Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги


оралиқда аниқланган функциялар синфи


bet145/186
Sana19.02.2022
Hajmi
#458735
1   ...   141   142   143   144   145   146   147   148   ...   186
Bog'liq
Hisoblash metodlari. 1-qism (M.Isroilov)

оралиқда аниқланган функциялар синфи 
Н
бррилган бўлсин.
Бутун Н синфда
'
а 
Ь=
1
квадратур формуланинг цолдиц ҳади
деб
$п(Н)
= зирКОО [ = зир I Г 
Дх)с1х — У Ак/{Ҳк)
I

 
! £ Н 
т
 
1
ифодага айтилади. Унинг қуйи чегараси

ж п{Н ) 
= мнп{Н)
Ак • хк
царалаётган синфда квадратур формула хатосининг опти-
мал баҳоси
дейилади.
Агар шундай квадратур формула мавжуд бўлсаки, унинг учун
Нп(Н) — Уё/Н)
тенглик бажарилса, бундай формула қаралаётган
синфда 
оптимал ёки энг яхши фсрмула
дейилади.
Иккита синф мисолида оптимал формула тузишни кўриб чиқа-
миз. Аввал [0, 1] оралиқда узлуксиз ва биринчи ҳосиласи бўлак-
ли узлуксиз ҳамда 
\/'(х)
 | < й тенгсизликни қаноатлантирувчи
С Х(Б)
функциялар синфини қараймиз.
Қа,оалаётган
Г 
(0 < Х! < . . . < л:л = 1) 
(7 .1 )
0
Ь
= 1
.
квадратур формула 
/ ( х ) —
 сопз1 учун аниқ бўлишини, яъни
(7 -2)
к
= 1
тенглик бажарилишини талаб қиламиз. Акс ҳолда 
/ ( х ) = С
учун •
• 
к = 1
 
'
334
www.ziyouz.com kutubxonasi


б ў л и б , б а р ч а
/ ( х )
 
= с о п з 1 ф у н к ц и я л а р қ а р а л а ё т г а н с и н ф д а ё т а д н
в а д е м а к ,
/ ? „ ( / / ) > з и р ( | 1 - 2 Л * | 1^1 ) “
« > • . '
К ў р и н и б т у р и б д и к и , б у н д а й к в а д р а т у р ф о р м у л а н и н г о п т и м а л л и г и
ҳ а қ и д а г а п б ў л ц ш и м у м к и н э м а с . Р а в ш а н к и , 
/( х) £ 0 ( Ь )
 
н и
/ М = / ( 0 ) +
[ / ' ( №
 
(7.3)
к ў р и н и ш д а ё з и ш м у м к и н в а а к с и н ч а , / ( 0 )
и х т и ё р и й с о н б ў л и б ,
/ ' ( х )
б ў л а к л и - у з л у к с и з в а 
1/'(х)
| < I б ў л с а , у ҳ о л д а ( 7 . 3 ) т е н г -
л и к
Д х ) £ С * ( 1 )
 
ф у н к п и я н и
а н и қ л а й д и . 
( 7 . 1 ) — ( 7 . 2 )
к в а д р а т у р
ф о р м у л а н и н г
/ ( х )
= с о п з ! у ч у н а н и қ л и г и н и ҳ и с о б г а о л и б , қ у й и д а -
ғ и г а э г а б ў л а м и з :

п

х
/ ? „ ( / ) » ]
/ ( х ) й х -
 2
 
А к/ ( х к)
= Г / ( 0 ) + Г 
/ ' ( № й х -
,

0 *- 


п
г 
ж* 

1 * 

п 
хъ
” 2 лм / ( 0 ) + 1 
\ ^ 1 \ ў ( т а х - ^ А к\ г т -
к =
 1 

0 0 
к
= 1 
0
0

А
=1
о
б у е р д а
_
ао
 
= Г 1 , а г а р
0 < / < л : А б ў л с а ,

' * 
7
\ 0 , а г а р
Х и К ^
б ў л с а .
Ш у н д а й қ и л и б ,
К пУ)~\т
\ —
 
1

2 А*
 (х * ~ /)0] л
|
г т
п№ ,
б у е р д а / С , / ( 0 ф у н к ц и я / ? „ ( / )
ц о лд а ц н и н г ядроси
д е й и л а д и в а у
қ у й и д а г и г а т е н г :
К п(*)
, — / ,
а г а р
к
/ + 2 Л . агар
1 — 
I,
 
