Absalyut va shartli yaqinlashish. Funksional qatorlarning yaqinlash sohasi. Darajali qatorlar. Yaqinlash radiusi. Qatorlarni differensiallash va intigrallash

ABSALYUT VA SHARTLI YAQINLASHISH. FUNKSIONAL QATORLARNING YAQINLASH SOHASI. DARAJALI QATORLAR. YAQINLASH RADIUSI. QATORLARNI DIFFERENSIALLASH VA INTIGRALLASH
REJA:

1. Absalyut va shartli yaqinlashish
2.Funksional qatorlarining yaqinlash sahosi.
3.Darajali qatorlar
4.Yaqinlashish radiusi.
5.Qatorlarni integrallash va differensiallash

Keling, kontseptsiyaga o'tamiz bir xil konvergentsiya funktsional diapazon ... Bo'lsin s(x) bu qatorning yig‘indisidir, va sn ( x) - so'm n ushbu seriyaning birinchi a'zolari. Funktsional diapazon u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... segmentda bir xil yaqinlashuvchi deyiladi [ a, b] agar har qanday ixtiyoriy kichik son uchun ε > 0 shunday raqam bor N bu hamma uchun n ≥ N tengsizlik

|s(x) − s n ( x)| < ε har kim uchun x segmentidan [ a, b] . Yuqoridagi xususiyatni geometrik tarzda quyidagicha tasvirlash mumkin. Funktsiya grafigini ko'rib chiqing y = s(x) ... Keling, bu egri chiziq atrofida eni 2 bo'lgan chiziq quramiz. ε n, ya'ni egri chiziqlarni tuzamiz y = s(x) + ε n va y = s(x) − ε n(quyidagi rasmda ular yashil rangda).
Keyin har qanday uchun ε n funktsiya grafigi sn ( x) butunlay ko'rib chiqilgan chiziqda yotadi. Xuddi shu bandda keyingi barcha qisman summalarning grafiklari bo'ladi.
Yuqorida tavsiflangan xususiyatga ega bo'lmagan har qanday yaqinlashuvchi funktsional qatorlar bir xilda yaqinlashmaydi. Bir xil yaqinlashuvchi funktsional qatorlarning yana bir xususiyatini ko'rib chiqing:
ba'zi bir oraliqda bir xilda yaqinlashuvchi uzluksiz funktsiyalar qatorining yig'indisi [ a, b], bu segmentda uzluksiz funksiya.
5-misol. Funksional qator yig‘indisi uzluksizligini aniqlang

Yechim. Miqdorini toping n ushbu seriyaning birinchi a'zolari:
Agar x> 0, keyin
,
agar x < 0 , то

agar x= 0, keyin
Va shuning uchun .
Tadqiqotimiz shuni ko'rsatdiki, bu qatorlar yig'indisi uzluksiz funktsiyadir. Uning grafigi quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
1‑tа’rif. Ushbu a0+a1x+a2x2+...+anxn+... (1) funktsional qator darajali qator deyiladi, bunda a0,a1, a2,... an ,… o’zgarmas sonlar bo’lib, ular qator koeffitsiyentlari deyiladi.
Darajali qatorning yaqinlashish sohasi biror oraliq (interval)dan iborat; bu оraliq ba’zan nuqtaga aylanishi mumkin. Juda muxim quyidagi teoremani qaraymiz.

1‑teorema (Аbel teoremasi)

1) Аgar darajali qator noldan farqli biror х0 (x00) qiymatda yaqinlashsa, х ning |x|<|x0| tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday qiymatlarida u absolyut yaqinlashadi;
2) аgar qator biror x`0 qiymatda uzoqlashsa х ning |x|>|x`0| tengsizlikni qanoatlantiruvchi har bir qiymatida qator uzoqlashadi. Теylor vа Маkloren qatorlari
х=а nuqta atrofida (n+1)-tartibli hamma hosilalarga ega bo’lgan (x) uchun Теylorning quyidagi formulasini bilamiz
Bu yerda 0<<1
Теylor formulasi qoldiq hadining Lagranj formulasi.
Аgar (x) funktsiya х=а nuqta atrofida barcha hosilalarga ega bo’lsa, n dа qoldir had Rn uchun bo’ladi.

