Hosilaning tadbiqlari.
10. Funksiyaning monotonligi. Faraz qilaylik, f x( ) funksiya (a b, ) da
( ) berilgan bо‘lsin.
Ma’lumki,
x x1, 2 (a b, ), uchun x1 x2 f x( )1 f x( ) ( ( )2 f x1 f x( ))2 bо‘lsa, f x( ) funksiya (a b, ) da о‘suvchi (qat’iy о‘suvchi), x x1, 2 (a b, ) uchun x1 x2 f x( )1 f x( ) ( ( )2 f x1 f x( ))2 bо‘lsa, f x( ) funksiya (a b, ) da kamayuvchi (qat’iy kamayuvchi) deyiladi.
1 -teorema. Aytaylik, f x( ) funksiya (a b, ) da berilgan bо‘lib, x (a b, ) da f x( ) hosilaga ega bо‘lsin.
f x( ) funksiyaning (a b, ) da о‘suvchi bо‘lishi uchun x (a b, ) da f x( ) 0
bо‘lishi zarur va yetarli.
◄ Zarurligi. f x( ) funksiya (a b, ) da о‘suvchi bо‘lsin. Unda 0 bо‘lganda
f x( x) f x( ) 0
bо‘ladi. Hosila ta’rifidan foydalnib topamiz:
f x( ) f x( 0) limx 0 f x( xx) f x( ) 0.
Yetarliligi. Aytaylik, x (a b, ) da f x( ) mavjud bо‘lib, f x( ) 0bо‘lsin. [x x1, 2 ] da (x x1, 2 (a b, ), x1 x2) f x( ) funksiyaga Lagranj teoremasini qо‘llab topamiz: f x( )2 f x( )1 f c( ) (x2 x1) 0. Demak, x1 x2 f x( )1 f x( )2 , f x( ) о‘suvchi. ►
Xuddi shunga о‘xshash, quyidagi teorema isbotlanadi.
2-teorema. Faraz qilaylik, f x( ) funksiya (a b, ) da berilgan bо‘lib, x (a b, ) da f x( ) hosilaga ega bо‘lsin. f x( ) funksiya (a b, ) da kamayuvchi bо‘lishi uchun x (a b, ) da
f x( ) 0
bо‘lishi zarur va yetarli.
Shuningdek quyidagi teoremalarni isbotlash qiyin emas.
3-teorema. f x( ) funksiya (a b, ) da berilgan bо‘lib, x (a b, ) da f x( ) hosilaga ega bо‘lsin. f x( ) funksiyaning (a b, ) da qat’iy о‘suvchi bо‘lishi uchun
x (a b, ) da f x( ) 0.
x ( , ) da f x( ) 0 tenglik bajariladigan ( , ) (a b, ) intervalning mavjud bо‘lmaslik shartlarining bajarilishi zarur va yetarli.
4-teorema. f x( ) funksiya (a b, ) da berilgan bо‘lib, x (a b, ) da f x( ) hosilaga ega bо‘lsin. f x( ) funksiyaning (a b, ) da qat’iy kamayuvchi bо‘lishi uchun
x (a b, ) da f x( ) 0,
x ( , ) da f x( ) 0
tenglik bajariladigan ( , ) (a b, ) intervalning mavjud bо‘lmasligi shartlarining bajarilishi zarur va yetarli.
Demak, (a b, ) da
f x( ) 0 f x( ) о‘suvchi f x( ) 0, f x( ) 0 f x( ) kamayuvchi f x( ) 0, f x( ) 0 f x( ) qat’iy о‘suvchi f x( ) 0, f x( ) 0 f x( ) qat’iy kamayuvchi f x( ) 0
bо‘ladi.
1-misol. Ushbu f x( ) funksiyaning о‘suvchi, kamayuvchi bо‘lish oraliqlari topilsin. ◄Ravshanki,
f x( ) x 2 (2x xln2)
bо‘ladi.
Ushbu f x( ) da о‘rinli bо‘ladi.
Demak, f x( ) funksiya x ) da kamayuvchi bо‘ladi.
►
2 0. Funksiyaning ekstremumlari. Faraz qilaylik, f x( ) funksiya X R tо‘plamda berilgan bо‘lib, x0 X bо‘lsin.
1-ta’rif. Agar shunday 0 son topilsaki, x U x( )0 (x0 ,x0 ) X nuqtalarda f x( ) f x( )0 f x( ) f x( )0 tengsizlik bajarilsa, f x( ) funksiya x0 nuqtada maksimumga (minimumga) erishadi deyiladi, x0 nuqtaga esa f x( ) funksiya-ning maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi.
