13-Amaliy mashg’ulot Ishoralari navbatlashuvchi va o’zgaruvchan ishorali sonli qatorlar. Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar. Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar

---

13-Amaliy mashg’ulot 

Ishoralari navbatlashuvchi va o’zgaruvchan ishorali sonli qatorlar.  Absolyut va 

shartli yaqinlashuvchi qatorlar. 

Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar. Quyidagi  

 

 

   

 

   

 

   

 

      (  )

   

 

 

       

 

   

(  )

   

 

 

                   (1) 

ko’rinishdagi  qatorlarga  ishoralari  navbatlashuvchi  qatorlar  deb  ataladi,  bu  yerda   

 

, 

 

 

, 

 

 

,… musbat sonlar. 

 

1-Teorema (Leybnis alomati). Agar 

 

1)  Qator  hadlarining  absolyut  qiymatlari  ketma-ketligi  monoton  kamaysa,  ya’ni 

 

 

   

 

   

 

       

 

   ; 

 

2) Umumiy had nolga intilsa: 

   

   

 

 

   ,  

u holda (1) qator yaqinlashadi va bunda qatorning 

  yig’indisi 

         

 

                                                                      (2) 

tengsizliklarni qanoatlantiradi. 

1-Misol. 

 

 

   

(  )

   

 

√

 

 

 qator yaqinlashishini tekshiring.

 

Berilgan qator Leybnis teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi: 

   

 

√ 

 

 

 

√ 

 

     

 

√ 

 

    

   

   

 

√ 

 

     

 Shuning uchun u yaqinlashuvchi.  

2-Misol. 

 

 

   

(  )

   

   

 

 qator yaqinlashishini tekshiring.

 

Berilgan qator uchun Leybnis teoramasining 1-sharti bajariladi: 

   

 

 

 

 

 

     

     

 

    

Biroq  teoremaning  2-sharti  bajarilmaydi.  Shuning  uchun  bu  qatorga  Leybnis 

teoremasini  qo’lab  bo’lmaydi.  Bu  qator  uchun  qator  yaqinlashishing  zaruriy  sharti 

bajarilmaydi: 

   

   

(  )

   

     

 

     

Shuning uchun berilgan qator uzoqlashuvchi. 

O’zgaruvchan ishorali qatorlar. Cheksiz ko’p manfiy va cheksiz ko’p musbat 

hadlardan iborat 

 

 

   

 

 

 qatorga o’zgaruvchan ishorali qator deb ataymiz 

 

2-Teorema. O’zgaruvchan ishorali 

 

 

   

 

       

 

                                                         (3) 

qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan 

| 

 

|   | 

 

|       | 

 

|                                                       (4) 

qator yaqinlashsa, berilgan (3) qatorning o’zi ham yaqinlashadi.

 

 

(3) qatorning yaqinashuvchi bo’lishligidan (4) qatorning ham yaqinlashishi kelib 

chiqmaydi. 

---

3-Misol. 

 

 

   

(  )

   

 

√

 

  qator yaqinkashishini tekshiring. 

Ishoralari  navbatlashuvchi  bu  qator  Leybnis  teoramasining  barcha  shartlarini 

qanoatlantiradi.  Shu  sababli  u  yaqinlashadi.  Biroq  bu  qator  hadlarining  absolyut 

qiymatlaridan  tuzilgan 

   

 

√ 

 

 

√ 

       

 

   

 

√ 

  qator  uzoqlashishini  Koshining 

integral  alomati  bilan  isbotlaymiz: 

 ( )     √   deb  olamiz.  Bu  funksiya  integral 

alomatning barcha shartlarini qanoatlantiradi va uning xosmas integrali uzoqlashuvchi: 

 

 

 

 

√ 

        

   

 

 

 

 

√ 

        

   

 √ |

 

 

       

   

(√     )      

Shuning  uchun  berilgan  qator  hadlarining  absolyut  qiymatlaridan  tuzilgan  qator 

uzoqlashuvchi. 

Sonli qatorlarning absolyut va shartli yaqinlashishsi. 

1-Ta’rif. O’zgaruvchan ishorali qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan 

qator yaqinlashsa, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi. 

2-Ta’rif.  O’zgaruvchan  ishorali  qatorning  o’zi  yaqinlashib, bu  qator hadlarining 

absolyut  qiymatlaridan  tuzilgan  qator  esa  uzoqlashsa,  berilgan  qator  shartli 

yaqinlashuvchi deyiladi.  

 

3-Teorema  (Dirixle).  Agar  qator  absolyut  yaqinlashuvchi  va  uning  yig’indisi 

  

ga  teng  bo’lsa,  bu  qator  hadlarining  o’rinini  almashtirishdan  hosil  bo’lgan  qator  ham 

yaqinlashadi va yigindisi 

  ga teng bo’ladi. 

4-Teorema  (Riman).  Agar  qator  shartli  yaqinlashsa,  oldindan  berilgan 

   son 

qanday  bo’lishidan  qat’iy  nazar  qator  hadlarining  o’rnini  shunday  almashtirish 

mumkinki, natijada hosil bo’lgan qatorning yig’indisi ana shu   soniga teng bo’ladi. 

4-Misol. 

 

 

   

(  )

   

 

    

  qatorni absolyut va shartli yaqinlashishga tekshiring.  

Leybnis teoremasiga ko’ra bu qator yaqinlashuvchi, chunki 

 

 

 

 

 

 

 

  

     

 

      

     

   

   

 

      

     

Qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan 

 

 

   

 

    

 

qator uzoqlashuvchi, 

chunki ushbu 

 ( )  

 

      

   

 

 

 

      

        

   

 

 

 

 

      

        

   

 

 

  (      )|

 

 

  

 

 

 

   

   

(  (      )       )     

xosmas integral uzoqlashuvchi. Shuning uchun berilgan qator shartli yaqinlashuvchi. 

5-Misol. 

 

 

   

(  )

 

 √ 

  qatorni absolyut va shartli yaqinlashishga tekshiring. 

Leybnis teoramasiga ko’ra bu qator yaqinlashuvchi: 

---

 

 

 

 

 √ 

 

 

 √ 

     

 

 √ 

     

   

   

 

 √ 

     

Qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan 

 

 

   

 

 √ 

 

qator ham Koshining integral alomatiga ko’ra yaqinlashuvchi: 

 ( )  

 

 √ 

   

 

 

 

 √ 

        

   

 

 

 

 

 

   

          

   

 

√ 

|

 

 

     

   

(   

 

√ 

)      

6-Misol. 

 

 

   

(  )

 

 

    

  qatorni absolyut va shartli yaqinlashishga tekshiring. 

 

Bu qator absolyut ham, shartli ham yaqinlashmaydi. Chunki uning umumiy hadi 

nolga intilmaydi, ya’ni qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi: 

   

   

(  )

 

 

      

     

to’grirog’i bu limit mavjud emas. 

Misollar. 

Quyidagi  ishoralari  navbatlashuvchi  qatorlarning  yaqinlashishini  Leybnis 

alomatiga ko’ra tekshiring: 

    

 

 

 

     

     

 

         

         

      (  )

   

                (      )

                (      )

    

    

 

   

(  )

 

    

 

        

 

   

(  )

 

 

       (       )

 

         

 

   

(  )

   

 

 

 

  

Quyidagi qatorlarni  absolyut va shartli yaqinlashishga tekshiring. 

    

 

   

(  )

   

 

 

 

 

       

 

   

(  )

 

 

        

       

 

   

      

 

 

       

 

   

(  )

   

 

 

 

  

  

    

 

   

      

(    )