.Ayirmalar nisbati o’z argumentlariga nisbatan simmetrik funksiyadir

4-xossa.m-darajali alegebraik kophaddan olingan k-tartibliayirmalar nisbati agar k

(m-k)-darajali simmetrik birjinsli kophadga teng

Faraz qilaylik y=f(x)funksiya uchun qiymatlarda berilgan va interpolyatsiya tugunlari teng uzoqlikda joylashgan bo’lsin yani (i=0,1,2…h)

h-interpolyatsiya qadami.Argumentning mos qiymatlarda darajasi h dan oshmaydigan mos qiymatlarni oladigan kophad tuzish lozim bolsin va bu kophad quydagi korinishga ega bo’lsin

P_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+..+a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1) (7)

Bu n-tartibli kophad.Interpolyatsiya masalasidagi shartga ko’ra (x) kophad interpolyatsiya tugunlarida qiymatlarni qabul qiladi va x=x0 deb tasavvur etsak (7)formuladan yani songra x va x1 va x2 larning qiymatlarini berib ketma-ket quydagiga ega bolamiz

Yani

Yoki y₂-2y₁+y₀=2h²a₂,bundan

Bu jarayon davom ettirib x= uchun quydagi ifodani hosil qilamiz

Topilgan a₀,a₁,a₂,…,a_n koefitsientlarning qiymatlarini (7) formulaga qo’ysak,

(20)

Ko’rinishga ega bo’lamiz.Bu formulada

yani x= belgilsh kiritilsa u holda

Natijada Nyutoning 1-interpolyatsion formulasiga ega bo’lamiz

(9)

Nyutoning 1-interpolyatsion formulasini

[a,b]ning boshlang’ich nuqtalarida qo’lash mumkin .Agar n=1 bo’lsa u holda P1(x)= ko’rinishidagi chiziqli interpolyatsion formulaga n=2bolganda esa

Ko’rinishidagi parabolik interpolyatsion formulaga ega bo’lamiz.Nyutoning 1-formulasini oldinga qarab interpolyatsiyalash ham deyiladi (9)formulaning qoldiq hadi

(10)

Bu yerda

Funksiyaning analitik ko’rinishi har doim ham ma’lum bo’lavermaydi.

Bunday hollarda chekli ayirmalar tuzulib

Deb olinadi.U holda Nyutoning birinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik

Formula orqali topiladi.

Nyutoning birinchi interpolyatsion formulasi jadvalning boshida va ikkinchi formulasi esa jadvalning oxirida interpolyatsiyalash uchun m’ljalangan.Nyutoning ikkinchi interpolyatsion formulasini keltirib chiqaramiz.

Faraz qilaylik y=f(x)funksiyaning n+1 ta qiymati ma’lum bolsin yani argumentning n=1,x0,x1,x2…xn qiymatlarda funksiyaning qiymatlari y0,y1,…yn bo’lsin.Tugunlari orasidagi masofa h-o’zgarmas bo’lsin.Quydagi ko’rinishidagi interpolyatsion kophadni quramiz:

(12)

Bunda qatnashayotgan a0,a1…an nomalum koefitsientlarni topishni x=xn bo’lgan holdan boshlash kerak. . So'ngra argumentga x_n-1,x_n-2, ... qiymatlar berib, qolgan koeffitsientlar aniqlanadi.

Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasida ko‘rilgan mulohazalarni (12) formula uchun ham qo'llasak, u holda noma’lum koeffitsientlar a₁, a₂ , ....a_n larni topish uchun quyidagilarni hosil qilamiz:

Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (12) formulaga qo‘ysak,

(13)

ko'rinishdagi Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi kelib chiqadi. Bu formulada q={x-xn)/h belgilash kiritsak,

(14)

hosil bo'ladi. Ba’zan bu formulani orqaga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi. (14) formuladan [a, b] kesmaning oxirgi nuqtalarida foydalanish qulayroqdir.

Nyutonning ikkinchi interpotyatsion formulasining qoldiq hadini baholash formulasi quyidagicha boladi:

bu yerda q=(x-x_n)/h,ϵ [x₀, x_n].

Agar funktsiyaning analitik ko'rinishi ma’lum bo'lmasa, u holda chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi. Shuning uchun Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik formulasi

bo`ladi.