Aniq integralning ta’riflari

ANIQ INTEGRAL

1. Aniq integralning ta’riflari

funksiya kesmada aniqlangan bo’lsin. kesmaning shartni qanoatlantiradigan chekli sondagi nuqtalar sistemasiga kesmaning bo’linishi deyiladi va u kabi belgilanadi. nuqta bo’linishning bo’luvchi nuqtasi kesma esa, qism oralig’i deyiladi. Agar kesmaning ixtiyoriy bo’linishidagi qism oralig’ining uzunliklari bir xil bo’lsa, u holda, bunday bo’linish, kesmaning regulyar bo’linishi deyiladi. , bo’linishning diametri, deb ataladi. Har bir kesmadan nuqtani olamiz: .

1.1 – ta’rif. Ushbu

(1.1)

yig’indiga, funksiyaning, bo’linishga va nuqtani tanlashga mos kelgan, integral yig’indisi (Riman yig’indisi) deb ataladi.

1.2– ta’rif. Agar olinganda ham, shunday mavjud bo’lib, diametri bo’lgan kesmaning har qanday bo’linishida, hamda nuqtani tanlashga bog’liq bo’lmagan holda,

(1.2)

tengsizlik bajarilsa, u holda, shu son, integral yig’indining limiti deyiladi va u kabi yoziladi.

1.3– ta’rif. Agar funksiya uchun, (1.1) integral yig’indining da limiti mavjud bo’lsa, u holda, funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi deyiladi.

Integral yig’indining limitiga funksiyadan kesma bo’yicha olingan aniq integral (Riman ma’nosida) deyiladi va u

(1.3)

simvol orqali belgilanadi (1.3) da, - integral ostidagi funksiya, son- integralning quyi chegarasi, son esa,- integralning yuqori chegarasi, deb ataladi. Integral ostidagi o’zgaruvchini boshqa o’zgaruvchiga almashtirish ham mumkin, ya’ni

va h.k..

Ta’rif bo’yicha, ( deb olamiz).

1.1 – misol. funksiya ixtiyoriy kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekanligini ko’rsating.

Yechilishi. kesmaning bo’linishini olamiz. Natijada kesma bo’laklarga bo’linadi va deb belgilaymiz. bo’linishga mos kelgan integral yig’indini tuzamiz:

ko’rinishda bo’ladi. Bundan

Demak, funksiya ixtiyoriy kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekan.

Aniq integralning ta’rifidan, har qanday Riman ma’nosida integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo’lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas, lekin har qanday chegaralangan funksiya har doim ham integrallanuvchi bo’lavermaydi.

1.2 – misol. Ushbu

Dirixle funksiyasi kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.

Yechilishi. kesmaning bo’linishini olib, quyidagi

yig’indilarni tuzamiz. nuqta sifatida kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani, sifatida esa , shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda, bo’ladi. Shuning uchun,

Demak, uchun Dirixle funksiyasining integral yig’indisi, 1.2 – ta’rifga binoan, limitga ega emas. Shuning uchun, Dirixle funksiyasi kesmada integrallanuvchi emas.

1.3 – misol. Ushbu

funksiyaning kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.

Yechilishi. kesmaning ixtiyoriy bo’linishi bo’lsin. Unda kesma kesmalarga bo’linadi. nuqta sifatida, kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani, sifatida esa, shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda,

yig’indilarni tuzamiz. Bunda yig’indi funksiya uchun integral yig’indi bo’ladi va u 1.1-misolga asosan,

bo’ladi. yig’indi esa, funksiya uchun integral yig’indi bo’lib,

bo’ladi. Shunday qilib, berilgan integral yig’indi yagona limitga ega emas.

Demak, berilgan funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emas.

2. Aniq integralning xossalari

1) Tengliklar bilan ifoda qilinadigan xossalar.

1-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u ixtiyoriy [a,b]Ì kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi.

2-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi va bo‘lsa, u holda

(2.1)

tenglik o‘rinli.

1-eslatma. Agar bo‘lib, funksiya kesmalarda integrallanuvchi bo‘lsa, u kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi va (2.1) tenglik o‘rinli.

2-eslatma. Agar bo‘lib, funksiya nuqtada aniqlangan bo‘lsa, u holda ni ta’rif sifatida qabul qilamiz.

