15-mavzu: Energetik sathlar. Bosh kvant soni, orbital kvant soni va magnit kvant soni Umumlashgan Lagerr polinomlari Reja

15-mavzu: Energetik sathlar. Bosh kvant soni, orbital kvant soni va magnit kvant soni Umumlashgan Lagerr polinomlari
Reja

1. 
   Energetik sathlar.
   
2. 
   Bosh kvant soni, orbital kvant soni va magnit kvant soni
   
3. 
   Umumlashgan Lagerr polinomlari
   

Vodorod atomining oddiylashtirilgan modelini tahlil qilish uchun Shredinger tenglamasidan foydalanildi. Bunday tahlilning birinchi natijasi sifatida bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan uchta to‘lqin tenglamalari tizimi hosil qilindi. Har bir tenglamaga sferik qutb koordinatalar tizimidagi uchta o‘zgaruvchidan (r,,) bittasining funksiyasi kiradi. So‘ng bog‘langan holatlar uchun (elektronning to‘liq energiyasi potensial energetik to‘siqning balandligidan kichik ya’ni E_to‘lU(r) bo‘lgan holda) uchta kvantlangan doimiyliklar (n,ℓ,m_ℓ) hosil qilindi. Bu doimiyliklar vodorod atomi uchun Bor nazariyasidagi kabi kvant sonlar deb ataldi.

Sferik koordinatalar sistemasida vodorod atomi uchun yozilgan Shredinger tenglamasining yechimi uchta kvant sonlari n, ℓ, m_ℓ ga bog‘liq bo‘lib, quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
,
n, e, m_e kvant sonlari R_ne, va _m funksiyalarning holatini aniqlaydi. Kvant sonlarining ma’nosini ko‘rib chiqaylik. Birinchi kvant son n – bosh kvant son deyiladi. Bosh kvant son n vodorod atomida bog‘langan holatlar uchun energiyaning elektron ega bo‘lishi mumkin bo‘lgan diskret xususiy qiymatlarini aniqlaydi. Buni quyidagi formulada ko‘rish mumkin:
,
bunda n – bosh kvant son bo‘lib, birdan boshlanadigan musbat butun sonlarni qabul qiladi:
n=1, 2, 3, …
Ikkinchi kvant son ℓ – orbital kvant son deyiladi. Orbital kvant son yordamida elektron ega bo‘la oladigan impuls momenti L ning diskret qiymatlarini quyidagi formula orqali ifodalash mumkin:
.
Orbital kvant son – ℓ 0 dan n–1 gacha butun musbat sonlarni qabul qiladi, ya’ni
ℓ=0, 1, 2, 3,…, n–1.
Bor nazariyasida elektron proton atrofida orbita bo‘ylab harakatlanayotgan zarra deb qaraladi, atom tizimida kvantlash sharoitini yaratish uchun elektronning impuls momentini kvantlash qoidasi kiritilgan. Endi kvant mexanikasi asosida impuls momenti uchun kvantlash munosabatlarini topish kerak. Buning uchun yuqorida qaralgan radial to‘lqin tenglamasida potensial energiyani U(r) bilan belgilab quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
,
bu formulada radial funksiya R ga ko‘paytirilgan qavs ichidagi uchta had ham energiya o‘lchov birligiga ega bo‘lishi kerak. Bu tenglamani ga nisbatan yechimidan quyidagi ifoda hosil bo‘ladi:
.
Bu formulada K – kinetik energiya, P – impuls. Radiusning impulsga ko‘paytmasi impuls momenti L ga teng, shuning uchun quyidagi ifodani yozish mumkin bo‘ladi:
,
vodorod atomida bog‘langan holatlarda bo‘lgan elektronning kvantlangan orbital impuls momentini bildiradi. Demak, orbital kvant son ℓ elektron ega bo‘lishi mumkin bo‘lgan impuls momentining diskret qiymatlarini aniqlaydi.
Orbital kvant soni ℓ nol qiymatga ega bo‘lishi mumkinligi ko‘rsatildi. Bor nazariyasida impuls momenti nol bo‘lgan holat bo‘lishi man qilinadi. Shredinger nazariyasida esa impuls momenti nol bo‘lgan holat bo‘lishi mumkin. Bor modelida impuls momentining kvantlash shartiga juda o‘xshashdir. Bor nazariyasida
,
bunda n – yadro atrofida orbita bo‘ylab harakatlanayotgan elektron uchun to‘liq kvant sonini ifodalaydi:
n=1, 2, 3, …
Orbital kvant soni – ℓ to‘liq to‘lqin funksiyasining koordinata boshi atrofida turli yo‘nalishda taqsimlangan qismini aniqlaydigan sferik garmonik funksiyalar xossalaridan hosil bo‘ladi.
ℓ ning katta qiymatlarida quyidagi ko‘rinishga keladi:
,
Bu esa Bor postulatiga o‘xshashdir:
.
Atom spektrlarini o‘rganishda optik spektroskopiyada ℓ ning har bir son qiymati elektron holatlarni aniqlaydigan kichik lotin harflari bilan quyidagicha belgilanadi (1-jadval).
1-jadval

