Анализ идентифиция параметров моделей 1 Количественная оценка диффузионного переноса

ГЛАВА 2. Анализ идентифиция параметров моделей
2.1 Количественная оценка диффузионного переноса
Для количественной оценки вероятности диффузионной (симметричной) компоненты движения материала по цепи необходимо отталкиваться от физического смысла и математической интерпретации коэффициента макродиффузии D (коэффициента смешения). С точки зрения практики математического моделирования на основе теории цепей Маркова выделение симметричного (диффузионного) и несимметричного (конвективного) компонентов вероятностей миграции свойства из рассматриваемой ячейки является общепринятым [175-189]. С чисто математических позиций суть диффузионной модели сводится к утверждению некоторых допущений относительно переноса диффузанта через введенную в рассмотрение прямоугольную ячейку конечного, но малого размера dx. Допуская, что справедлив закон Фика, для одномерного случая горизонтальный поток через вертикальную стенку c координатой x имеет вид:
x _j =-D(x,t) gradC(x,t) , (2.1)
где С(x,t) – концентрация диффузанта. Чаще всего, поскольку характер зависимости D(x,t) установить затруднительно, а на поиск аналитического решения дифференциального уравнения это накладывает практически непреодолимые трудности, рассматривают линейную диффузию, полагая D=const. В этом случае накопление диффузанта будет определяться разностью потоков в ячейку jx и из нее jx+dx, тогда можно записать



(2.2)
Таким образом, уравнение (2.3) является частным случаем гиперболического уравнения диффузии, решение которых при различных заданных краевых условиях хорошо изучены [190-192]. По своему виду уравнение (2.2) напоминает уравнение Фоккера-Планка, записанного для случая движения изолированной точки вдоль прямой, кстати, в работе [192] показана эквивалентность указанных подходов для описания случая миграции невзаимодействующих частиц (в нашем случае это так, так как ранее было принято допущение о D=const). При использовании указанного допущения в дискретные моменты времени k (где k=1, 2, 3...; – время необходимое частице диффузанта на совершение одного перемещения) частица перемещается с некоторой вероятностью влево или вправо вдоль рассматриваемого направления х. Поскольку на каждом шаге рассматриваемые события образуют полную группу (частица переместится либо в одну сторону, либо в другую), то сумма вероятностей этих событий равна единице.

(2.3)

где pw – вероятность к текущему моменту времени t оказаться в точке с координатой х. Для перехода от вероятности pw(х,t) состояния к концентрации частиц C(х,t) необходимо умножить обе части уравнения на полное число частиц (по сути тогда будет получено выражение для второго закона Фика). Из уравнения ФоккераПланка в данной формулировке немного очевидней представляется физический смысл коэффициента D. Действительно, то есть коэффициент

диффузии отражает квадрат среднего разброса положения частиц за счет случайных блужданий в единицу времени.