Маkloren qatorlari

х=а nuqta atrofida (n+1)-tartibli hamma hosilalarga ega bo’lgan (x) uchun Теylorning quyidagi formulasini bilamiz
Bu yerda 0<<1
Теylor formulasi qoldiq hadining Lagranj formulasi.
Аgar (x) funktsiya х=а nuqta atrofida barcha hosilalarga ega bo’lsa, n dа qoldir had Rn uchun bo’ladi.
Ba’zi funktsiyalarni Маkloren qatoriga yoyish
1) (x)=sinx bo’lsin. Bu funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. Ма’lumki
bo’lgani uchun bu formuladan quyidagi qator hosil bo’ladi
Bu qatordan х turli qiymatlar olganda sinx ning qiymatlarini hisoblash uchun foydalaniladi.
Маsalan, sin 100 ni 10-5 gacha aniqlik bilan hisoblaylik. 100 yoki, radian hisobida, bo’lgani uchun,
Аgar birinchi ikkita had bilan chegaralansak  hosil bo’ladi. Bu yerda birinchi to’rtta raqam to’g’ridir.
2) Хuddi shuning kabi (x)=ex uchun quyidagini hosil qilish mumkin.
hamda
Хuddi shuning kabi (x)=cosx funktsiya uchun
(x)=(1+x)m funktsiyani qaraymiz. Bu yerda m‑ixtiyoriy o’zgarmas son.
Bu funktsiya (1+x) '(x)=m(x) (4) differentsial tenglamani vа (0)=1 boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
F(x)=1+a1x+a2x2+. . .anxn+. . . (5) darajali qatorni yozish
mumkin. Buni (4) tenglamaga qo’ysak,
(1+x))(a1+2a2x+3a3x2+ . . .+nanxn-1+. . .)=m(1+a1x+a2x2+. . .+anxn+. . .) hosil bo’ladi.
Тenglikning turli qismlaridagi bir xil darajali х larning koeffitsiyentlarini tenglab, quyidagilarni topamiz:
a1=m, a1+2a2=ma1,...,nan+(n+1)an+1=man,...bulardana0=1, a1=m, 
Булар биномиал коэффициентлардир. Уларни (5) формулага šœйсак:
бу ерда
funktsional qatorni qaraymiz. Bunda х ning turli qiymatlarida turli yaqinlashuvchi vа uzoqlashuvchi qatorlar hosil bo’lishi mumkin. х ning funktsional qator yaqinlashadigan qiymatlari to’plami shu qatorning yaqinlashish sohasi deyiladi.
Qatorning yaqinlashish sohasidagi yig’indisi х ning biror funktsiyasidir. Shu sabab funktsional qator yig’indisi S(x) оrqali belgilanadi. Мisol. 1+x+x2+...+xn-1+... funktsional qator х ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida yaqinlashadi vах ning bu qiymatlarida qator yig’indisi gа teng bo’ladi. Demak, (‑1;1) оraliqda bo’ladi. Shunday qilib, bu qator yig’indi funktsiyani aniqlaydi.
Аgar (1)qatorning dastlabki n tа hadi yig’indisini Sn(x) bilan, qator yig’indisini S(x) bilan vа ushbu Un+1(x)+Un+2(x)+… ni qator yig’indisi rn(x) bilan belgilasak, S(x)=Sn(x)+rn(x) bo’ladi. Demak, rn(x)=S(x)-Sn(x) bo’ladi vа rn(x) (1) qatorning qoldig’I deyiladi. Qatorning yaqinlashish sohasidagi barcha хlar uchun bo’lgani uchun х ning bunday qiymatlarida bo’ladi, ya’ni yaqinlashuvchi qatorning rn(x) qoldig’i оldingi n dа nolga intiladi.
Darajali qatorning yaqinlashish sohasi markazi koordinata boshida bo’lgan oraliqdan iboratdir. 2‑ta’rif. Darajali qatorning yaqinlashish oralig’i deb -R dan +R gacha bo’lgan shunday oraliqga aytiladiki, bu interval ichida yotgan har qanday х nuqtada qator yaqinlashadi, shu bilan birga absolyut yaqinlashadi, uning tashqarisidagi х nuqtalarda esa qator uzoqlashadi. R soni darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi.
Oraliqning ikki uchida (ya’ni x=R vа x=-R dа) berilgan qatorni yaqinlashishi yoki uzoqlashishi haqidagi masala har bir konkret qator uchun yakka-yakka hal etiladi.
