1. Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi

Ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi. Bolsano-Veyershtrass teoremasi. Koshi kriteriyasi


Reja:
1. Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi.
2. Qismiy ketma-ketlik
3. Bolsano-Veyershtrass teoremasi.
4. Koshi kriteriyasi.

1. Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi.


Teorema. Agar (x_n) va (y_n) ketma-ketliklar berilgan bo`lib:
1) (x<sub>n</sub>) o`suvchi, (y_n) kamayuvchi,
2) barcha n lar uchun x_n <y_n ,
3) (y_n - x_n)=0 bo`lsa, u holda (x<sub>n</sub>) va (y<sub>n</sub>) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lib, x_n = y_n bo`ladi.
Isbot. Barcha n lar uchun x<sub>n n</sub> y<sub>1</sub> bo`ladi. Demak, (x_n) o`suvchi va yuqoridan chegaralangan bo`lgani uchun u chekli limitga ega, ya`ni, x<sub>n</sub> =c chekli. Xuddi shu kabi (y<sub>n</sub>) kamayuvchi va quyidan chegaralanganligi uchun chekli x<sub>n</sub> =c` limit mavjud. c`-c= (y<sub>n</sub> - x<sub>n</sub>)=0, bundan c=c` ekanligi kelib chiqadi.
Agar [a₁;b₁], [a₂;b₂], ..., [a_n;b_n], ... segmentlarning har biri o`zidan keyingisini saqlasa (ya`ni [a₁;b₁] [a₂;b₂] … [a_n;b_n]… bo`lsa), u ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi deyiladi.
Natija. Agar ichma-ich joylashgan [a<sub>1</sub>;b<sub>1</sub>], [a<sub>2</sub>;b<sub>2</sub>], ..., [a<sub>n</sub>;b<sub>n</sub>], ... segmentlar ketma-ketligi uchun (b<sub>n</sub>-a<sub>n</sub>)=0 bo`lsa, u holda segmentlarning chap uchlaridan tuzilgan (a_n) va o`ng uchlaridan tuzilgan (b<sub>n</sub>) ketma-ketliklar bitta umumiy limitga ega va bu limit barcha segmentlarga tegishli yagona nuqta bo`ladi.
Isbot. 1) (a_n) o`suvchi, (b<sub>n</sub>) kamayuvchi, 2) barcha n lar uchun a<sub>nn</sub>,
3) (b<sub>n</sub>-a<sub>n</sub>)=0 dan isbotlangan teoremaga binoan a<sub>n</sub>= b<sub>n</sub> bo`ladi.
Bu limitni c deb olsak, (a_n) o`suvchi, (b<sub>n</sub>) kamayuvchi bo`lganligidan barcha n lar uchun a_n c b_n kelib chiqadi.


2. Qismiy ketma-ketlik.

Bizga (x_n) ketma-ketlik berilgan bo`lsin. Bu ketma-ketlikning n<sub>1</sub> nomerli x , n<sub>2</sub> nomerli x ,..., n<sub>k</sub> nomerli x va hokazo hadlarini olsak, x ,x ,..,x ,... ketma-ketlikka ega bo`lamiz. Bu yerda n₁₂₃<... (x ) ketma-ketlik (x_n) ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi deyiladi.

Miso. 1, -1, 1, -1,...(-1)ⁿ⁺¹, ... ketma-ketlik uchun
1, 1, 1, ...
-1, -1, -1, ... larning har biri qismiy ketma-ketlik bo`ladi.
Agar (x<sub>n</sub>) ketma-ketlik limitga ega bo`lsa, u holda (x ) qismiy ketma-ketlik ham o`sha limitga ega bo`ladi. Bu limit ta`riflardan kelib chiqadi. Aksincha, qismiy ketma-ketlik limitga ega bo`lishidan berilgan ketma-ketlikning limitga ega bo`lishi kelib chiqavermaydi.
Masalan, limiti 1 ga teng bo`lgan 1, 1, 1, ..., 1, ... yaqinlashuvchi ketma-ketlik limitga ega bo`lmagan 1, -1, 1, -1, ..., (-1)<sup>n+1</sup> , ... ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi bo`ladi.
Izoh. Ketma-ketlikning qismiy limiti deb shunday son (yoki ∞ simvoliga) aytiladiki, unga intiladigan qismiy ketma-ketlik mavjud bo`lsa. Qismiy limitlardan eng kattasi ketma-ketlikning yuqori limiti deyiladi va orqali belgilanadi. Quyi limit xuddi shunday ta`riflanadi.