8-mavzu chiziqli oʻzgarmas koeffitsiyentlli yuqori tartibli bir jinsli differensial tenglamalar

8-MAVZU
CHIZIQLI OʻZGARMAS KOEFFITSIYENTLLI YUQORI TARTIBLI BIR JINSLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.
Nazariyada va amaliyotda ikki xil tipdagi tenglamalarni farqlashadi – bir jinsli va bir jinsli boʻlmagan tenglamalar.
Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar quyidagicha koʻrinishda boʻladi:

Oʻng tomoni esa qatʼiy nol boʻlishi lozim.
Bunday differensial tenglamalarni yechish uchun:

1. 
   Xarakteristik tenglamani tuzish lozim:
   

Tenglama -ni oʻrniga , -ni oʻrniga qoʻyib hosil qilinadi, y ni oʻrniga hech nima yozmaymiz.

2. 
   – oddiy kvadratik tenglamani yechamiz,
   

Ildizlarga qarab uch xil holatga duch kelishimiz mumkin:

1. 
   Agar D>0 boʻlsa, – turli xil haqiqiy ildizga ega boʻlamiz, bunday
   

holatda differensial tenglama ildizlari quyidagicha boʻladi:
konstantalar

Tushunarliki – larning birortasi 0 boʻlsa, umumiy yechim (masalan boʻlsin)

koʻrinishni oladi.

2. 
   Agar xarakteristik tenglama ikkita karrali yechimga ega boʻlsa ,
   

yaʼni D=0 boʻlsa, u holda bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi
konstantalar
Agar ikkala yechim ham boʻlsa, umumiy yechim yana soddalashadi:
konstantalar.
Aynan primitiv differensial tenglamaning yechimi boʻladi:

3. 
   Agar D<0 boʻlsa, xarakteristik tenglama qoʻshma kompleks ildizlarga ega
   

boʻladi:

u holda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi quyidaicha koʻrinishda boʻladi:
, konstantalar
Agar kompleks yechimlar toza mavhum sonlardan iborat boʻlsa, yaʼni boʻlsa

u holda yechim quyidagicha boʻladi:
, konstantalar
har bir m-karrali ildiz boʻlsa, u holda unga mos umumiy yechim

koʻrinishda boʻladi, -konstantalar.
Misol 1.


Agar bir jinsli differensial tenglama umumiy holda

koʻrinishda boʻlsa ham hech nima oʻzgarmaydi. Kvadrat tenglama ildizlari ildizlik chiqsa ham hech qanday muammo yoʻq, yechimni qanday boʻlsa shunday yozaveramiz:
Masalan: ,
konstantalar.
Agar xarakteristik tenglama ildizlari qoʻshma kompleks ildizlar boʻlsa;
Masalan:
, konstantalar
Yuqori tartibli bir jinsli differensial tenglamalar:

Bunday differensial tenglamalarni yechish uchun tushunarlliki

1. 
   Xarakteristik tenglamani tuzish lozim:
   

Kubik tenglama 3 ta ildizga ega (n – tartibli tenglama n ta ildizga ega)
Agar ildizlar har xil haqiqiy ildizlar boʻlsa, masalan: boʻlsin, u holda umumiy yechim quyidagicha:
konstantalar
Agar bitta ildiz haqiqiy , qolgan ikkitasi qoʻshma kompleks ildiz boʻlsa:

u holda yechim quyidagicha boʻladi:

Agar uchta ildiz ham karrali boʻlsa: u holda umumiy yechim:
konstantalar
Xususan boʻlsa, umumiy yechim:
konstantalar
Xuddi shunday oʻzgarmas koeffitsiyentli 4-tartibli chiziqli bir jinsli tenglamalarda ham

Mos xarakteristik tenglama:

Har doim 4 ta yechimga ega boʻladi, umumiy yechim xuddi yuqorida aytilgan prinsipda yoziladi, faqatgina 4 ta ildiz ham karrali boʻlganda, masalan boʻlsa, umumiy yechim quyidagicha:

konstantalar, korinishda boʻladi.