30-mavzu: Fazoda silindrik va sferik koordinatalar sitemasi. Uch o’lchovli integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish

30-mavzu: Fazoda silindrik va sferik koordinatalar sistemasi. Uch o’lchovli integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish.

Uch o‘lchovli integral silindrik koordinatalar sistemasida. Silindrik koordinatalar

sistemasi xy tekislikdagi qutb koordinatalar sistemasiga z aplikatani qo‘shishgan

hosil bo‘ladi. Dekart koordinatalar sistemasini silindrik koordinatalar sistemasi bilan

bo‘g‘laydigan formulalar quyidigan ko’rinishda bo‘ladi.

x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z

Bu formulalar ushbu sohani:

0≤ρ<+∞, 0≤φ ≤ 2π, -∞

butun xuz tekisligiga akslantiradi.

Ammo ρ=0 va z=z to’g’ri chiziq

(0; 0 z) nuqtaga akslantiriladi va bu

bilan o’zaro bir qiymati \moslik buziladi.

1-misol. Quyidagi sirtlar va z=1 iborat jismni hajmini toping.

Yechish: Jism yuqoridagi z=1, pastdagi paraboloid bilan chegaralangan.

Silindrik koordinata sistemasi topilsin.

2-misol. Hisoblang:

Agar V:

Shar.

Yechish: Sferik koordinatalar sistemasiga o’tamiz