Аналитический способ определения деформаций при изгибе Потенциальная энергии деформации План

Аналитический способ определения деформаций при изгибе Потенциальная энергии деформации
План:

1. 
   Аналитический способ определения деформаций при изгибе
   

2. Пример определения деформаций при изгибе

3. 
   Вторая теория – наибольших линейных деформаций
   

Аналитический способ определения деформаций при изгибе

При плоском изгибе происходит искривление нейтральной оси балки в плоскости действия внешних сил. Искривлённая ось балки называется упругой линией.
Перемещение  центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки в этом сечении и обозначается буквойу.
При деформации сечение, оставаясь плоским и нормальным к оси балки (гипотеза Бернулли), поворачивается по отношению к своему первоначальному положению на угол  , который называется углом поворота сечения. В дальнейшем вместо угла поворота сечения будем определять равный ему угол между касательной в рассматриваемой точке и первоначальной осью недеформированной балки
Прогиб у и угол поворота сечения  являются функциями отх – расстояния рассматриваемого сечения от выбранного начала координат. Уравнение  представляет собой уравнение упругой линии балки.

Рис1
Касательная к упругой линии в точке составляет с осью х угол  , при этом . Поскольку реальные деформации малы и не превышают, как правило, одного градуса, примем, что где угол выражен в радианах. Следовательно, т.е. угол поворота сечения равен первой производной пох от прогиба у в этом сечении.
Для определения деформаций балки воспользуемся основной формулой теории изгиба, связывающей кривизну оси балки с изгибающим моментом и жёсткостью сечения балки:

Эта формула выведена для чистого изгиба. Пренебрегая влиянием поперечной силы, распространим её и на поперечный изгиб. Радиус кривизны оси балки
(2)
В случае чистого изгиба, когда изгибающий момент  не изменяется по всей длине балки, , следовательно, упругая линия балки представляет собой часть окружности. При поперечном изгибе упругая линия балки может быть любой кривой.
Для определения радиуса кривизны в точке  с координатами (х, у)
воспользуемся известным из курса высшей математики выражением радиуса кривизны линии [2]:
(3)
Пренебрегаем, ввиду малого значения, квадратом тангенса угла поворота сечения. Представим зависимость (3) в более простом виде:

Подставим выражение и получим

или

Уравнение) называется приближённым дифференциальным уравнением упругой линии балки. Выбор знака определяется принятой системой координат. Для системы координат на, имеем одинаковые знаки для радиуса кривизны  и моментаМ. Таким образом, при направлении оси у вверх, а оси х вправо уравнение упругой линии, в общем случае, будет иметь вид

Рис4
Для получения уравнения прогибов  из дифференциального уравнения упругой линии балки необходимо дважды проинтегрировать уравнение (Интегрируя первый раз, получаем

После второго интегрирования

Для каждого участка балки после двукратного интегрирования будем иметь две постоянные интегрирования  и , которые определяются из граничных условий.
При большом числе участков балки, которое определяется числом внешних нагрузок, этот метод приводит к решению системы уравнений с большим числом неизвестных постоянных интегрирования, что значительно усложняет решение. Однако при использовании трёх искусственных приемов составления и интегрирования уравнений можно сократить число неизвестных постоянных интегрирования до двух.
Первый приём заключается в том, что интегрирование выражения, содержащего скобки, проводится без раскрытия скобок. Так, например, интегрирование выражения вида  производится по схеме