Agar bo‘lib, funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda

deb qabul qilamiz.

3-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi va

tenglik o‘rinli.

4-xossa. Agar va funksiyalar kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda + funksiya ham kesmada integrallanuvchi bo‘ladi va ushbu

tenglik o‘rinli.

5-xossa. Agar va funksiyalar kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.

3-eslatma. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda uchun funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo‘ladi.

2) Tengsizliklar orqali ifodalanadigan xossalar.

6-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lib, u shu oraliqda manfiy bo‘lmasa, ( uchun ), u holda

bo‘ladi.

1-natija. Agar va funksiyalar kesmada integrallanuvchi bo‘lib, uchun ≤ tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda ushbu

tengsizlik ham o‘rinli .

2-natija. (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi). Agar va funksiyalar kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda - a (a-ixtiyoriy o‘zgarmas) funksiya ham kesmada integrallanuvchi bo‘ladi va tengsizlik o‘rinli.

Bu tengsizlikning chap tomonidagi ifoda ga nisbatan kvadrat uchhad bo‘lib, u ning barcha haqiqiy qiymatlarida manfiy emas. Demak, kvadrat uch- hadning diskriminanti musbat emas, ya’ni

(2.2)

Bu tengsizlik, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.

7-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa , u holda || funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.

4-eslatma. || funksiyaning kesmada integrallanuvchiligidan, funksiyaning shu kesmada integrallanuvchi bo‘lishi har doim ham kelib chiqavermaydi.

3) O‘rta qiymat haqidagi teoremalar.

funksiya kesmada aniqlangan va chegaralangan bo‘lsin. U holda , mavjud va tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

2.1-teorema. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda shunday o‘zgarmas son mavjud bo‘lib, ushbu

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Natija. Agar funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda shunday nuqta topiladiki,

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

2.2-teorema. Agar va funksiyalar kesmada integrallanuvchi bo‘lib, funksiya shu oraliqda o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u holda shunday o‘zgarmas son mavjud bo‘lib,

tenglik o‘rinli.

Natija. Agar kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda kesmada shunday nuqta topiladiki,

tenglik o‘rinli bo‘ladi .

Chegaralari o‘zgaruvchi bo‘lgan aniq integrallar. funksiya kesmada aniqlangan va u shu kesmada integrallanuvchi bo‘lsin. U holda aniq integralning 1-xossasiga asosan, funksiya istalgan Ì kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi, ya’ni

integral mavjud bo‘ladi.

2.3-teorema. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, funksiya shu oraliqda uzluksiz bo‘ladi.

2.4-teorema. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lib, Î nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi va

tenglik o‘rinli.

5-eslatma. Agar bo‘lsa, u xolda, agar bo‘lsa, deb qarash lozim.

Natija. Agar funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, u xolda "xÎ lar uchun , ya’ni funksiya, uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.
3. Aniq integralni hisoblash

Har doim, har qanday integrallanuvchi funksiyaning aniq integralini, integral yig’indining limiti sifatida qarab, hisoblash oson bo’lavermaydi, ya’ni integral yig’indini tuzib, uning limitini hisoblashda ancha noqulayliklar va qiyinchiliklarga duch kelinadi. Shuning uchun, aniq integralni yuqoridagi ta’rif bo’yicha hisoblash usulidan boshqa soddaroq usulini topish zaruriyati tug’iladi. Bu usullarni quyida keltirib o’tamiz.

3.1. Nyuton-Leybnis formulasi. Yuqorida ko’rdikki, agar funksiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u shu kesmada boshlang’ich funksiyalarga ega bo’ladi. Aniq integralning 11⁰ -xossasiga asosan,

funksiya, funksiyaning boshlang’ich funksiyalaridan biridir. funksiyaning kesmadagi ixtiyoriy boshlang’ich funksyasi bo’lsin. Ma’lumki, va boshlang’ich funksiyalarning biri, ikkinchisidan o’zgarmas songa farq qiladi, ya’ni

.

Bundan, deb olib,

ekanligini topamiz, ya’ni uchun,

(3.1)

Nyuton – Leybnis formulasiga ega bo’lamiz. Odatda, (3.1) formula, integral hisobning asosiy formulasi, deb ham yuritiladi.

1-eslatma. Odatdagidek,

belgilashni olsak, u holda, (2.1) Nyuton – Leybnis formulasini,

ko’rinishda ham yozish mumkin.

