|
п\\х\\и
I!
< 1|лг||з <
/ п \ \ х \ \ и
п
2 II
х\\2
< |1л||3 <
ЦхЦ2.
352
www.ziyouz.com kutubxonasi
5. Фараз қилайлик, ихтиёрий
А
матрица учун
М
(Л) ва
N (А)
қуйидагича
аниқланган бўлсин:
М (А)
=
п
шах
\ а н \ , И( А) = у / и А *А.
1
< /,/ <л
'
Куйидагиларни кўрсатинг:
1)
М (А)
ва
N (А)
матрицанинг нормаси;
2) Бу нормалар векторларнинг юқорида кўриб ўтилган нормаларининг
бирортасига бўйсунмайди.
6. Куйидаги тенгсизликларни исботланг:
.
п-1
М( А)
< ||
А \\к
<
М( А)
( к=
1 ,2 ,3 ),
и-1
М( А) < М(А) < М ( А ) ,
_ _1_
И
2
М( А)
< | | Л | | з < М (А ),
п ~ ^ И ( А )
< !М1|Й<
/ п И ( А )
( к =
1,2),
п_,,?
^7 11 л 1,3
{к
■
“
1’
2)’
п
- 1
II
А
II, < ||
А
||2
<
п
||
А
Ц^.
4- Б О Б .
МАТРИЦАЛАРНИНГ ХОС СОН ВА
ХОС
ВЕКТОРЛАРИНИ ҲИСОБЛАШ
1- §. УМУМИЙ МУЛОҲАЗАЛАР
Б у бобда матрицаларнинг хос сон ва хос векторларини ҳксоб-
лаш билан шуғулланамиз.
Агар бирор нолдан фарқли
х
вектор учун
А х ^ Х х
(
1
.
1
)
тенглик бажарилса, у ҳолда X сон
А
квадрат матрицанинг
хос
сони
ёки
характеристик сони
дейилади. Бу тенгликни қаноат-
лантирадиган ҳар қандай нолдан фарқли
х
вектор
А
матриианинг
X
хос сонига мос келадиган хос вектори
дейилади. Кўриниб
турибдики, агар
х
хос вектор бўлса, у ҳолда
а х (а —
ихтиёрий
сон) вектор ҳам хос вектор бўлади.
Матрицанинг хос сони ва хос вектори ҳақидаги маълумотлар
математикада ва унинг бошқа соҳалардаги татбиқларида ҳам кенг
қўлланилади. Олдинги бобда биз буни
х = В х
чизиқли алгебраик тенгламалар системасини итерацион метод
билан ечиш мисолида кўрган эдик. Бу ерда итерацион процесс-
нинг яқинлашиши ва яқинлашиш тезлиги
В
матрицанинг модули
бўйича энг катта хос сонининг миқдорига боғлиқ эди.
Астрономия, механика, физика, химиянинг қатор масалала-
рида айрим матрицаларнинг барча хос сонларини ва уларга
мос келадиган хос векторларини топиш талаб қилинади. Бун-
дай масала
хос сонларнинг тўлиқ муаммоси
дейилади.
Айрим масалаларда эса, масалан, ядро масаласида, матри-
цанинг модули бўйича энг катта ёки энг кичик хос сониии то-
15?
www.ziyouz.com kutubxonasi
лиш талаб қилинади. Тебранувчи ж араёнларда эса матрица
хос сонларининг модуллари бўйича иккита энг каттасини аниқ-
лашга зарурият туғилади. Матрицаларнинг битта ёки бир нечта
хос сон ва хос векторларини топиш
хос сонларининг цисмий.
муаммоси
дейилади.
.
Бир жинсли (1.1) системанинг нолдан фарқли ечими мавжуд
бўлиши учун
й
(X) = й е !
(А
-
1Е)
=
а и - ъ
ап
а п . . .
# 2 2 —^ •
•
аи
• а2п
.
= 0
( 1 . 2 )
а п\
а п2 ■
•
• •
апп~Х
шарт бажарилиши керак. Бу тенглама одатда
А
матрицанинг асрий
(бу термин астрономиядан кириб қолгаи) ёки
характеристик
тенгламаси
дейилади. (
1
.
2
) тенгламанинг чап томони
с!е
1
( Л - Х £ ) = ( -
1
) « ( Х « - Р
1
Я « - > - р , ) / ' ^ - . . .
- р п)
(
1
.
3
)
л-даражали
кўпҳад
бўлиб,
у
А
матрицанинг характеристик
кўпҳади дейилади. Айрим ҳолларда (1.3) кўпҳад ўрнида
А
матри-
цанинг
хос кўпҳади
деб аталувчи
р{1) = 1п — р1Кп- 1— р21п~2 — . . .
—
рп
(1.4)
кўпҳад билан иш кўрилади. Матрицанинг хос сонлари унинг х о с
кўпҳадининг илдизлари бўлади. (1.4) кўпҳад
п-
даражали бўл-
ганлиги учун у
п
та илдизга эга.