2-ta’rif. Agar shunday 0 son topilsaki, x U x( )0 \{ }x0 U x( )0 X nuqtalarda f x( ) f x( )0 f x( ) f x( )0 tengsizlik bajarilsa, f x( ) funksiya x0 nuqtada qat’iy maksimumga
(qat’iy minimumga) erishadi deyiladi,
Funksiyaning maksimum hamda minimumi umumiy nom bilan uning ekstremumlari, maksimum hamda minimum nuqtalari esa uning ekstremum nuqtalari deyiladi.
5 -teorema. Faraz qilaylik, f x( ) funksiya X R tо‘plamda berilgan bо‘lib, x0 X
nuqtada ekstremumga erishsin.
A gar f x( ) funksiya x0 nuqtada f x( )0 hosilaga ega bо‘lsa, u holda f x( )0 0 bо‘ladi. ◄Aytaylik, f x( ) funksiya x0 nuqtada maksimumga erishib, shu nuqtada hosilaga ega
b о‘lsin. U holda 0 : x U x( )0 X da f x( ) f x( )0 bо‘ladi. (x0 ,x0 ) intervalda f x( ) funksiyaga Ferma teoremasini qо‘llab topamiz: f x( )0 0.►
3-ta’rif. Funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqta uning stansionar (kritik) nuqtasi deyiladi.
Eslatma. Agar f x( ) funksiya biror nuqtada ekstre-mumga erishsa, u shu nuqtada hosilaga ega bо‘lishi shart emas.
M asalan, f x( ) x funksiya x0 0 nuqtada minimumga erishadi, biroq u shu nuqtada hosilaga ega emas.
Demak, f x( ) funksiyaning ekstremum nuqtalari uning statsionar hamda hosilasi mavjud bо‘lmagan nuqtalari bо‘lishi mumkin.
4-ta’rif. Agar shunday 0 son topilsaki, x (x0 ,x0) da g x( ) 0yoki x (x0 ,x0) dag x( ) 0 bо‘lsa, g x( ) funksiya x0 nuqtaning chap tomonida ishora saqlaydi deyiladi.
A gar shunday 0 son topilsaki, x (x0 ,x0) da g x( ) 0 yoki x (x0 ,x0) da g x( ) 0 bо‘lsa, g x( ) funksiya x0 nuqtaning о‘ng tomonida ishora saqlaydi deyiladi.
6-teorema. Aytaylik, f x( ) funksiya X R tо‘plamda berilgan bо‘lib, quyidagi shartlarni
bajarsin:
0, x U x( )0 X da f x( ) hosila mavjud;
f x( )0 0;
f x( ) hosila x0 nuqtaning о‘ng va chap tomonlarida ishora saqlasin.
Agar f x( ) hosila x0 nuqtani о‘tishda ishorasini о‘zgartirsa, f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishadi.
Agar f x( ) hosila x0 nuqtani о‘tishda ishorasini о‘zgartirmasa, f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishmaydi. ◄ Aytaylik, x (x0 , x0) da f x( ) 0, x (x0, x0 ) da f x( ) 0
b о‘lsin. U holda x (x0 , ),x0 f x( ) 0 f x( ) о‘suvchi, ya’ni f x( ) f x( )0 , x (x x0, 0 ), f x( ) 0 f x( ) kamayuvchi, ya’ni f x( ) f x( )0 bо‘lib, x (x0 , x0 ) da f x( ) f x( )0 bо‘ladi. Demak, bu holda f x( ) funksiya x0 nuqtada
maksimumga erishadi. Aytaylik,
x (x0 , x0) da f x( ) 0, x (x0, x0 ) da f x( ) 0
b о‘lsin. U holda x (x0 , x0), f x( ) 0 f x( ) kamayuvchi, ya’ni f x( ) f x( )0 , x (x x0, 0 ),f x( ) 0 f x( ) о‘suvchi, ya’ni f x( ) f x( )0 bо‘lib, x (x0 ,x0 ) da f x( ) f x( )0 bо‘ladi.
Demak, bu holda f x( ) funksiya x0 nuqtada minimumga erishadi.
Agar x (x0 , x0) da f x( ) 0, x (x0, x0 ) da f x( ) 0 yoki x (x0 ,x0) da f x( ) 0, x (x x0, 0 ) da f x( ) 0 bо‘lsa, unda f x( ) funksiya (x0 ) da о‘suvchi yoki (x0 ) da kamayuvchi bо‘lib f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishmaydi. ► 7-teorema. f x( ) funksiya X R tо‘plamda berilgan bо‘lib, quyidagi shartlarni bajarsin: 1) f x( ) C X( );
0, x U x( )0 \ { }x0 da f x( ) hosila mavjud va chekli;
f x( ) hosila x0 nuqtaning о‘ng va chap tomonlarida ishora saqlansin.
