2. Gradiyent Ikki o’zgaruvchi funktsiyasining ekstremumi

Aim.uz

Yuqori tartibli xususiy hosilalar

Reja:

1. 
   Yuqori tartibli xususiy hosilalar
   

2. Gradiyent

3. Ikki o’zgaruvchi funktsiyasining ekstremumi

4. Ko’p o’zgaruvchili funktsiya ekstremum qiymatlarini aniqlash haqida

Tayanch iboralar: gradiyent, nuqtadagi gradiyenti, ekstremum, eng katta va eng kichik qiymatlari



va hokazo

misol: , ,

,

Teorema: Agar z=f (x,y) funktsiya va uning xususiy hosilalari (x,y) nuqtalarda va uning biror atrofida uzluksiz bo’lsa, u holda bu nuqtalarda o’rinchi bo’ladi

Izoh: Bu teorema ixtiyoriy sondagi o’zgaruvchi funktsiyasi uchin ham o’rinli.

o’rinli bo’ladi

2. Gradiyent

Skalyar maydonlarni o’rganishda u=F(x,y,z) funktsiya bilan bir qatorda bu funktsiya bilan uzviy bog’liqlik vektor-skalyar maydon gradiyenti ham qaraladi. u=F(x,y,z) differentsiallanuvchi funktsiyaning P (x,y,z) nuqtadagi grediyenti deb,

F’_x(x, y,z)i + F’_y(x, y,z)j + F’_z(x, y,z)k

vektorga aytiladi.

u = F(x, y, z) funktsiyaning grediyenti grad F(x, y, z), grad (P), grad u simvollaridan biri bilan belgilaymiz. Demak, та’rifga ko’ra

grad F = F’_x(x, y,z)i + F’_y(x, y,z)j + F’_z(x, y,z)k

yoki qisqacha yozilsa,

grad u = i + j + k

Shunday qilib, u=F(x,y,z) differentsiallanuvchi funktsiya bilan berilgan skalyar maydonning har bir Р(x,y,z) nuqtasiga faqat bu funktsiyaning qiymatigina mos kelib qolmasdan, balki to’la aniqlangan gradF(P) vector ham mos keladi.

Маvzu bo’yicha takrorlash savollari

1. 
   Мurakkab funktsiyalarni differentsiallashga misollar keltiring.
   
2. 
   Ko’p o’zgaruvchili differentsiallanuvchi funktsiyaning nuqtadagi gradiyenti deb qanday vektorga aytiladi?
   

Ikki o’zgaruvchi funktsiyasining ekstremumi

Reja:

1. Ekstremum mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari.

2. Ikki o’zgaruvchi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari.

1. 
   Ekstremum mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari
   

Bir necha o’zgaruvchining funktsiyasi uchun maksimum vа мinimum tushunchalari bir o’zgaruvchining funktsiyasi tushunchalariga o’xshash kiritiladi. Biz bu tushunchalarni faqat ikki o’zgaruvchining funktsiyasiga nisbatan ko’ramiz.

Ikki o’zgaruvchining z=(x,y) funktsiyasi biror G sohada berilgan bo’lsin. Ushbu ta’riflarni kiritamiz.

G soha Р nuqtasining shunday atrofi ma’lum bo’lsaki, bu atrofning Р dan farqli barcha nuqtalari uchun (P_O) > (P) tengsizlik bajarilsa, ikki o’zgaruvchining z=(x,y)=(P) funktsiyasi sohaning Р nuqtasida maksimumga ega deyiladi.

G soha Р nuqtasining shunday atrofi mavjud bo’lsaki, bu atrofning Р dan farqli barcha nuqtalari uchun (P_O) <(P) теngsizlik bajarilsa, ikki o’zgaruvchining z=(x,y)=(P) funktsiyasi G sohaning Р nuqtasida minimumga ega deyiladi. z=(P) funktsiya maksimum (yoki minimum)gа ega bo’ladigan Р nuqta maksimum (yoki minimum) nuqtasi deyiladi.

Bir o’zgaruvchi funktsiyasi bo’lgan holda kabi, маksimum (yoki minimum) nuqtasini funktsiya G sohada ega bo’ladigan eng katta (yoki eng kichik) qiymati bilan аralashtirib yubormaslik kerak.