агар
= 1 — / — 
2
Ак (Хк
— /)° **

к
= 1 

,
0 < / < М
б ў л с а .
< Я
а
+1
(& — 1, л — 1) бўлса, 
(
7
Д )
л:* < / < 1 
бўлса.
Ш у н и н г д е к ,
2 /1* (
ха
— 0 °
А-=1
1 ,
а г а р 0
^
б ў л с а ,
П
Як
«= 2
Л ’ а г а р
х к_х < ( < х к( к= 2/ п)
 
б ў л с а ,
0 ,
а г а р * „ < / < !
б ў л с а .
( 7 . 5 )
335
www.ziyouz.com kutubxonasi


(7.4) дан кўринадйки 
К п(*)
ядро 
/ ( х )
функцияга боғлиқ бўлмай,
балки фақат квадратур формуланинг тугунлари 
х /г
ва коэффициент-
лари 
Ак
ларгагина боғлиқдир. /(„ (/) нинг графиги бўлакли-чизиқли
бўлиб, 
Хи
тугунларда сакраши 
Аи
га тенг бўлган биринчи жинс
узилишга эга.
С 1 
(Ь)
функциялар синфида 
Нп
( /) қолдиқ ҳад учун

.
\Кп(Л
1 < ^ | |
Ка Ц)\<Н
 
,
0
баҳога эга бўламиз. Энди 
'
1
ЯП( С Ч 1) ) *= Ь 1 \Кп(*)\М
о
БКанлигини 
кўрсатайлик. Қуйидаги'
9 (X)
= 1
1
81§п К„ 
(1)](Н
0
функция бўлакли-узлуксиз ҳосила <р' (х) =
I
 81*§п 
Кп
 ( 0 га эга,
| <р' (х) | «
Ь ( х ф х и
), яъни у қаралаётгаи синфда ётади ва

1

(?)
 I = 1
1
51§п 
К п  
(0 • К„ (/) 
си
 =
I \
 | 
кп
 (01Л.

0
Бундан маълум бўладики, қаралаётгаи синфда квадратур формула
1
хатосини минималлаштириш қуйидаги ||/Ц ^ _[ 
\ / ( х ) \ й х
метрикада
1 о
1 — / функцияни (7.5) кўринишдаги функция билан энг яхши яқин-
лаштириш масаласига келтирилади. Энди
1
1 I 
Кп
 (/) | 
ни 
V
 
(/2
» • • • » 
Й
/ 1
 
> • • • > 
%п)
0
орқали 
белгилаб олиб, 
V (д2,
. . . , 
дп\ х и
. . . , 
х л) 

X, 
п хк
 
1
- 1 | Ц Л + 2 1
| 1 - * - ? * | Л + 1 | 1 - < | Л
(7.6)

А=2 
лгд
тенгликка эга бўламиз. Агар 
ци
ларни белгиланган деб олсак, у
ҳолда йиғиндининг 
к-
ҳади
хк
^ ( Я к ) 3*
1 I
1
1 — / — 
дк
 I 
сИ
336
www.ziyouz.com kutubxonasi


фақатгина ^ га боғлиҚ ва бу интегрални ҳисобласак, қуйидагига
эга бўламиз:
У(дк) =
агаР 1 -**_!< ?*►
[ ( 1 - ^ - ^ ) 5+ ( 1 - ^ - ^ - ! )2].
агар 1 
- х к+ д к< \ — х к_ и
\ { х к- х к_ у - { я к- 1 + х д [ х к- Х ь _ д ,
агар <7*< 
1 - х к.
Бундан эса,
У'(дк) =
Х ~ Хк-Ъ
— 2(1 
— дк) + х к + х к-
1*
-
( х - х к-г),
агар 1— * * _ ! < ? * ,
агар 1—
< 1 
—х к_и
а г а р ^ < 1 —

Охирги ифодадан фойдаланиб, 
V(дк)
ни минималлаштиришни ҳисоб-
га олсак олдинги ифодадан
и ш
V
 (?*) =
Т (хк
 — л ^ ) 2 
(7.7>
Ч
келиб чиқади. (7.6) нинг ўнг томонида 
V
(<
7
А) миқдорлардан таш-
қари яна уш бу ифода ҳам бор:
Х \
 

Г)
Г 
Г 

*? + (1— *л)2
З К 1 Л + 3 | 1 — 
1\(И = —
 
~2 
—- .

