Айырым иррационал функцияларды интеграллаў 10. көринисиндеги интегралларды есаплаў

Айырым иррационал функцияларды интеграллаў


1⁰. көринисиндеги интегралларды есаплаў. Мейли еки өзгериўшиниң рационал функциясы болып, лар ҳақыйқый санлар, болсын.



көринисндеги интегралларды қараймыз. Бул интеграл өзгериўшини алмастырыў жәрдеминде рационал функцияның интегралына келеди:

.
1-мысал.

интегралды есаплаң.
◄Бул интегралда

алмастырўын орынлаймыз. Онда

болып,

болады.
Буннан,
.
Демек,
►
2⁰. көринисиндеги интегралларды есаплаў. Бул интегралда -ҳақыйқый санлар болып, онда квадрат үшағзалыға тең коренлерге ийе емес.
Қаралып атырған
(1)
интеграл төмендеги үш алмастырыў жәрдеминде рационал функция интеграллаўға келеди.
а) болсын.
(1) интегралда бул
(ёки )
алмасытырыўын орынлаймыз. Бул жағдайда
,
,

болады.
Нәтийжеде


болады.
2-мысал. Төмендеги

интегралды есаплаң.
◄ Бул интегралда

алмастырыўын орынлаймыз. Нәтийжеде

болса, онда

болады.
Егер

болыўын итибарға алсак, онда


болыўы келип шығады. ►
б) болсын. Бул жағдайда (1) интегралда

ямаса

алмасытырыўын орынлаймыз. Онда


болып, (1) интеграл рационал функцияның интегралына келеди:

в) квадрат үшағзалыны ҳәр қыйлы ҳәм ҳақыйқый коренлерге ийе болсын:
.
Бул жағдайда (1) интегралда

алмастырыўды орынлаймыз. Нәтийжеде


болса, онда


болады.
3-мысал. Төмендеги

интегралды есаплаң.
◄ Буннан,
.
Усыны итибарға алып берилген интегралда

алмастырыўын орынлаймыз. Бул жағдайда

болса, онда

болады.
Енди

болыўын итибарға алып табамыз,
. ►
3⁰. Биномиал дифференциалды интеграллаў.

аңлатпа биномиал дифференциал делинеди, бунда -рационал санлар.
Биномиал дифференциалдың интегралы
(2)
ны қараймыз. Бул интеграл төмендеги жағдайларда рационал функцияның интегралына келеди:
1) -пүтин сан. Бул жағдайда ҳәм рационал санлар бөлимлериниң ең киши улыўма еселисин арқалы белгилеп, (2) интегралда

алмастырыў орынланса, (2) интеграл рационал функцияның интегралына келеди.
4-мысал. Төмендеги

интегралды есаплаң.
◄ Бул интегралды төмендегише

жазып, бунда болыўын анықлаймыз.
Интегралда

алмастырыў орынланып

болыўын табамыз.
Буннан,
.
Демек,

болса, онда

болады. ►

2. 
   - пүтин сан. Бул жағдайда (2) интегралда
   

алмастырыўды орынлап

болыўын табамыз, бунда
.
Соң диң бөлимин деп

алмастырыўын орынлаймыз. Нәтийжеде (2) интеграл рационал функцияның интегралына келеди.
5-мысал.

интегралды есаплаң.
◄ Бул интегралда


болып,

болады.
Усыны итибарға алып, берилген интегралда,

алмастырыўын орынлаймыз. Онда

болып,

болады. ►
3) - пүтин сан. Буннан, (2) интеграл алмастырыў менен

көриниске келеди.
Егер кейинги интегралда

алмастырыў орынланса ( саны ниң бөлими), ол рационал функцияның интегралына келеди.
6-мысал. Төмендеги

интегралды есаплаң.
◄ Буннан,
.
Демек,

болса, онда -пүтин сан болады.
Берилген интегралда

алмастырыўды орынлап,


болыўын табамыз. ►