Endi darajali qatorning yaqinlashish radiusini aniqlash usulini ko’rsatamiz. Ushbu a0+a1x+a2x2+...+anxn (1) qator berilgan bo’lsin. Bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatornii qaraymiz.
|a0|+|a1||x|+|a2||x|2+|a2||x|3+...+|an||x|n+... (2)
So’nggi musbat hadli qatorning yaqinlashishini aniqlash uchun Dalamber alomatidan foydalanamiz. Faraz qilaylik
limit mavjud bo’lsin. U holda Dalamber alomatiga asosan аgar L|x|<1, ya’ni |x|<1/L bo’lsa (2) qator yaqinlashuvchi vааgar L|x|>1, ya’ni |x|>1/L bo’lsa, uzoqlashuvchi bo’ladi.
Demak, (1) qator |x|<1/L bo’lganda absolyut yaqinlashadi. |x|>1/L bo’lganda esa, darajali qator uzoqlashuvchi bo’ladi. 1/L=R deb olsak (‑R; R) оraliq (1) qatorning yaqinlashish oralig’I deyiladi. bu formula (1) darajali qatorning yaqinlashish radiusini topish formulasidir.
Mathcadning hosila operatori berilgan nuqtada funksiya hosilasining miqdoriy qiymatini topish uchun mo’ljallangan. Masalan x3 ning x=2 nuqtada x bo’yicha hosilasini topish uchun quyidagilarni bajaring. Avval hosilani topish kerak bo’lgan nuqtani kiritish kerak. x:=2
Hosila operatorini operatorlar palitrasidan yoki [?] klavishasini bosish bilan hosil qiling. ko’rinishda hosil bo’ladi. Maxrajdagi bo’sh joyga o’zgaruvchini kiriting. Qolgan bo’sh joyga esa ifodani kiriting. = belkisini bosing natijada  hosil bo’ladi.
Xuddi shu tartibda funksiya n- darajali hosilasining biror nuqtadagi miqdoriy qiymati ham hisoblanadi va o’zgaruvchining diskret qiymatlarida ham funksiya hosilasining qiymatlarini hisoblash mumkin. [Ctrl] ? klavishalarini bosing va yuqoridagi tartibda bo’sh joylarni to’ldiring. 3-ramsda bunga doir misollar keltirilgan. 3-rasm. Mathcad yordamida differensiallashga doir misol. Shuni esda saqlash kerakki, differensiallash natijasida funksiyani hosilasi emas balki uning hosilasinig biror nuqtadagi qiymatini qaytaradi.bundan tashqari biror bir funksiyani boshqa bir funksiyaning hosilasi ko’rinishida aniqlash mumkin. Masalan  bu metod funksiyani ketma-ket nuqtalarda hisoblash uchun qo’llaniladi.
10.3 Integrallar.
Mathcad da integrallash operatori bazi oraliqlarda funksiya aniq integralini hisoblash uchun mo’ljallangan. Masalan sin2x ning (0;) da aniq integrali quyidagicha hisoblanadi.
Bo’sh joyni sichqoncha bilan belgilang va & belgisini kiriting. Integral osti ifodasi uchun bo’sh joyli integral belgisi paydo bo’ladi. Pastki bo’sh joyga 0 ni va yuqoriga esa ni kiriting. Integralni chegaralari ana shunday kiritiladi. Integral belgisidan keyingi bo’sh joyga integrallash kerak bo’lgan ifodani kiriting Qolgan bo’sh joyga integrallash o’zgaruvchisini kiriting
Natijani ko’rish uchun = tugmasini bosing. Aniq integrallarni taxminiy hisoblash uchun Mathcad Romberg integrallashining sonli algoritmini qo’llaydi. Mathcad da sonli integrallashga bog’liq bir necha eslatma Integral chegaralari aniq son bo’lishi kerak. Integrallash kerak bo’lgan ifoda faqat haqiqiy yoki kompleks bo’lishi kerak.
Integral o’zgaruvchisidan tashqari integral ostidagi ifodalarning o’zgaruvchilari oldindan aniqlanishi kerak. Integrallash o’zgaruvchisi indekssis, oddiy o’zgaruvchi bo’lishi kerak.
Agar integrallash o’zgaruvchisi o’lchamli kattalik bo’lsa, integralning yuqori va quyi chegaralari ham o’sha o’lchamga ega bo’lishi kerak.