10. Funksiyaning monotonligi



Download 0.9 Mb.
Sana08.09.2021
Hajmi0.9 Mb.

Hosilaning tadbiqlari.

10. Funksiyaning monotonligi. Faraz qilaylik, f x( ) funksiya (a b, ) da

( ) berilgan bо‘lsin.

Ma’lumki,

x x1, 2 (a b, ), uchun x1 x2 f x( )1 f x( ) ( ( )2 f x1 f x( ))2 bо‘lsa, f x( ) funksiya (a b, ) da о‘suvchi (qat’iy о‘suvchi), x x1, 2 (a b, ) uchun x1 x2 f x( )1 f x( ) ( ( )2 f x1 f x( ))2 bо‘lsa, f x( ) funksiya (a b, ) da kamayuvchi (qat’iy kamayuvchi) deyiladi.

1 -teorema. Aytaylik, f x( ) funksiya (a b, ) da berilgan bо‘lib, x (a b, ) da f x( ) hosilaga ega bо‘lsin.

f x( ) funksiyaning (a b, ) da о‘suvchi bо‘lishi uchun x (a b, ) da f x( ) 0

bо‘lishi zarur va yetarli.



Zarurligi. f x( ) funksiya (a b, ) da о‘suvchi bо‘lsin. Unda 0 bо‘lganda

f x( x) f x( ) 0

bо‘ladi. Hosila ta’rifidan foydalnib topamiz:

f x( ) f x( 0) limx 0 f x( xx) f x( ) 0.



Yetarliligi. Aytaylik, x (a b, ) da f x( ) mavjud bо‘lib, f x( ) 0bо‘lsin. [x x1, 2 ] da (x x1, 2 (a b, ), x1 x2) f x( ) funksiyaga Lagranj teoremasini qо‘llab topamiz: f x( )2 f x( )1 f c( ) (x2 x1) 0. Demak, x1 x2 f x( )1 f x( )2 , f x( ) о‘suvchi. ►

Xuddi shunga о‘xshash, quyidagi teorema isbotlanadi.



2-teorema. Faraz qilaylik, f x( ) funksiya (a b, ) da berilgan bо‘lib, x (a b, ) da f x( ) hosilaga ega bо‘lsin. f x( ) funksiya (a b, ) da kamayuvchi bо‘lishi uchun x (a b, ) da

f x( ) 0

bо‘lishi zarur va yetarli.

Shuningdek quyidagi teoremalarni isbotlash qiyin emas.

3-teorema. f x( ) funksiya (a b, ) da berilgan bо‘lib, x (a b, ) da f x( ) hosilaga ega bо‘lsin. f x( ) funksiyaning (a b, ) da qat’iy о‘suvchi bо‘lishi uchun


  1. x (a b, ) da f x( ) 0.

  2. x ( , ) da f x( ) 0 tenglik bajariladigan ( , ) (a b, ) intervalning mavjud bо‘lmaslik shartlarining bajarilishi zarur va yetarli.

4-teorema. f x( ) funksiya (a b, ) da berilgan bо‘lib, x (a b, ) da f x( ) hosilaga ega bо‘lsin. f x( ) funksiyaning (a b, ) da qat’iy kamayuvchi bо‘lishi uchun

  1. x (a b, ) da f x( ) 0,

  2. x ( , ) da f x( ) 0

tenglik bajariladigan ( , ) (a b, ) intervalning mavjud bо‘lmasligi shartlarining bajarilishi zarur va yetarli.

Demak, (a b, ) da



f x( ) 0 f x( ) о‘suvchi f x( ) 0, f x( ) 0 f x( ) kamayuvchi f x( ) 0, f x( ) 0 f x( ) qat’iy о‘suvchi f x( ) 0, f x( ) 0 f x( ) qat’iy kamayuvchi f x( ) 0

bо‘ladi.

1-misol. Ushbu f x( ) funksiyaning о‘suvchi, kamayuvchi bо‘lish oraliqlari topilsin. ◄Ravshanki,

f x( ) x 2 (2x xln2)

bо‘ladi.

Ushbu f x( ) da о‘rinli bо‘ladi.

Demak, f x( ) funksiya x ) da kamayuvchi bо‘ladi.



2 0. Funksiyaning ekstremumlari. Faraz qilaylik, f x( ) funksiya X R tо‘plamda berilgan bо‘lib, x0 X bо‘lsin.

1-ta’rif. Agar shunday 0 son topilsaki, x U x( )0 (x0 ,x0 ) X nuqtalarda f x( ) f x( )0 f x( ) f x( )0 tengsizlik bajarilsa, f x( ) funksiya x0 nuqtada maksimumga (minimumga) erishadi deyiladi, x0 nuqtaga esa f x( ) funksiya-ning maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi.

2-ta’rif. Agar shunday 0 son topilsaki, x U x( )0 \{ }x0 U x( )0 X nuqtalarda f x( ) f x( )0 f x( ) f x( )0 tengsizlik bajarilsa, f x( ) funksiya x0 nuqtada qat’iy maksimumga

(qat’iy minimumga) erishadi deyiladi,

Funksiyaning maksimum hamda minimumi umumiy nom bilan uning ekstremumlari, maksimum hamda minimum nuqtalari esa uning ekstremum nuqtalari deyiladi.