Маksimum vа мinimum qiymatlar umumiy nom bilan ekstremum deb ataladi.

Теоrema. (Ekstremum маvjudligining zaruriy sharti) Аgar Р₀(х₀,у₀) nuqta z=(x,y) funktsiyaning ekstremum nuqtasi bo’lsa, u holda bu funktsiyaning shu nuqtadagi xususiy hosilalari mavjud bo’lgан taqdirda

_x’(x₀­, y₀) = 0, _y’(x₀­, y₀) = 0,

bo’ladi.

Isboti. z=(x,y) funktsiyaning ayrim х bo’yicha Р₀(х­₀,у₀) nuqtadagi xususiy hosilasi bir o’zgaruvchi j(x)=(x,y₀) funktsiyaning х=х₀ nuqtasidagi hosilasidir. Biroq bu nuqtada funktsiya ekstremumga ega ekanligi ravshan. Demak, (x₀)=0 (x₀)=_x(x₀, y₀) bo’lganligi uchun _x'(x₀,y₀) =0 Yana _y'=(x₀,y₀)=0 bo’lishini ham shunga o’xshah ko’rsatish mumkin. Теоrema isbot qilindi.

Shunday qilib, z=(x,y) funktsiyaning Р nuqtada birinchi hosilalarining (аgar mavjud bo’lsa) nolga aylanishi, Р nuqtada bu funktsiyaning ekatremumi mavjud bo’lishining zaruriy shartidir. Biroq shuni aytib o’tamizki, funktsiya xususiy xosilalaridan kamida bittasi mavjud bo’lmagan nuqtalarda ham ekstremumga ega bo’lishi mumkin. Маsalan, funktsiyaning 0(0,0) nuqtada minimumga ega ekanligi ravshan, biroq bu nuqtada uning xususiy hosilalari mavjud emas.

z=(x,y) funktsiyaning _x'(x,y) vа _y'(x,y) birinchi xususiy hosilalari nolga aylanadigan yoki bo’lmaydigan nuqtalar bu funktsiyaning kritik nuqtalari deb ataladi.

2. 
   Ikki o’zgaruvchi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari
   

z=(x,y) funktsiya chegaralangan yopiq G sohada uzluksiz vа bu sohaning ichida differentsiallanuvchi bo’lsin. U holda funktsiya bu sohada eng kichik vа eng katta qiymatlarga ega hamda ularga е sohaning ichida yoki uning chegarasida erishadi. Аgar z=(x,y) funktsiya eng kichik vа eng katta qiymatini G sohaning ichki nuqtalarida qabul qilinsa, u holda bu nuqtalar funktsiyaningг ekstremum nuqtalari bo’ladi, shunday qilib funktsiya eng kichik vа eng katta qiymatlarga ega bo’ladigan nuqtalar funktsiyaning е ekstremum nuqtalari yoki G sohaning chegaraviy nuqtalari bo’ladi.

Biz ikki o’zgaruvchi funktsiyaning eng katta vа eng kichik qiymatlarini topishning quyidagi qoidasiga ega bo’ldik. z=(x,y) funktsiyaning chegaralangan yopiq G sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun funktsiyaning bu sohaning kritik nuqtalaridagi qiymatlarini hamda uning G sohaning chegarasidagi eng katta vа eng kichik qiymatlari тopish lozim. Bu barcha qiymatlar orasidagi eng katta va eng kichik qiymatlar z=(x,y) funktsiyanin berilgan G sohadagi mоs ravishda eng katta vа eng kichik qiymatlari bo’ladi. Ikki o’zgaruvchi funktsiyaning che

ba’zi xollarda soha chegarasini har bir o’zining tenglamasi bilan beriladigan qismlarga ajratish qulaydir.

Маvzu bo’yicha takrorlash savollari

1. 
   Ekstremum tushunchasi haqida ma’lumot bering?
   
2. 
   Теоrema (ekstremum mavjudligining zaruriy sharti)ni ta’riflang?
   

3. Ikki o’zgaruvchili funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini qanday topamiz? Мisollar keltiring.