где х – абсцисса текущего сечения балки; а – абсцисса начала участка.
От интегрирования с раскрытием скобок такой способ интегрирования отличается величиной постоянной С.
Второй приём состоит в том, что сосредоточенный момент М следует умножить на скобку (x-b) в нулевой степени, что не изменит размерность сил и условий равновесия. Это необходимо для того, чтобы структура формул различных участков балки была одинакова. Величина b – расстояние от начала координат до сечения, в котором приложен сосредоточенный момент М.
Третий приём. Если распределённая нагрузка действует не по всей длине балки, то её следует продолжить до конца балки и, чтобы не изменить состояние системы сил, приложить компенсирующую нагрузку той же интенсивности, но противоположную по знаку. Дополнительную распределительную нагрузку и нагрузку, её компенсирующую, на расчётной схеме принято показывать пунктирной линией.
Кроме этого, начало координат всегда будем выбирать в крайней левой точке рассматриваемой балки, и оно является общим для всех участков. Выражение для изгибающего момента  составляем путём вычисления моментов внешних сил, расположенных слева от рассматриваемого сечения, взятого на расстояниих от начала координат, где х – текущая координата.
Величину прогиба  и угла поворота сечения в начале координат называют начальными параметрами.
Рассмотрим пять участков балки длиной L, которая под действием внешних нагрузок, вызывающих положительные изгибающие моменты, находится в равновесии. Начало координат выбираем в крайней левой точке О, ось х направляем вправо, ось у – вверх (рис. 5)

Рис. 5
I участок ОА. На этом участке нагрузка отсутствует, следовательно, изгибающий момент в любом сечении равен нулю.



II участок АВ. На втором участке изгибающий момент определяется силой F. При интегрировании дифференциального уравнения упругой линии балки применим первый приём, т.е. интегрируем без раскрытия скобок.


III участок. При интегрировании применим второй приём относительно сосредоточенного момента М.



IV участок. Слева от рассматриваемого сечения действуют все виды внешних нагрузок: сосредоточенная сила F, сосредоточенный момент М и равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q.

;

V участок. Продолжаем равномерно распределённую нагрузку до конца балки и прикладываем компенсирующую нагрузку противоположного направления. Отметим, что в соответствии с правилом знаков изгибающий момент от компенсирующей нагрузки будет величиной отрицательной.



Докажем равенство постоянных интегрирования  и . Для этого приравняем выражения для определения угла поворота сечений на границе двух смежных участков, например,IV и V с координатой x=d. В соответствии с формулами запишем

откуда  . Рассматривая остальные граничные сечения, можем доказать равенство всех постоянных интегрирования
Для доказательства равенства постоянных интегрирования D приравняем прогибы, например, на границе II и III участков, имеющих координату x=b, для чего воспользуемся формулами

следовательно,  . Точно так же можно доказать равенство всех постоянных интегрирования .
Установим физический смысл постоянных С и D. Обозначим угол поворота сечения балки и прогиб в начале координат через  и . Для первого участка приx=0 в соответствии с уравнениями


т.е. постоянная С представляет собой угол поворота сечения в начале координат, умноженный на жёсткость балки, а D – прогиб в том же сечении, умноженный на ту же величину жёсткости.
Подставим значения С и D в наиболее общие уравнения деформаций для пятого участка, которые содержат все силовые изгибающие факторы. С учётом того, что различные виды нагрузок, действующих на балку, в общем случае могут многократно повторяться, уравнения (7.37) и (7.38) запишем в следующем виде:
; (7.41)
.
Такой метод составления уравнений углов поворота сечений и прогибов балок носит название метода начальных параметров, а сами уравнения и (7.42) называются универсальными уравнениями упругой линии балки.
При определении деформаций балок необходимо учитывать следующее.
Если нагрузки вызывают в сечениях отрицательный изгибающий момент, то они должны быть записаны в уравнениях со знаком « – ».
Положительный знак прогиба означает, что он направлен в положительную сторону направления оси у, т.е. вверх; если прогиб отрицателен, то он направлен вниз.
Положительный знак угла поворота сечения соответствует повороту против часовой стрелки.
Если рассматривается балка, защемлённая одним концом, то начальные параметры  и в жёсткой заделке равны нулю. Следовательно, совместив начало координат с местом защемления, получимC=D=0.
У двухопорной бесконсольной балки или у балки с одной консолью для составления уравнений деформаций необходимо определить только  , так как прогиб в начале координат, который совпадает с бесконсольной опорой, равен нулю. Это неизвестное определяем из уравнения приравняв нулю прогиб под второй опорой.
При рассмотрении двухконсольной балки начало координат не может быть совмещено с опорой. В этом случае необходимо определить оба начальных параметра  и . Они определяются из условия равенства нулю прогибов под каждой из опор. Для этого необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.