* п
 
,
Бундан ва (7.6) — (7.7) дан 
ш! 
V (д
2 , , 
.
. ,
. . . , х я)=*.
«
2
.
7 / ( <
Шундай қилиб,
1
> . . . , 
х п) = Х1 + (],
Хп) 
( х к - х к _ у .
к=2
Ш? 
V
(^2 I ■ > • > *^1 » • • • > ^й) :
I
=
ш! 
(7 (лг! , • . . , л:л).
Энди 
ҳосилаларни нолга тенглаштириб, қуйидаги чизиқли алгеб-
ихк
раик тенгламалар системасига эга бўламиз:
3-^1— 
Х а
П 
^ х п
— 2 — 
Х П—\ 
Х к —\

Х к - \ - Х к 
+
1



» 
2
(<6 = 2, я — 1).
Бу системанинг ечими эса
2к— 1
Хк а
 

п
( к = \ , п )
бўлиб,
ш 
и
 
( ^ 1
,
. . . »
х п)
“ 4^ •
* ...........
*п
22—2105
83?
www.ziyouz.com kutubxonasi


Шундай қилиб, қаралаётган 0 < л:, <
< . . . < д : л — 1 соҳа
ичида 
II (хи
. . . , 
х п)
нинг экстремал қийматини топдик, лекин
II (хи
. . . , 
х п)
ўзининг знг кичик қийматига бу соҳанинг чега-
расида ҳам эришиши мумкин.
Бевосита текшириб кўриш мумкинки, 
II (х
х , . . . , д:я) нинг
топилган қиймати унинг минимал қийматидир.
Бунинг учун 
'

п
к-=
 1
2п
2 п ^ Ь
к
= 1
Коши — Буняковский тенгсизлигида 
Ьх = х и Ь2 = Ь3 = - 2
 
,
а
— 
а
 

- 3 — х 2 
и
 
— 
и
 
__
х п
— лгл_ ! 
и
 
,
— 
°Ь
--- 
3
 
» • • • » 
°2п-1 
° 2 п- \
-------- 2----- » 
= 1 ---
Ха
деб олсак, у ҳолда 2
— .1 бўлиб,
2 л
1 ^ 2« 2
к = 1
к = 1
СКИ

4 7 г ^ 4 2 **— 
» • • • . *л)
А=1
1
тенгсизликни ҳосил қиламиз. Шундай қилиб, | |К Л( 0 !
Л1
нинг
минимал қиймати 
-т-
бўлиб, бу қийматга
4,*г
2
 
к-_ 
' ь ~ ~ 2 п
_ 2^ 

л 

Н" -**£—1 

к
 — 1
• < ------ — , 
Як
 — 1 — - 
о 
- I ------ —
бўлганда эришилади. Бу ва (7.2) дан квадратур формуланинг коэффи-
циентлари учун мос равишдаги қуйидаги қийматларга эга бўламиз:
Лл = А 1
= ?/— 9/+1==4 (7 = 2, л —1),
Д = 1 ~
<6=2
2
л *
Шундай қилиб, қаралаётган синфда оптимал квадратур формула
умумлашган ўрта тўғри тўртбурчак формуласи

к = 1
бўл и б, унинг хатолиги 
дан иборатдир.
3 3 8 ;
www.ziyouz.com kutubxonasi


Айрим ҳолларда оптимал квадратур формула қуриш пайтида б у
формула коэффициентлари ёки тугунларининг маълум шартларни
қаноатлантириши, масалан тугунларининг мунтазам тақсимланиши
талаб қилинади.
Энди [0,1] оралиқда узлуксиз, биринчи ҳосиласи квадрати би-
лан жамланувчи, ҳамда
1

0
шартни қаноатлантирувчи функциялар синфи 
С\
(7) ни қараймиз.
Бу синфнинг ҳар бир функциясини

Download

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   141   142   143   144   145   146   147   148   ...   186




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish