|
*} X
х —
1 нуқтадаги қийматкни умумлашган Симпсон формуласи би-
лан олти хона аниқликда топиш масаласини қарайлик,
Бу ерда аниқлик берилган е а в 0 , 5 - 1 0 _6 бўлиб, сўнгра унга
кўра умумлашган Симпсои формуласи учун тегишли
N
ни аниқ-
314
www.ziyouz.com kutubxonasi
лаш мумкин. Бунинг учун
81
л: нинг 4- тартибли ҳосиласини баҳо-
лаш керак. Равшанки,
51
П Х
X
1
| соз
ихйи.
о
Бундан
Ф I
$
1
пл:
й х *
\ л:
= 1
и
4
соз
ихйи
ва
й' /
зшл:
й х 1
\ л:
1
< |
и*йи
=
о
1
ЁГ1
ЭнДи (2.31) формулага кўра
N
қуйидаги тенгсизликни
тириши керак;
1
1
Ш-д 7Г*
~
< 0 , 5 - 1 0 - 6.
Э
қаноатлан-
Бундан эса
5 зканлигини топамиз. Шунинг учун ҳам
N
= 5
•учун 51(1) ни умумлашган Симпсон формуласи бўйича ҳисоблай-
миз. Жадвалдан фойдаланиб, қуйидагиларни топамиз:
•
у 0 — 1; У, = 0,968330;
у , = 0,993345;
у 3
= 0,985067;
у
4
= 0,973545;
у
6
= 0,958852;
у
6
= 0,941070;
у
7
- 0,920311;
у
3
= 0,866695;
у в = 0,870363;
у
10
= 0,841471.
Ниҳоят,
51
(1)
=
30
КУо
+ У ю ) +
4(У1
+ У з + • ■ • +
Уя)
+ 2 ( у 2 +
у4
+
+ . . . + у 8)] = 0,946082.
АслиДа 51(1) нинг олти хона аниқликдаги қиймати 51(1) = 0,946083,
Топилган ғиймат билан аниқ кнймат орасидаги охирги хона бир-
лигидаги фарқ яхлитлаш хатсси ҳисобидан келиб чиққан.
3 -§ . АЛГЕБРАИК АНИҚЛИК ДАРАЖАСИ ЭНГ
ЮҚОРИ
БЎЛГАН
ФОРМУЛАЛАР
1.
Гаусс типидаги квадратур формулалар.
Олдинги пара-
графда
п
нуқтали интерполяцион формула
Ь
п
|
Р(х)/{х)йх
« 2
А * Я х ь
)
(3.1)
.
а
1
нинг тугун нуқталари
\а, Ъ\
оралиқда қандай жойлашганликларидан
қатъи назар,
{п
—
1
)- даражали кўпҳадларни аниқ интеграллашли-
гини кўрган эдик. Чекли [
а, Ь\
оралиқ ва р(х
) = 1
учун Гаусс
қуйидаги масалани қараган эди:
х и х 2,
. . . ,
х п
тугунлар шундай
танлансинки, (3.1) формула мумкин
қадар даражаси энг юқори
бўлган кўпҳадларни аниқ
интегралласин. (3.1) формулада
п
та
315
www.ziyouz.com kutubxonasi
параметр-тугунларни махсус равишда танлаш йўли билан унинг
аниқлик даражасини
п
бирликка орттиришини кутиш мумкин. Ҳа-
қиқатан ҳам,
х и х и
.
. .
,
х п
тугунларни махсус равишда тан-
лаш орқали (3. Г) формуланинг даражаси 2
п
— 1 дан ортмайдиган
барча
/ ( х )
кўпҳадлар учун аниқ бўлишига эришиш мумкинлиги-
ни Гаусс кўрсатди. Кейинчалик Гаусснинг натижаси ихтиёрий ора-
лиқ ва вазн функниялари учун умумлаштирилди. Бундай формула-
лар
Гаусс типидаги квадратур фсрмулалар
дейилади.
Қулайлик
учун
Хи
тугунлар
ўрнида
тп(х) = (х
—
х х)(х
—
—
х/) .
. .
(х — х п)
кўпҳад билан иш кўрамиз. Агар
х к
лар маъ-
лум бўлса, у ҳолда
®п(х)
ҳам маълум бўлади ва аксинча. Лекин
Хи
ларни топишни
и>п(х)
ни топиш билан алмаштирсак, у ҳолда
биз со„(л:) ни илдизлари ҳақиқий, ҳар хил ва уларнинг
[а, Ь}
оралиқда ётишини кўрсатишимиз шарт.
1 -т е о р е м а . (3.1) квадратур формула даражаси 2
п
— 1 дан орт-
майдиган барча кўпҳадларни аниқ интеграллаши учун қуйидагн
шартларнинг бажарилиши зарур ва етарлидир: 1) у интерполяцион
ва 2)
&„(х)
кўпҳад
[а, Ь\
оралиқда
р(х)
вазн билан даражаси
и
дан
кичик бўлган барча (2(х) кўпҳадларга ортогонал бўлиши керак:
ь
I
р (х)и>п(х)<3(х)с1х
= 0.