А
матрицанинг
хос сонига
мос келадиган хос векторларини топиш учун
{А — \Е)~х = 0
(1.5)
бир жинсли тенгламалар системасининг нолдан фарқли ечимини то-
пиш керак.
Шундай қилиб, хос сон ва хос векторларни топиш
масаласи уч босқичдан иборат:
1
)
Р(Х)
ни қуриш, 2)
Р
(Я) = 0
тенгламани ечиб, барча
(с =
1
,
п)
хос сонларни топиш, 3) барча
X* ларга мос келган хос векторларни (1.5) дан топиш. Бу босқич-
ларнинг ҳар бири етарлича мураккаб ҳисоблаш масалаларидан ибо-
ратдир. Ҳақиқатан ҳам, X (
1
.
2
) детерминантнинг ҳар бир сатри ва
ҳар бир устунида қатнашганлиги учун, бундай детерминантни А
нинг даражаларига нисбатан ёйиб чиқиш, яъни (1.3) тенгликни
ҳосил қилиш катта қийинчилик туғдиради. Алгебрадан маълумки,
умумий
ҳолда,
Р(1)
нинг коэффициентларини
А
матрицанинг
( — I
)'" 1
ишора билан олинган
I-
тартибли бош миноралари
нинг
йиғиндисига тенг:
П
Р1 = 2 * а П'Р2 =
/=1
ва ҳоказо. Демак,
1<к
а 1к
акк
а^ а1к ап
>
Р з =
ак] акк аМ
1<к<1 а 1] а 1к а 11
(
1
.
6
)
154
Рл = ( _ !)«-> й е М .
(1.7).
www.ziyouz.com kutubxonasi
Яққол кўриш мумкинки,
А
матрицанинг
I-
тартибли диагонал ми-
нораларининг сони
С‘„
га тенг. Демак,
п-
тартибли матрицанихос
кўпҳади
Р ( ).)
нинг коэффициентларини бевосита ҳисоблаш учун
С1 + С 1 +
. . .
+ с п
п ^ 2 п- \
та ҳар хил тартибли детерминантларни ҳисоблаш керак. Етарлича
катта
п
учун бу масала катта >,исоблашларни талаб қилади.
Вғет теоремасидан фойдаланиб, қуйидаги тен
1
'ликларни ёзиши-
миз мумкин:
+
^2
+ • • • +
К
=
Р> ,
.
1
Р п ’
Б у тенгликларни (1.6) тенгликларнинг биринчиси в а (1 .7 ) тенглик
билан солиштирсак,
^•1 + ^2 + • • • +
— а \1 + а 21 +
• • • +
а пп
=
+
Ҳ •
= бе!
А
келиб чиқади.
Шундай қилиб, матрицанинг барча хос сонларининг йиғин-
диси унинг изи
1
г га (инглизча
1
гасе — из сўзидан) тенг бўлиб,
уларнинг кўпайтмаси шу матрицанинг детерминантига тенг.
Бу ердан хусусий ҳолда қуйидаги келиб чиқади:
А
матрицанинг
ҳеч бўлмаганда
бйрорта хос сони нолга тенг бўлиши учун
(
1
е
1
Л
==0
бўлиши зарур ва кифоядир.
Хос сонлар муаммосининг иккинчи ва учинчи босқичлари,
яъни. юқори дараж али алгебраик тенгламаларни ечиш ва бир
жинсли чизиқли алгебраик тенгламалар системасининг тривиал
бўлмаган ечимини топиш етарлича катта
п
лар учун қанчалик
кўп меҳнат талаб қилишини биз
.2
ва 3 - бобларда кўрган эдик.
Ҳозирги вақтда хос сон ва хос векторларни топиш методлари
икки группага бўлинади:
аниқ ёки тўғри методлар
ва
итерацион
методлар. Биринчи группаГа кирадиган методлар бўйича мат-
рицанинг хос кўпҳади топилади (яъни
р\, р%, . . . , р п
коэффи-
циентлар ҳисобланади), кейин унинг илдизларини топиб хос
сонларни ҳосил қилкнади ва нихрят, хос сонлардан фойдала-
ниб хос векторлар қурилади. Бу методларнинг аниқ методлар
дейилишига сабаб шундан иборатки, агар матрица элемеитла-
ри аниқ берилган бўлса ва ҳисоблашлар аниқ олиб борилса,
■натижада характеристик
кўпҳад коэффициентларининг қий-
матлари ҳам аниқ тогшлади ва хос векторларнинг компопент-
лари хос сонлар орқали аниқ формулалар билан ифодаланади.
Аниқ методлар, одатда,
хос сонларнинг
тўлиқ муаммосини
ечиш учун қўлланилади.
Итерацион методларда
характеристик сонлар характеркс-
тик кўпҳад коэффицнентларини аниқламасдан туриб, бевосита
ҳисобланади. Бу эса ҳисоблаш масаласини ж уда соддалашти-
ради: юқори дараж али алгебраик тенгламаларни ечишдан озод
қилади. Итерацион методларда хос сонларни ҳисоблаш бнлан
155
www.ziyouz.com kutubxonasi
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
