Maruzaqa qo`yilgan savollar: Markov jarayonlari qanday jarayon?
Markov zanjiri nima?
Markov jarayonlari - tabiatshunoslik va texnikaning turli sohalarida tatbiq qilinadigan tasodifiy jarayonlar. Radioaktiv moddaning parchalanish jarayoni unga misol boʻladi. Biror sistemaning so, holatdan a holatga oʻtish ehtimoli P.. (t) faqat t ga bogʻliq boʻlib, jarayonning oʻtishiga bogʻliq boʻlmasa, bunday jarayon Markov jarayoni deyiladi. Yuqoridagi shart Markov jarayonlarini matematika usullari bilan toʻla tekshirishga imkon beradi. Mas, radioaktiv moddaning parchalanishida har bir atomning cheksiz kichik dt vaqt oraligʻida parchalanish ehtimoli adt ga teng boʻlib, u boshqa atomlarga bogʻliq emas (parchalanish jadalligi a modda turiga bogʻliq koeffitsiyent). Markov jarayonlari nazariyasi A. A. Markov tadqiqotlari asosida yuzaga kelgan (1907), 1930-yilda A. N. Kolmogorov oʻrgana boshlagan. Markov jarayonlari nazariyasining rivojlanishi va tatbiqiga T. A. Sarimsoqov, S. H. Sirojiddinov katta hissa koʻshgan.[1]
E va A belgilari qo'yilgan ikki holatli Markov jarayonini aks ettiruvchi diagramma. Har bir son Markov jarayonining o'qdan ko'rsatilgan yo'nalish bilan bir holatdan ikkinchi holatga o'tish ehtimolini aks ettiradi. Masalan, agar Markov jarayoni A holatida bo'lsa, u holda uning E holatiga o'tish ehtimoli 0,4 ga teng, A holatida qolish ehtimoli esa 0,6 ga teng.
Markov zanjiri nima? Tasodifiy o'zgaruvchilar va tasodifiy jarayonlar Markov zanjirlari kontseptsiyasini kiritishdan oldin, ehtimollik nazariyasining asosiy, ammo muhim tushunchalarini qisqacha eslaylik. Birinchidan, oddiy tushuntirishda (matematika tilidan tashqarida) tasodifiy X tasodifiy hodisaning natijasi bilan belgilanadigan qiymat hisoblanadi.
Bernulli: Xodisalarni sodir bo`lisi va extimilligi tushunchsini kiritadi. Unga asosan sinovlar soni ortib borishi bilan oq va qora toshlarni soni ularni nisbablariga yaqinlashib boradi degan nazariyani ilgari suradi. Fanda bu katta sonlarni saif sifati deb ma`lum. U shunday xulosalaydu: barcha xodisalarni cheksiz kuzatishda davom ettirilsa dunyodagi barcha narsalarni aniq nisbatlari va doimiy o`zgarish qonuni bilan boshqarilisini sezish mumkin bo`ladi. Bunda o`rtacha qiymat va undan chetlanishlardan iborat taqsimot qonuniga rioya qilinai degan ekan.
Bu Nekrasovga yo`qmaydi, u mustaqil xodisalar katta sonlar qonunining zaruriy sharti xisoblanadi dedan mashxur g`oyani ilgari suradi. Avvalgi xodisalarning natijasi xozir yoki keying sodir bo`ladigan xodisalarni o`zgartirmaydi biroq moddiy olamda ko`p narsalar avval keladigan xodisalarnining natijasiga bog`liqligini tushunamiz. Masalan, olov yoki quyoshni paydo bo`lishi xatto xayotimizni davomiyligi xam. Qandaydir xodisaning extimoli undan avval keladigan xodisaga bogliq yoki u tufayli sodir bo`lgan xolatda biz ularni bog`liq xodisalar yoki bog`liq o`zgaruvchlar deb ataymiz. Bu fikr Markovga yoqmaydi. Markov aqlli konstruksiyadan foydalanadi. U Bernulli erishgan natigalarni bog`liq o`zgaruvchlarga qo`llaydi. U bir xodisa qisqa muddatli xotiraga ega bo`ladi deydi. Biz buni ikkita idishdan iborat gipotezik mashina yordamida tassvirlashimiz mumkin.Ikkita idish ikkita xolatni ifodalaydi. Birinchi xolatda bizda oq va qora marjonlarning 50 ga 50 aralashmasi mavzud. 2-xolatda esa oqlarga nisbatan qora marjonlar soni ko`proq. Diror idishni biz 0 xolat deb atshimiz mumkin. U o`zidan oldingi sodir bo`lgan qora rangli marjonni ifodalaydi. Boshqa idishni esa 1 ataymiz . U o`zidan avval sodir bo`lgan oq rangli marjonni ifodalaydi. Mashinani ishga tushirish uchun biz shunchaki tasodifiy xolatni tanlab, u erlan tanlovni amalga oshitamiz. Keyin biz ushbu xodisaga bog`liq ravishda 0 yoki 1 xolatga o`tamiz. Tanlovga asoslanib agar u qora bo`lsa 0 va oq bo`lsa 1 ni natija qilib chiqaramiz. Ikki xolatga ega ushbu mashina yordamida 4 ta extimolli o`tishni kuzatish mumkin. Agar 0-xolatda bo`lib qora rangni tanlansa biz yana o`sha xolatga qaytamiz va yana boshidan tanlaymiz. Agar oq marjon tanlansa biz birinchi xolatga o`tamiz. Birinchi xolatda bo`lganimizda xam sikl xosil bo`lishi mumkin. Agar qora marjon tanlansa 0 –xolatga qaytishimiz mumkin. Bu erda oq va qora ranglarni tanlanish extimolligi bog`liqsiz emas , chunki u oldingi natijaga tayanadi.
Lekin Markov masinadagi xar bir xolat o`z o`rnida ketma ket tushirilganda muvozanatga erishish mumkinligini isbotlaydi, yani qaerdan boshlanishidan qat`iy nazar ketma ketlikni boshlashimiz bilan, xar bir xolat sodir bo`lish miqdori ma`lum nisbatga yoki extimollikka kelib birlahsadi. Bu nazariya Nekrasovning faqatgina bog`liqsiz xodisalar oldindan yatish mumkin bo`lgan taqsimlanishga birlashisi to`g`risidagi fikrni rad etadi. Lekin xolatlar o`rtasida xolat va o`tishlardan foydalanib, tasodifiy xodisalar ketma ketligini modellashtirish konsepsiyasi Markov zanjiri sifatida mashxur bo`ldi.
Rasm. Markov tajribasini misol tariqasidagi ko`rinishi
