Aniq integralning ta’riflari

Tasavvur qilinadigan (ifodalovchi) to’g’ri to’rtburchaklar.

Biz yuqorida ko’rdikki, aniq integral, Riman yig’indisining limiti shaklida, quyidagicha ifodalanadi:

(4.3)

Bunda , oraliqdagi ixtiyoriy tanlangan nuqta, esa, funksiyaning shu oraliqda tasavvur qilinadigan qiymatidir. Agar funksiya musbat bo’lsa, ko’paytma, 4.7 – chizmada ko’rsatilgan tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchakning yuzini beradi.

4.7-chizma. 4.8-chizma.

(4.3) formula bizga, berilgan egri chiziqdan pastda joylashgan yuzani, tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklar yuzalari yig’indisi sifatida, tasvirlash mumkinligini ko’rsatadi (4.8-chizma).

Endi soha, yuqoridan funksiyaning grafigi, pastdan esa, funksiyaning grafigi bilan chegaralangan bo’lsin (4.11 - chizma).

3 4.9-chizma. 4.10-chizma.

Unda sohaning yuzi, funksiyani, dan gacha, bo’yicha integrallaash yordamida topiladi (hisoblanadi), ya’ni

.

Bu holda Riman yig’indisi,

shaklida bo’ladi va tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklarning o’lchamlari quyidagicha: - «balandligi» va - «asosi» (4.11-chizma) bo’ladi.

Endi ga nisbatan integrallash yordamida yuzalarni hisoblash formulasini keltirib chiqaramiz. 4.11 – chizmada ko’rsatilgan sohaning chegaralari, ning funksiyalari bo’lmasdan, ular ning funksiyalaridan iborat bo’lgan holni qaraymiz.

4.11-chizma. 4.12-chizma.

Bu holda tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklarni gorizontal ko’ri-nishda olamiz va yuzani,

Riman yig’indisining limiti sifatida, tasvirlaymiz (4.12-chizma).

Demak, berilgan sohaning yuzi,

integral orqali ifodalanadi. Bu yerda integrallash,

«gorizontal bo’linish» ni ga nisbatan bajaradi.

4.1-misol. va chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini: ga nisbatan; ga nisbatan integrallash yordamida hisoblang.

Yechilishi. Avvalo, berilgan chiziqlarning nuqtalarda kesishishiga ishonch hosil qilish mumkin.

bo’yicha integrallash uchun, tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklarni vertikal joylashtiramiz va tenglamalarni ga nisbatan yechamiz: tenglamani ga nisbatan yechib, bo’lishini olamiz, bunda - parabolaning yuqori yarmidan, esa, parabolaning quyi yarmidan iborat. to’g’ri chiziq tenglamasini , shaklida yozamiz (4.13- chizma). Qaralayotgan sohaning yuqori chegarasi, egri chiziqdan iborat. Uning quyi chegarasi esa, ikkita, har xil tenglamalar orqali ifodalanadi: dan gacha o’zgarganda, egri chiziq, dan gacha o’zgarganda esa, to’g’ri chiziq. Shunday qilib, sohaning yuzi,

4.13-chizma. 4.14-chizma.

bo’yicha integrallash uchun, biz tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklarni gorizontal joylashtiramiz (4.14-chizma). Bunda, o’ngdan chegaralovchi to’g’ri chiziq va chapdan chegaralovchi egri chiziq esa, . Modomiki, , dan gacha o’zgarar ekan,



4.2– misol. Ushbu to’g’ri chiziq va parabola bilan chegaralangan sohaning yuzini toping.

Yechilishi. Berilgan to’g’ri chiziq bilan parabolaning kesishish nuqta-larini topamiz:

, .

Demak, to’g’ri chiziq bilan parabola va nuqtalarda kesishadi.

Shunday qilib, izlanayotgan sohaning yuzi (4.15 chizma),

(kv. bir).

4.15 chizma. 4.16- chizma.

4.3 – misol. Ushbu egri chiziq va to’g’ri chiziq bilan chegaralangan sohaning yuzini toping.

Yechilishi. Ravshanki, ning oshkormas funksiyasi sifatida, uchun aniqlangan. egri chiziqning shaxobchalaridan birinchisi har doim musbat bo’lib, da,

tengsizlikni qanoatlantiradi (4.16 - chizma). (4.2) formulaga asosan,

(kv. bir.)

Agar soha, ushbu ko’rinishda bo’lsa (4.17- chizma), u holda uning yuzi, quyidagi ,

(4.3)

formula orqali topiladi.

4.17- chizma. 4.18-chizma

4.4– misol. Ushbu egri chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini toping.

Yechilishi. Qaralayotgan soha, o’qqa nisbatan standart bo’lmaganligi uchun, uni, o’qqa nisbatan standart bo’lgan uchta sohalarga ajratamiz (9.18-chizma) :

soha o’qqa nisbatan simmetrik bo’lganligi uchun, uning yuzi o’qqa nisbatan standart bo’lgan va sohalar yuzlarining ikkilanganiga teng:

Berilgan soha o’qqa nisbatan standart sohadan iborat:

Bu sohaning simmetrikligidan yana foydalansak, quyidagiga ega bo’lamiz

Mustaqil yechish uchun misollar
Quyidagi integrallarni, Nyuton – Leybnis formulasiga asosan,

hisoblang.

1. J. 2..

3. . J: 9 4. J: 9

5. J: 5 6. . J: 3/8

7. . J: 8.. J: 1

9. J: 0. 10. J: -2

11.. J: 0; 12. J: 0

13.. J: -6. 14. J: 11.

15.. J: . 16. J: .

17.. J: 1. 18. J:

19.. J: . 20. J: .

21.. J: . 22.. J: 5.

23.. J: . 24. . J: .

25. . J: . 26. . J: 16.

27. . J: 8. 28. . J: .

29. . J: . 30. . J: 0,5.

31.. J: 0,5. 32.. J: .

33.. J: . 34.. J: 6.

35.. J: 12. 36.. J: .

37. . J: . 38.. J:1.

39.. J:-1. 40.. J:0.

41. . J: . 42.. J: .

43.. J: . 44.. J: 3.