5 -teorema. Faraz qilaylik, f x( ) funksiya X R tо‘plamda berilgan bо‘lib, x0 X

nuqtada ekstremumga erishsin.



A gar f x( ) funksiya x0 nuqtada f x( )0 hosilaga ega bо‘lsa, u holda f x( )0 0 bо‘ladi. ◄Aytaylik, f x( ) funksiya x0 nuqtada maksimumga erishib, shu nuqtada hosilaga ega

b о‘lsin. U holda 0 : x U x( )0 X da f x( ) f x( )0 bо‘ladi. (x0 ,x0 ) intervalda f x( ) funksiyaga Ferma teoremasini qо‘llab topamiz: f x( )0 0.►

3-ta’rif. Funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqta uning stansionar (kritik) nuqtasi deyiladi.

Eslatma. Agar f x( ) funksiya biror nuqtada ekstre-mumga erishsa, u shu nuqtada hosilaga ega bо‘lishi shart emas.

M asalan, f x( ) x funksiya x0 0 nuqtada minimumga erishadi, biroq u shu nuqtada hosilaga ega emas.

Demak, f x( ) funksiyaning ekstremum nuqtalari uning statsionar hamda hosilasi mavjud bо‘lmagan nuqtalari bо‘lishi mumkin.



4-ta’rif. Agar shunday 0 son topilsaki, x (x0 ,x0) da g x( ) 0yoki x (x0 ,x0) dag x( ) 0 bо‘lsa, g x( ) funksiya x0 nuqtaning chap tomonida ishora saqlaydi deyiladi.

A gar shunday 0 son topilsaki, x (x0 ,x0) da g x( ) 0 yoki x (x0 ,x0) da g x( ) 0 bо‘lsa, g x( ) funksiya x0 nuqtaning о‘ng tomonida ishora saqlaydi deyiladi.

6-teorema. Aytaylik, f x( ) funksiya X R tо‘plamda berilgan bо‘lib, quyidagi shartlarni

bajarsin:


  1. 0, x U x( )0 X da f x( ) hosila mavjud;

  2. f x( )0 0;

  3. f x( ) hosila x0 nuqtaning о‘ng va chap tomonlarida ishora saqlasin.

Agar f x( ) hosila x0 nuqtani о‘tishda ishorasini о‘zgartirsa, f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishadi.

Agar f x( ) hosila x0 nuqtani о‘tishda ishorasini о‘zgartirmasa, f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishmaydi. ◄ Aytaylik, x (x0 , x0) da f x( ) 0, x (x0, x0 ) da f x( ) 0



b о‘lsin. U holda x (x0 , ),x0 f x( ) 0 f x( ) о‘suvchi, ya’ni f x( ) f x( )0 , x (x x0, 0 ), f x( ) 0 f x( ) kamayuvchi, ya’ni f x( ) f x( )0 bо‘lib, x (x0 , x0 ) da f x( ) f x( )0 bо‘ladi. Demak, bu holda f x( ) funksiya x0 nuqtada

maksimumga erishadi. Aytaylik,



x (x0 , x0) da f x( ) 0, x (x0, x0 ) da f x( ) 0

b о‘lsin. U holda x (x0 , x0), f x( ) 0 f x( ) kamayuvchi, ya’ni f x( ) f x( )0 , x (x x0, 0 ),f x( ) 0 f x( ) о‘suvchi, ya’ni f x( ) f x( )0 bо‘lib, x (x0 ,x0 ) da f x( ) f x( )0 bо‘ladi.

Demak, bu holda f x( ) funksiya x0 nuqtada minimumga erishadi.



Agar x (x0 , x0) da f x( ) 0, x (x0, x0 ) da f x( ) 0 yoki x (x0 ,x0) da f x( ) 0, x (x x0, 0 ) da f x( ) 0 bо‘lsa, unda f x( ) funksiya (x0 ) da о‘suvchi yoki (x0 ) da kamayuvchi bо‘lib f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishmaydi. ► 7-teorema. f x( ) funksiya X R tо‘plamda berilgan bо‘lib, quyidagi shartlarni bajarsin: 1) f x( ) C X( );

  1. 0, x U x( )0 \ { }x0 da f x( ) hosila mavjud va chekli;

  2. f x( ) hosila x0 nuqtaning о‘ng va chap tomonlarida ishora saqlansin.

Agar f x( ) hosila x0 nuqtani о‘tishda ishorasini о‘zgartirsa, f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishadi.

Agar f x( ) hosila x0 nuqtani о‘tishda ishorasini о‘zgar-tirmasa, f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishmaydi.

Bu teorema yuqoridagi 6-teorema kabi isbotlanadi.

8-teorema. Faraz qilaylik f x( ) funksiya X R tо‘plamda berilgan va m N, m 2, x0 X bо‘lib, quyidagi shartlarni bajarsin:


  1. 0, x U x( )0 X da f (m 1)( )x hosila mavjud;

  2. f (m)( )x0 hosila mavjud;

  3. f x( )0 f ( )x0 ... f (m 1)( )x0 0, f (m)( )x0 0.

