38—амалий машғулот. Аниқ интегрални хисоблашга оид мисоллар

---












,
cos
sin
1
1
2
2
2
2
tdt
dx
t
x
dx
x
x
38—амалий машғулот. Аниқ интегрални хисоблашга оид мисоллар. 
1-мисол.
Интегрални ҳисобланг: 

2
e
e
xinx
dx
Ечиш. 
 
 
 







2
2
2
.
2
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
2
e
e
e
e
e
e
e
e
x
x
x
d
x
x
dx
2-мисол.

2
0
3
sin

xdx
ни ҳисобланг. 
Ечиш.




.
3
2
0
cos
2
cos
3
1
0
cos
2
cos
cos
3
1
cos
cos
cos
1
sin
sin
sin
3
3
2
0
3
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
3




































x
x
x
d
x
xdx
x
xdx
b 

3-мисол.
dx
x
x


1
2
2
2
2
1
интегрални ҳисобланг.
Ечиш. 
t
x
sin

ўрнига қўйишдан фойдаланамиз: 
= 
=


.
4
1
4
4
2
2
sin
sin
1
cos
sin
sin
1
2
4
2
4
2
2
2
4
2
2








































ctg
ctg
t
ctgt
dt
t
t
tdt
t
t
4-мисол
. 


8
5
1
x
xdx
интегрални ҳисобланг. 
Ечиш
1


x
t
формула бўйича ўзгарувчини алмаштирамиз:
x 
t 
2
2
4

1 
2


---













8
3
2
2
,
1
,
1
1
tdt
dx
t
x
x
t
x
xdx






3
32
2
3
8
2
3
9
2
2
1
2
2
1
3
2
3
2
3
2
3
2
2






 


















t
t
t
dt
t
t
tdt
t
5- Мисол.

e
l
xdx
x
2
ln
интегрални топинг. 
Ечиш. Бўлаклаб интеграллаш формуласини қўллаймиз: 


.
1
4
1
4
2
1
2
1
2
1
2
1
ln
2
2
1
2
,
,
,
ln
ln
ln
2
1
2
,
,
ln
2
,
ln
ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


























































e
l
e
l
e
l
e
l
e
l
e
l
e
l
e
x
xdx
e
e
xdx
x
x
e
x
v
xdx
dv
x
dx
du
x
u
xdx
x
x
x
x
v
xdx
dv
x
dx
x
du
x
u
xdx
x
6-мисол.
Ушбу


1
0
2
1
dx
x
интеграл ҳисоблансин. 
◄ Берилган интегралда 
t
x
sin

алмаштиришни бажара-миз. Унда 








2
0
2
2
0
2
1
0
2
cos
cos
sin
1
1


tdt
tdt
t
dx
x






2
0
2
0
4
)
2
sin
4
1
2
1
(
)
2
cos
2
1
2
1
(



t
t
dt
t
x 
t 
3 2 
8 
3 





---

7-мисол.
Ушбу 

2
1
ln
xdx
x
интеграл ҳисоблансин. 
◄ Бу интервалда 
 
 
x
x
dv
x
x
u


,
ln
деб 
 
 
2
,
1
2
x
x
v
dx
x
x
du


бўлишини топамиз. Унда (5) формулага кўра: 










2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
4
3
2
ln
2
2
1
2
ln
2
1
2
)
ln
2
(
ln
xdx
dx
x
x
x
x
xdx
x
бўлади. ► 
8-мисол.
Ушбу


2
0
sin

xdx
J
n
n
,...)
2
,
1
,
0
(

n
интеграл ҳисоблансин. 
◄ Равшанки, 



2
0
0
2


dx
J
,
1
)
cos
(
sin
2
0
2
0
1







x
xdx
J
. 
2

n
бўлганда берилган интегрални 






2
0
2
0
1
)
cos
(
sin
sin


x
d
x
xdx
J
n
n
n
кўринишида ёзиб, унга бўлаклаб интеграллаш формуласини қўллаймиз. 
Натижада 

---

n
n
n
n
n
n
n
n
J
n
J
n
xdx
n
xdx
n
dx
x
x
n
xdx
x
n
x
x
J
)
1
(
)
1
(
sin
)
1
(
sin
)
1
(
)
sin
1
(
sin
)
1
(
cos
sin
)
1
(
)
cos
sin
(
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
1
































бўлиб, ундан ушбу 
2
1



n
n
J
n
n
J
рекуррент формула келиб чикади. 
Бу формула ёрдамида берилган интегрални 
,........
3
,
2
,
1

n
бўлганда 
кетма-кет ҳисоблаш мумкин. 
Айтайлик, 
m
n
2

- жуфт сон бўлсин. Унда 
2
!
)!
2
(
!
)!
1
2
(
2
1
4
3
6
5
......
2
2
3
2
2
1
2
0
2












m
m
J
m
m
m
m
J
m
бўлади. 
Айтайлик, 
1
2


m
n
- тоқ сон бўлсин. Унда 
!
)!
1
2
(
!
)!
2
(
3
2
5
4
7
6
......
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2











m
m
J
m
m
m
m
J
m
бўлади. 
!
!
(
m
символ 
m
дан катта бўлмаган ва у билан бир хил жуфтликка эга 
бўлган натурал сонларнинг кўпайтмасини билдиради.)
Мустақил ечиш учун мисоллар: 
Интегралларни ҳисобланг: 
1. 


.
1
0
3
2
dx
x
x


2.
.
1
2
2
1


x
dx
3. 


.
ln
1
2


e
l
x
x
dx
4. 
.
2
3
2
2
3
2




x
x
dx

---

5. 
.
2
3
1
6
1



x
dx
6. 
.
cos
2
3
2
0



x
dx
7. 
.
2
2
6
ln
2
ln
dx
e
e
e
x
x
x



8. 


1
4
1
2
.
4
1
x
x
dx
9. 
.
sin
2
0
4
3


xdx
e
x
10. 


1
0
.
arctgxdx
x
11. 



4
0
3
.
2
3
dx
x
x
12. 



1
0
2
.
5
4
4
x
x
dx
13. 

4
0
2
.
sin

xdx
14. 



5
1
.
1
2
x
x
dx
15. 



3
4
2
2
.
4
dx
x
x
16. 
.
sin
2
1
4
0
2



x
dx
17. 

4
0
2
.
2
cos

xdx
x
18. 
.
1
arcsin
1
0


x
xdx