2-ma’ruza. Xarakteristik forma. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differenial tenglamalarning klassifikatsiyasi va kanonik ko`rinishi

2-ma’ruza.

Xarakteristik forma. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali
differenial tenglamalarning klassifikatsiyasi va kanonik
ko`rinishi.

Reja:

1. 
   Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalarni kanonik ko‘rinishga keltirish va bu tenglamalarning turlari.
   
2. 
   Xarakteristik tenglama.
   
3. 
   O‘zgarmas koeffitsientli tenglamalar
   

Tayanch so’zlar: Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar, Xarakteristik tenglama

Biz va erkli o‘zgaruvchilarni teskari almashtirish natijasida, ya’ni

, (2.1)

berilgan chiziqli tenglamaga ekvivalent bo‘lgan va soddaroq ko‘rinishga ega bo‘lgan tenglamaga ega bo‘lishimiz mumkin. Haqiqatan va o‘zgaruvchilarni qanday tanlasak (1.3) tenglama soddaroq ko‘rinishga keladi degan savol tug‘iladi?

Buning uchun (1.3) tenglamada va erkli o‘zgaruvchilardan yangi va o‘zgaruvchilarga o‘tamiz:

(2.2)

(2.2) ifodalarni (1.3) tenglamaga keltirib qo‘yib, va o‘zgaruvchilarga nisbatan (1.3) tenglamaga ekvivalent bo‘lgan quyidagi tenglamani olamiz:

(2.3)

bu yerda

- funksiya ikkinchi tartibli xususiy hosilalarga bog‘liq emas. Agar (1.3) tenglama chiziqli bo‘lganda, ya’ni ko‘rinishda bo‘lganda, funksiya quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

(isbotlang).

(2.3) tenglama sodda ko‘rinishga ega bo‘lishi uchun va o‘zgaruvchilarni shunday tanlaymizki, koeffitsient nolga teng bo‘lsin. Buning uchun ushbu birinchi tartibli

(2.4)

xususiy hosilali tenglamani qaraymiz. Faraz qilamiz, - funksiya bu tenglamaning qandaydir xususiy yechimi bo‘lsin. Agar deb qabul qilsak, u holda bo‘ladi.

Demak, yuqorida bayon qilingan masalaning yechimi yangi erkli o‘zgaruvchilarga o‘tish masalasi (2.4) tenglamani yechishga bog‘liq ekan.

Quyidagi lemmalarini isbotlaymiz.

1-Lemma. Agar funksiya ushbu

(2.4)

tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda munosabat, quyidagi oddiy

(2.5)

differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.

Isbot. funksiya (2.4) tenglamaning yechimi bo‘lgani uchun, shu tenglamani qanoatlantirishi kerak va

(2.6)

tenglik ayniyatni ifodalaydi. Bu tenglik va o‘zgaradigan sohaning barcha qiymatlarida o‘rinli. munosabat (2.5) tenglamaning umumiy yechimi bo‘la oladi. - oshkormas munosabatdan aniqlansin, ya’ni faraz qilaylik bo‘lsin, u holda

oshkormas funksiyadan olingan to‘la differensial quyidagicha bo‘ladi:

bundan quyidagi tenglikni olamiz.

(2.7)

Bu tenglikda - erkli o‘zgaruvchi bo‘lmasdan va ga bog‘liq funksiyani ifodalaydi va uning qiymati ga teng bo‘ladi. Bundan esa funksiya (2.5) tenglamani qanoatlantirishi kelib chiqadi, chunki

kvadrat qavs ichidagi ifoda barcha va o‘zgaruvchilarning qiymatlarida nolga teng bo‘ladi. Shu bilan 1-lemma isbot bo‘ldi.

2-Lemma. Agar munosabat oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi bo‘lsa, u holda funksiya (2.4) tenglamani qanoatlantiradi.

Isbot. Faraz qilamiz, munosabat (2.5) tenglamaning umumiy yechimini ifodalasin.

(2.6`)

(2.6`) tenglama va ning barcha qiymatlarida o‘rinli ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilamiz, nuqta sohaning qandaydir nuqtasi bo‘lsin. Agar biz bu ixtiyoriy nuqtada (2.6`) tenglama o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatsak, u holda nuqta ixtiyoriy bo‘lganligi sababli, bu tenglama ayniyatga aylanishi kelib chiqadi va funksiya (2.6`) tenglamaning yechimi bo‘ladi. nuqtadan (2.5) tenglamaning integral egri chizigini o‘tkazamiz va faraz qilamiz, va , u holda bo‘ladi. Bu egri chiziqning barcha nuqtalari uchun esa,

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglikda deb olsak,

ayniyatga ega bo‘lamiz. Shu bilan ikkinchi lemma isbotlandi.