8 -ma’ruza Differensial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operatsion hisob usullari yordamida yechish

---

1 

 

8 -ma’ruza 

Differensial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operatsion hisob 

usullari yordamida yechish 

Ma’ruza rejasi:  

1.  O’zgarmas  koeffitsientli  oddiy  differensial  tenglamalarni  operatsion  hisob 

usullari yordamida yechish. 

2. Chiziqli differensial tenglamalar sistemalarini operatsion hisob usulida yechish.   

O’zgarmas koeffitsientli oddiy differensial tenglamalarni operatsion 

hisob usullari yordamida yechish  

Operatsion  hisobning  muhim  tadbiqlaridan  biri,  o’zgarmas  koeffitsientli 

chiziqli differensial tenglamalarni operatsion hisob usulida yechishdir.  

Ikkinchi  tartibli  bir  jinsli  bo’lmagan  koeffitsientlari  o’zgarmas  bo’lgan 

chiziqli differensial tenglamani qaraymiz 

  ( )    

 

  ( )    

 

 ( )    ( )                       (1) 

Bu  tenglamaning  quyidagi  boshlang’ich  shartlardagi  xususiy  yechimini 

topamiz 

 ( )    

 

        ( )    

 

 

                                (2) 

Differensial  tenglamani  operatsion  hisob  usulida  yechishning  mohiyati 

shundan  iboratki,  noma’lum  funksiya 

 ( )    va  uning  hosilalari  hamda   ( ) 

funksiyalarning  tasvirlarini  topib  (1)  tenglamada  ularni  almashtiramiz.  Natijada, 

tasvirlardan  tuzilgan  chiziqli  tenglama  hosil  bo’ladi.  Bu  tenglamada  noma’lum 

funksiya   

 ( )  va   ( )  funksiyaning  tasviri  bo’lgan   ( )  funksiya  qatnashadi. 

Noma’lum  funksiya  hosilalarining  tasvirlarini  topish  uchun  originalni 

differensiallash teoremasidan foydalanamiz: 

 ( )    ( ) 

  ( )     ( )    ( )     ( )    

 

 

  ( )    

 

 ( )     ( )     ( )    

 

 ( )     

 

   

 

 

 

Hosil bo’lgan ifodalarni tasvirlar tenglamasiga qo’ysak 

 

 

 

 ( )     

 

   

 

 

   

 

  ( )    

 

   

 

 ( )    ( )          (3) 

ko’rinishdagi 

 ( )  noma’lum tasvirga nisbatan algebraik tenglama hosil bo’ladi. 

Unga operatorli tenglama deb ataladi. 

Bu tenglamani echamiz 

 ( )( 

 

   

 

     

 

)    ( )     

 

   

 

 

   

 

 

yoki 

 ( )  

 ( )     

 

   

 

 

   

 

 

 

   

 

     

 

 

(4) 

Shunday qilib, qidirilayotgan yechimning tasviri topildi. Endi jadval, teskari 

almashtirish  teoremasi  yoki  boshqa  biror  usul  bilan  unga  mos  keluvchi 

 ( ) 

originalni topamizki, u berilgan differensial tenglamaning yechimi bo’ladi. 

Boshlang’ich  shartlar  nollardan  iborat  bo’lgan  holida, 

 ( )  tasvir  sodda 

ko’rinish oladi: 

 ( )  

 ( )

 

 

   

 

     

 

 

---

2