27-§. n-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffetsiyentli chiziqli differensial tenglama

27-§. n-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffetsiyentli chiziqli differensial tenglama.

Agar bir jinsli differensial tenglamaning fundamental yechimlari sistemasi (F.Y.S.) ma’lum bo’lsa, u holda uning ixtiyoriy yechimini topish mumkin.

Oldingi paragraflarda n-tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning F.Y.S ning mavjudligi haqidagi teoremani isbotlagan edik. Lekin F.Y.S ni topish masalasi bilan shug’ullanmaganmiz.

Mazkur paragrafda, agar n-tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglama o’zgarmas koeffitsiyentli bo’lsa, u holda uning F.Y.S ni topish mumkinligini ko’rsatamiz.

Ushbu

 (1)

differensial tenglamani qaraymiz. Bu yerda , haqiqiy o’zgarmas sonlar. O’zgarmas koeffitsiyentli (1) ko’rinishdagi differensial tenglamaning muhimligi shundaki, uning F.Y.S ni topish masalasi n-darajali algebraik tenglamaning ildizlarini o’rganish masalasiga keltiriladi.

Avvalo (1) differensial tenglamaning biror xususiy yechimini

(2)

ko’rinishda izlaymiz. Bu funksiyani ketma-ket n-marta differensiallab

hosilalarni topamiz. So’ngra ni hisoblaymiz:

. (3)

Bunda, ushbu

(4)

n-darajali ko’phadga (1) differensial tenglamaning xarakeristik ko’phadi deyiladi.

Agar biror soni (4) xarakteristik ko’phadning ildizi, ya’ni

bo’lsa, u holda bo’lib, funksiya (1) differensial tenglamani-

ng xususiy yechimidan iborat bo’ladi. Bizga algebra kursidan ma’lumki,

(5)

xarakteristik tenglamani n ta ildizi mavjud.

1. Avvalo (5) xarakteristik tenglama n ta har xil oddiy ildizlarga ega bo’lgan holni ko’rib chiqamiz. Aniqlik uchun ushbu

(6)

sonlar (5) xarakteristik tenglamaning har xil , oddiy ildizlari, ya’ni bo’lsin. U holda (6) ko’rinishdagi ildizlarga (1) differinsial tenglamaning

(7)

ko’rinishdagi xususiy yechimlari mos keladi. Bu yechimlar (1) differensial tenglamaning F.Y.S ni tashkil qilishini ko’rsatamiz. Shu mqasadda (8) yechimlardan tuzilgan Vronskiy determinantini tuzamiz va uning son qiymatini topamiz:

Algebra kursida oxirgi determinantga Vandermond determinanti deyiladi.

U noldan farqli bo’lishi uchun larning har xil bo’lishi zarur va yetarli. Shunday

qilib, agar lar har xil bo’lsa, u holda (1) differensial tenglamaning

yechimlari chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi. Shuning uchun ular (1) differensial tenglamaning F.Y.S ni tashkil qiladi. Demak, (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi

(8)

ko‘rinishda ifodalanadi. Bu yerda - ixiyoriy o‘zgarmas sonlar.

Faraz qilaylik, (5) xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida kompleks ildizlar ham bo‘lsin. Masalan, , , , bu ildizlarga ushbu

ko‘rinishida kompleks yechimlar mos keladi. Quyidagi

tengliklar o’rinli bo’lgani uchun, ushbu

(9)

va funksiyalar ham (1) differensial tenglamaning yechimlaridan iborat bo‘ladi.

Endi { }=F.Y.S da (5) xarakteristik tenglamaning kompleks ildizlariga mos keluvchi har bir , - kompleks qo‘shma yechimlari juftliklarini , -haqiqiy yechimlari juftligi bilan almashtiramiz. Shu bilan bir qatorda ko‘rinishidagi haqiqiy yechimlarini deb olamiz. Natijada (1) differensial tenglama , … - haqiqiy yechimlarga ega bo‘ladi. Bu yechimlarning ixtiyoriy intervalda chiziqli erkli ekanligini ko‘rsatamiz.

Faraz qilaylik, biror sonlar uchun ushbu

,

tenglik o‘rinli bo‘lsin. Bu yerda , … larni lar bilan almashtirib,

munosabatni hosil qilamiz. Bunda , va xuddi shuningdek, , - kompleks qo‘shma juftlik uchun , ; haqiqiy uchun esa , deb olamiz. Agar birorta bo‘lsa, u holda topilib, funksiyalar chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Bu esa (5) xarakteristik tenglamani har xil ildizlariga mos keluvchi yechimlarining chiziqli bog‘lanmaganligiga zid. Shuning uchun barcha , bo‘lib, , … yechimlar chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi.

Shunday qilib (5) xarakteristik tenglamaning oddiy ildizlariga haqiqiy funksiyalardan tashkil topgan F. Y.S mavjud ekan. Xarakteristik tenglamaning har bir haqiqiy ildizlariga ko‘rinishdagi funksiyalar va uning qo‘shma kompleks , ildizlariga esa , ko‘rinishdagi funksiyalar (1) differensial tenglamaning F.Y.S ni tashkil qiladi.