Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

' 
X
Я * ) = / ( 0 ) +
(7.8)
о
кўринишда ёзиш мумкин, ва аксинча, агар / ( 0 ) ихтиёрий сон бў-
либ, 
/ '
(х) ўлчачадиган [0, 1] да квадрати билан жамланувчи бўлса
. 1 
.
ва | | / ' ( 0 12 
<И
< I 2 шарт бажарилса, у ҳолда (7.8) билан аниқ-
о
ланган 
/ ( х )
функция 
С\
 (7.) синфга қарашли бўлади. Энди 
С\
 ( I )
функциялар синфида қуйидаги кўринишдаги
1
 
п 
п
| / ( * ) Л « 2 ^ / ( А ) , 2 ^
= 1 
(7.9)
0 
к-
0 
к-0
 
■
,
оптимал квадратур формулани тузиш масаласини кўриб чиқамиз. Б у
ерда қолдиқ ҳад учун
1
Я . ( / ) = ^ / ' ( 0
К п ' ® # ,
 
(7.10)
_ 
п 
_
__
п
к=о
 
/=( 
( 7 .П )
—
^ 
— 
(/ =» 1, 
п)
формулаларга эга бўламиз. Коши — Буняковский тенгсизлигини
қўллаб топамиз:
1
о
< | / { V
( 0 Р ^ * | / / (Л*1)( 0 ) * Л < / . | / 1 ( ^ 1 1).(/))*л ,-
Қуйидаги функция
/ / л
7 | 4 Ч (0 Г8'2П
<е'
(0 - ' д -!.......... —
у
{(/с<
*) (<))*«
ЗЗФ
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

10,1] да ўлчанадиган, квадрати билан жамланувчи ва 
(/)
о
X
£ 2> демак, <р (х ) = ср (0) + ]*
йЬ
 6 Сг (£ ) ва унинг учун;
. 
о
I 
\ { К ^ \ ь ) У й 1 .
Шунинг учун ҳам
/ ? л с к ^ ) ) = ^ ] / и ^ Ч о ) 2^ .
Ш ундай қилиб, 
С\
( I ) да оптимал квадратур формула тузиш учун
А ( 2 Л б = 1 ) козффициентларни 
шундай танлашимиз керакки,
А=0 
.
уш б у
/
1 (/
ў
И ( 0 ) 2Л
ифода минимал қийматга эга бўлсин. Равшанки,
У(
0
€унда
1 = 1
{
—1

о- “ Т л )
/=0
„ 
' 
» 
1 
2/ — 1
узининг минимал қиимати ^
га
— ~ п
 
лаРДа 
эришишини
пайқаш қийин эмас. Козффициентлар учун
Чь+х 
Й1~
7Р ( г' ~ 1 >л
0 » -^о =
Ч\ — 2п'
1=0
қийматларга эга бўламиз. Шундай қилиб, 
С\
 (/_) синфида (7.9) кў-
ринишдаги квадратур формулалар орасида умумлашган трапеция
формуласи
\ ш а х м 1 [ П ! Ц т + % { > ) ]
к
= 1
оптимал формула бўлиб, унинг хатоси
2 л / 3
=. га тенг экан.
340
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Олдинги параграфда айтиб ўтилганидек силлиқлиги юқорн
бўлмаган функцияларни интеграллаш пайтида алгебраик аниқ-
лик дараж аси юқори бўлган формулаларни қўллаш яхши на-
тижага олиб келмайди. Бундай функциялар учун трапециялар*
ёки тўғри тўртбурчаклар формуласини қўллаш маъқулдир.
Энди шундай савол туғилади: бундай формулаларнинг аниқ-
ликларини, уларнинг қолдиқ ҳадларидан бош қисмларини аж-
ратиб олиш йўли билан орттириш мумкин эмасмикан? М аълум
бўлишича шундай қилиш мумкин экан. Бу вазифани Эйлер —
Маклорен формуласи ҳал қилади. Бу формулалар трапециялар
катта формуласига ва даврий функциялар учун тўғри тўртбур-
чаклар формуласига тузатма киритади. Эйлер — Маклорен фор-
муласи бундан ташқари функцияни қаторга ёйиш, қаторлар-
нинг йиғиндисини топиш ва бошқа масалаларда ҳам қўллани-
лади.
Эйлер — Маклорен формуласини келтириб чиқаришда бизга-.
Бернулли сонлари ва кўпҳадлари ҳақидаги айрим маълумот-
лар керак бўлади. Қуйида шу маълумотларни баён қиламиз.
1. Б ернулли сонлари ва к ў п ҳ а д л а р и . Бу сонлар ва кўпҳад-
ларни уларни ҳосил қилувчи функциялар ёрдамида аниқлаймиз.
Бунннг учун
£ ( 0 - . * = г г .
е У ,
 
= ^
 
(8-1)
функцияларни киритамиз. Б у функииялар |^ |< 2 т е доирада регуляр
бўлганлиги учун уларни 
шу доирада даражали қаторга 
ёйиш
мумкин:
8 - § . К В А Д Р А Т У Р Ф О Р М У Л А Л А Р Н И Н Г А Н И К Л И Г И Н И О Р Т Т И Р И Ш
*
е 1
— 1
оо
У Д ,М
, п
е *
— 1 
- в
п \
'
л=1
(
8
.
2
>
(8.3)