ℓ ning qiymatlari	0	1	2	3	4
Holatlar belgisi	s	p	d	f	g

Bunday belgilashlarga asosan agar ℓ=0 bo‘lsa, s-elektronlar, ℓ=1 bo‘lsa, p-elektronlar, ℓ=2 bo‘lsa, d-elektronlar va hokazo deb yuritiladi. Elektronning holati kvant sonlari bilan quyidagicha ko‘rsatiladi: n=1, ℓ=0 da 1s holat, n=2, ℓ=1 da 2p holat, n=3, ℓ=2 3d holat va hokazo. ℓ=0 bo‘lgan s holat elektronning impuls momenti nol bo‘lgan holatdir. Bunday holatda vodorod atomi uchun bo‘lgan uchta to‘lqin funksiyasidan faqat bitta radial to‘lqin funksiyasi qoladi. Shuning uchun atom tizimi qutb  va azimut  burchaklarga bog‘liq bo‘lmaydi. Bu vaqtda tizim sferik-simmetrik bo‘ladi. Lekin ℓ noldan farqli qiymatlarni ham qabul qilgani uchun to‘liq to‘lqin funksiyasi sferik simmetriyaga ega bo‘lmaydi va sistema impuls momentiga ega bo‘ladi.
Uchinchi kvant son m_ℓ – orbital magnit kvant soni deyiladi. _m() funksiya z o‘qi atrofida yuguruvchi de-Broyl to‘lqinini ifodalaydi. Orbital magnit kvant soni esa orbital impuls momenti L ning z o‘qiga proyeksiyasini aniqlaydi, ya’ni
.
Bu formula impuls momentining z o‘qiga mumkin bo‘lgan proyeksiyalarini aniqlaydi.
Shredinger to‘lqin mexanikasida magnit kvant soni m_ℓ ning qanday fizik ma’noga ega ekanligini quyidagicha tushunish mumkin. Buning uchun impuls momenti operatori kiritiladi, bu operator sferik koordinatalar tizimida quyidagi ko‘rinishga ega:
.
Klassik mexanikada zarraning impuls momenti vektor tenglama orqali aniqlanadi:
.
Bunda – zarraning koordinata boshiga nisbatan holatini aniqlovchi radius-vektor, – zarraning impulsi, to‘g‘ri burchakli koordinatalar tizimida z o‘qidagi komponenta quyidagi tenglama orqali aniqlanadi:
,
Bunda P_y va P_x lar impuls ning y va x o‘qlari bo‘ylab komponentalari. Impulsning bu komponentalarini kvant mexanikasidagi tegishli operatorlar bilan almashtiramiz:
,
Bu tenglama to‘g‘ri burchakli koordinatalar tizimida z komponenta uchun impuls momenti operatorini ifodalaydi. Bu ifodada koordinatalarni o‘zgartirib, sferik qutb koordinatalar tizimida quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
,
Bu ifoda impuls momenti operatorini ifodalaydi. To‘lqin funksiyasiga tatbiq qilingan impuls momenti operatori impuls momenti z komponentalari holatlarining tizimini aniqlaydi (impuls momenti z komponentalarining xususiy qiymatini):
.
Bu tenglamaning yechimi quyidagi ko‘rinishda:
,
Bunda  funksiya uzluksiz, bir qiymatli va azimut burchagi  bo‘yicha 2 davrga ega bo‘lishi kerak. Bu esa


bo‘lishini ko‘rsatadi.
m doimiylik orbital magnit kvant soni m_ℓ ni ifodalaydi. m_ℓ ning qiymatlari (6.14a) ifodada keltirilgan, ya’ni
m_ℓ=0,1,2,3,…, ℓ.
L_z ning xususiy qiymatlari bilan bog‘liq bo‘lgan xususiy funksiyalar
,
formula orqali aniqlanadi.
Bunda A – doimiylik bo‘lib, uning qiymati quyidagi normalash shartidan topiladi:
,
 – xususiy funksiyalar azimutal tenglamaning yechimi sifatida Bu xususiy funksiyalar impuls orbital momenti z komponentalarining mumkin bo‘lgan qiymatlariga tegishlidir, ya’ni:
.
Bor nazariyasidagi cheklashlardan biri impuls momenti nol bo‘lgan holatning bo‘lishi mumkinligi tan olinmaydi: ikkinchi cheklashda esa L ning kvantlanishi pospulat sifatida qaralgan, lekin Shredinger ta’rifida L ning kvantlanishi to‘lqin tenglamasining natijasi va sferik garmonik ko‘rinishidagi yechim xossalaridan kelib chiqadi.
Nazorat savollari

1. 
   Energetik sathlari haqida ma’lumot bering
   
2. 
   Bosh kvant soni haqida ma’lumot bering
   
3. 
   Orbital kvant soni haqida ma’lumot bering
   
4. 
   Magnit kvant soni haqida ma’lumot bering
   
5. 
   Umumlashgan Lagerr polinomlari i haqida ma’lumot bering
   
6. 
   Shredinger to‘lqin mexanikasida magnit kvant soni m_ℓ ning qanday fizik ma’noga ega