3.1– misol. Ushbu integralni Nyuton – Leybnis formulasi orqali hisoblang.

Yechilishi. Ma’lumki, integral ostidagi funksiyaning boshlang’ich funksiyasi, dan iborat. Nyuton – Leybnis formulasiga asosan,

bo’ladi. Xususiy holda, bo’lganda,

.

Shunday qilib, aniq integralni hisoblash masalasi, integral ostidagi integrallanuvchi funksiyaning boshlang’ich funksiyasini topish masalasiga keltirilar ekan. Lekin, har qanday integrallanuvchi funksiyaning ham boshlang’ich funksiyasini topish oson bo’lavermaydi. Shuning uchun, aniq integralni hisoblashda, boshqa usullardan ham foydalanishga to’g’ri keladi.

4. Aniq integral yordamida tekis shaklning yuzini hisoblash
4.1. Dekart koordinatalar sistemasida berilgan tekis shaklning yuzini hisoblash.

Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin.

4.1-ta’rif. Tekislikning oddiy (karrali nuqtalarga ega bo’lmagan) yopiq egri chiziq bilan chegaralangan qismi- tekis shakl (figura) deyiladi. Bunda - tekis shaklning chegarasi deyiladi.

O’qlarga nisbatan standart sohalar.

4.2-ta’rif. Koordinatalari, kesmada uzluksiz va funksiyalar uchun, munosabatlarni qanoatlantiradigan nuqtalar to’plami o’qqa nisbatan standart soha deyiladi.

Ta’rifning geometrik ma’nosi shundan iboratki, coha chapdan va o’ngdan, mos ravishda, to’g’ri chiziqlar kesmalari bilan ( bu kesmalar nuqtalarga aylanish ham mumkin) chegaralangan; funksiyaning grafigi coha ning yuqori chegarasidan, funksiyaning grafigi esa, uning qo’yi chegarasidan iborat (4.1-chizma).

4.3-ta’rif. Koordinatalari, kesmada uzluksiz va funksiyalar uchun, munosabatlarni qanoatlantiradigan nuqtalar to’plami o’qqa nisbatan standart soha deyiladi.

Ta’rifning geometrik ma’nosi shundan iboratki, coha yuqoridan va pastdan, mos ravishda, to’g’ri chiziqlar kesmalari ( bu kesmalar nuqtalarga aylanish ham mumkin) bilan, chapdan va o’ngdan mos ravishda va funksiyalarning grafiklari bilan chegaralangandir (4.2-chizma).

O’qlarga nisbatan standart sohalarning yuzalarini hisoblash formulalari:

1. o’qqa nisbatan standart coha- ning yuzi

formula bo’yicha hisoblanadi.

2. o’qqa nisbatan standart coha- ning yuzi

formula bo’yicha hisoblanadi.

4.1-chizma. 4.2-chizma.

Xususiy holda

3. funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, da bo’lsin.

Yuqoridan funksiyaning grafigi, yon tomonlardan va to’g’ri chiziqlar, pastdan esa o’q bilan chegaralangan shaklning (odatda bunday shakl, egri chiziqli trapesiya, deb yuritiladi) yuzi,

(4.1)

formula bo’yicha hisoblanadi (4.3 – chizma).

4.3 – chizma. 4.4 – chizma.

4. Agar kesmada aniqlangan, uzluksiz funksiya manfiy, ya’ni bo’lsa, u holda, asosi kesmadan iborat bo’lib, quyidan funksiyaning grafigi bilan chegaralangan (4.4 - chizma) trapesiyaning yuzi manfiy bo’ladi.

5. Agar kesma, chekli sondagi qism oraliqlarga bo’lingan bo’lib, ularning har birida funksiyaning qiymati manfiy emas yoki musbat emas bo’lsa, u holda, (4.1) integral, chekli sondagi, o’qdan yuqorida va undan pastda joylashgan (yuzi manfiy), egri chiziqli sohalar yuzlarining yig’indisiga teng bo’ladi (4.5 - chizma), ya’ni

4.5 – chizma. 4.6 - chizma

6. funksiyalar kesmada aniqlangan uzluksiz, va uchun, bo’lsin. U holda, chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzi,

(4.2)

formula orqali topiladi (4.6 - chizma)