U holda m 2k k, N bо‘lganda f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishib, f (m)( )x0 0 bо‘lganda x0 nuqtada maksimumga, f (m)( )x0 0 da minimumga erishadi.

Agar m 2k 1, k N bо‘lsa, f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishmaydi.

f x( ) funksiyaning x0 nuqtadagi Teylor formulasi f x( ) f ( )n ( )x0 (x x0)k o x( x0)n , x x0 n k 0 k!

ni olamiz. Bu formula teoremaning shartida ushbu



f x( ) f x( )0 f (m)( )x0 (x x0)m 0 (x x0)m , x x0 m!

kо‘rinishga keladi. Bundan esa x x0 da

f x( ) f x( )0 (x x0)m f (mm)( )x! 0 o x((x xx00)mm , x x0

) bо‘lishi kelib chiqadi.

« » ning ta’rifiga kо‘ra 1 | f (m)( )x0 | 0 son uchun 0, x U x( )0 \{ }x0 m!

nuqtalarda



o x( x0)mm m1! f (m)( )x0 (x x0)

bо‘ladi. Demak, x U x( )0 \{ }x0 uchun



f (m)( )x0 (x x0)mm va f (mm)( )x! 0 m! (x x0)

miqdorlar bir xil ishorali bо‘ladi. Bundan esa x U x( )0 \{ }x0 da f (m)( )x0 (x x0)m m!

n ing ishorasi f x( ) f x( )0 ayirmaning ishorasi bilan bir xil bо‘lishi kelib chiqadi.

A gar m 2k k, N bо‘lib, f (m)( )x0 0 bо‘lsa, unda f x( ) f x( )0 0, ya’ni f x( ) f x( )0 bо‘ladi. f x( ) funksiya x0 nuqtada minimumga erishadi.



A gar m 2k k, N bо‘lib, f (m)( )x0 0 bо‘lsa, unda f x( ) f x( 0) 0, ya’ni f x( ) f x( )0 bо‘ladi. f x( ) funksiya x0 nuqtada maksimumga erishadi.

Agar m 2k 1, k N bо‘lsa, f x( ) f x( )0 ayirma ishora saqlamaydi. Bu holda

funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishmaydi. ►

Xususan, agar x0 nuqta f x( ) funksiyaning statsionar nuqtasi bо‘lib, f x( ) funksiya x0 nuqtada chekli f x( )0 0 hosilaga ega bо‘lsa, shu nuqtada f x( ) funksiya f x( )0 0 bо‘lganda maksimumga, f ( )x0 0 minimumga ega bо‘ladi.

2-misol. Ushbu f x( ) 23 x 5 53 x2 1 funksiya ekstremumga tekshirilsin.

◄ Bu funksiya R ( ; ) aniqlangan bо‘lib, u shu tо‘plamda uzluksiz. Uning hosilasini topamiz:

f x( ) 2 53 x 23 5 23 x 13 103x3 x 1 (1)

Ravshanki, funksiyaning hosilasi x1 1 nuqtada nolga alanadi: f (1) 0 ; x2 0 nuqtada esa funksiyaning hosilasi mavjud emas.

H osila ifodasi (1) dan kо‘rnadiki, x 1 nuqtaning chap tomonidagi nuqtalarda f x( ) 0 о‘ng tomonidagi nuqtalarda f x( ) 0 bо‘ladi. Demak, berilgan funksiya x 1 nuqtada minimumga erishadi va min f x f 1 2 bо‘ladi.



Yana hosila ifodasi (1) dan kо‘rinadiki, x 0 nuqtaning chap tomonidagi nuqtalarda f x( ) 0, о‘ng tomonidagi nuqtalarda f x( ) 0 bо‘ladi.

Demak, f x( ) funksiya x 0 nuqtada maksimumga erishadi va max f x



bо‘ladi. ►
Download 0.9 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
maxsus ta’lim
O’zbekiston respublikasi
zbekiston respublikasi
axborot texnologiyalari
o’rta maxsus
guruh talabasi
nomidagi toshkent
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
xorazmiy nomidagi
toshkent axborot
pedagogika instituti
haqida tushuncha
rivojlantirish vazirligi
toshkent davlat
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
matematika fakulteti
ta’limi vazirligi
samarqand davlat
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
bilan ishlash
pedagogika universiteti
vazirligi muhammad
fanining predmeti
Darsning maqsadi
o’rta ta’lim
navoiy nomidagi
haqida umumiy
Ishdan maqsad
moliya instituti
fizika matematika
nomidagi samarqand
sinflar uchun
fanlar fakulteti
Nizomiy nomidagi
maxsus ta'lim
Ўзбекистон республикаси
ta'lim vazirligi
universiteti fizika
umumiy o’rta
Referat mavzu
respublikasi axborot
таълим вазирлиги
махсус таълим
Alisher navoiy
Toshkent axborot
Buxoro davlat