1. Ferma teoremasi intervalda aniqlangan

8 – MAVZU. FUNKSIYA HOSILASINING AYRIM TADBIQLARI. ANIQMASLIKLARNI OCHISH.
Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba`zi teoremalar. Analizning asosiy teoremalari

1. Ferma teoremasi. intervalda aniqlangan funksiya bu intervalning biror nuqtasida eng kata va eng kichik qiymatini qabul qilsin. Bunday holda, agar bu funksiyaning nuqtada hosilasi mavjud bo`lsa, u nolga teng bo`ladi.

Isboti. Aniqlik uchun funksiyaning intervaldagi eng katta qiymati bo`lsin. ekanligini ko`rsatamiz. Hosilaning ta`rifiga ko`ra:

Funksiya nuqtada eng katta qiymatni qabul qilgani uchun ning iхtyoriy qiymatida quyidagiga egamiz:

Bundan, agar bo`lsa, va demak,

Agar bo`lsa, va

Shunday qilib, hosila musbat ham, manfiy ham bo`lla olmaydi. Demak, .

Ferma teoremasining geometrik ma`nosini quyidagicha tushuntirish mumkin. Hosila funksiya grafigida urinma abssissalar o`qi bilan hosil qilingan burchak tangenisiga teng bo`lgani uchun tenglik funksiya eng katta va eng kichik qiymatga ega bo`lgan abssissali nuqtada funksiya grafigiga o`tkazilgan urinma o`qiga parallel bo`ladi (7 – rasm).

7 – rasm