Agar f x( ) hosila x0 nuqtani о‘tishda ishorasini о‘zgartirsa, f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishadi.
Agar f x( ) hosila x0 nuqtani о‘tishda ishorasini о‘zgar-tirmasa, f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishmaydi.
Bu teorema yuqoridagi 6-teorema kabi isbotlanadi.
8-teorema. Faraz qilaylik f x( ) funksiya X R tо‘plamda berilgan va m N, m 2, x0 X bо‘lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
0, x U x( )0 X da f (m 1)( )x hosila mavjud;
f (m)( )x0 hosila mavjud;
f x( )0 f ( )x0 ... f (m 1)( )x0 0, f (m)( )x0 0.
U holda m 2k k, N bо‘lganda f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishib, f (m)( )x0 0 bо‘lganda x0 nuqtada maksimumga, f (m)( )x0 0 da minimumga erishadi.
Agar m 2k 1, k N bо‘lsa, f x( ) funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishmaydi.
◄ f x( ) funksiyaning x0 nuqtadagi Teylor formulasi f x( ) f ( )n ( )x0 (x x0)k o x( x0)n , x x0 n k 0 k!
ni olamiz. Bu formula teoremaning shartida ushbu
f x( ) f x( )0 f (m)( )x0 (x x0)m 0 (x x0)m , x x0 m!
kо‘rinishga keladi. Bundan esa x x0 da
f x( ) f x( )0 (x x0)m f (mm)( )x! 0 o x((x xx00)mm , x x0
) bо‘lishi kelib chiqadi.
« » ning ta’rifiga kо‘ra 1 | f (m)( )x0 | 0 son uchun 0, x U x( )0 \{ }x0 m!
nuqtalarda
o x( x0)mm m1! f (m)( )x0 (x x0)
bо‘ladi. Demak, x U x( )0 \{ }x0 uchun
f (m)( )x0 (x x0)mm va f (mm)( )x! 0 m! (x x0)
miqdorlar bir xil ishorali bо‘ladi. Bundan esa x U x( )0 \{ }x0 da f (m)( )x0 (x x0)m m!
n ing ishorasi f x( ) f x( )0 ayirmaning ishorasi bilan bir xil bо‘lishi kelib chiqadi.
A gar m 2k k, N bо‘lib, f (m)( )x0 0 bо‘lsa, unda f x( ) f x( )0 0, ya’ni f x( ) f x( )0 bо‘ladi. f x( ) funksiya x0 nuqtada minimumga erishadi.
A gar m 2k k, N bо‘lib, f (m)( )x0 0 bо‘lsa, unda f x( ) f x( 0) 0, ya’ni f x( ) f x( )0 bо‘ladi. f x( ) funksiya x0 nuqtada maksimumga erishadi.
Agar m 2k 1, k N bо‘lsa, f x( ) f x( )0 ayirma ishora saqlamaydi. Bu holda
funksiya x0 nuqtada ekstremumga erishmaydi. ►
Xususan, agar x0 nuqta f x( ) funksiyaning statsionar nuqtasi bо‘lib, f x( ) funksiya x0 nuqtada chekli f x( )0 0 hosilaga ega bо‘lsa, shu nuqtada f x( ) funksiya f x( )0 0 bо‘lganda maksimumga, f ( )x0 0 minimumga ega bо‘ladi.
2-misol. Ushbu f x( ) 23 x 5 53 x2 1 funksiya ekstremumga tekshirilsin.
◄ Bu funksiya R ( ; ) aniqlangan bо‘lib, u shu tо‘plamda uzluksiz. Uning hosilasini topamiz:
f x( ) 2 53 x 23 5 23 x 13 103x3 x 1 (1)
Ravshanki, funksiyaning hosilasi x1 1 nuqtada nolga alanadi: f (1) 0 ; x2 0 nuqtada esa funksiyaning hosilasi mavjud emas.
H osila ifodasi (1) dan kо‘rnadiki, x 1 nuqtaning chap tomonidagi nuqtalarda f x( ) 0 о‘ng tomonidagi nuqtalarda f x( ) 0 bо‘ladi. Demak, berilgan funksiya x 1 nuqtada minimumga erishadi va min f x f 1 2 bо‘ladi.
Yana hosila ifodasi (1) dan kо‘rinadiki, x 0 nuqtaning chap tomonidagi nuqtalarda f x( ) 0, о‘ng tomonidagi nuqtalarda f x( ) 0 bо‘ladi.
Demak, f x( ) funksiya x 0 nuqtada maksimumga erishadi va max f x
bо‘ladi. ►
Do'stlaringiz bilan baham: |