(3.2)
а
И сбот. З а р у р и й л и г и . Фараз қилайлик, (3.1) формула да-
ражаси 2
п
— 1 дан ортмайдиган барча кўпҳадларни аниқ интеграл-
ласин. У ҳолда 2- § даги теоремага кўра у интерполядиондир.
Энди даражаси
п
дан кичик бўлган ихтиёрий (5(х) кўпҳадни олиб,
/ ( х )
=
м„(х)0_(х)
деб оламиз. Кўриниб турибдики,
/ ( х )
даражаси
2
п
— 1 дан ортмайдиган кўпҳад.
Шунинг учун ҳам уни (3.1)
формула аниқ интеграллайди:
Ь
п
I р
(х)шп(х)<3(х)ах
= 2
Ак ®п(х к Ш х ь
)•
а
к —
1
Бу ердан,
шп(хк
) = 0
(к =
1,
п)
ни ҳисобга олсак, (3.2) тенглик
келиб чиқади.
Е т а р л и л и г и . Фараз қилайлик (3.1) формула интерполяцион
ва
®п(х)
кўпҳад даражаси
п
дан кичик бўлган барча кўпҳадлар-
га р(х) вазн билан ортогонал бўлсин. Знди (3.1) формула даража-
си 2
п
— 1 дан ортмайдиган барча
/ ( х )
кўпҳадларни аниқ инте-
граллашини кўрсатамиз. Ҳақиқатан ҳам,
/ ( х )
ни
®п(х )
га бўлиб
Л х )
=
шп(х №(х )
+
г(х)
(3.3)
ни ҳосил қиламиз, бу ерда
(/(х)
ва
г(х)
ларнинг даражалари
и
дан кичик. Бу тенгликнинг ҳар иккала томонини р(л:) га кўпай-
тириб,
а
дан
Ь
гача интеграллаймиз:
ь
ь
ь
|
р(х)/(х)йх —
| р(л:)
<ап(х)(д(х)с1х
+ |
г(х)р(х)йх.
а
а
а
316
www.ziyouz.com kutubxonasi
Теорема шартига кўра ўнг томондаги биринчи интеграл нолга тенг,
иккинчи интеграл эса
ь
п
[ Р
[х)г(х)йх =
2
А к г(хк ),
а
к=
1
чунки
г(х)
даралсаси
п
дан кичик кўпҳац ва (3.1) формула интер-
поляциондир. Демак,
‘
Ь
п
|
с(х)/(х)йх =
2
Ак г (Хк
)•
а
к=*
1
Лекин, (3.3) га кўра
г ( Х к ) = / ( х к ).
Шунинг учун
ь
п
| р
(х)/(х)йх = ^ А к / ( х к ).
а
к—
1
Шу билан теореманинг етарли шарти ҳам исбот бўлди.
свя(х) кўпҳад
ь(х)
вазн билан
\а, Ь\
оралиқда даражаси
п
дан
кичик бўлган барча кўпҳадлар билан ортогонал ва бош коэффи-
циенти бирга тенг бўлганлиги учун, 6 - боб натилсаларига кўра,
бундай
^п(х )
кўпҳад ягона ҳамда унинг илдизлари
ҳақиқий, ҳар
хил ва
[а, Ь
] оралиқда ётади.
Демак, агар
р(х)
вазн
[а, Ь\
оралиқда ўз ишорасини сақласа,
у ҳолда ҳар бир
п =
1, 2, . . . учун 2« — 1 даражали кўпҳадни
аниқ интеграллайдиган ягона (3.1) квадратур формула мавжуд.
Қуйидаги теорема (3.1) формуланинг энг юқори аниқлик даражаси
2 п
— 1 эканлигини кўрсатади.
2 -т е о р е м а . Агар
р(х)
вазн
[а, Ь\
оралиқда
ўз ишорасини
сақласа, у ҳолда
х к
ва
Ак
лар ҳар қандай танланганда ҳ а м ( 3 . 1)
тенглик 2й-даражали барча кўпҳадлар учун аниқ бўла олмайди.
И сбот. Квадратур формуланинг тугунларини
х и
✓V
у
* ■ * ^
УС
12
лар орқали белгилаб, қуйидаги
/ ( х ) = ч>1(х) =
[(л — * ,) ( * —
Х2) . . . (х — х п)\>
2й-даражали кўпҳадни қараймиз.
Кўриниб турибдики, (3.1) формула бу кўпҳад учун аниқ эмас,
чунки
ь
|
р(х)ц>2
п(х)йх
> 0
.
О.
ва ихтиёрий
Ак
козффиниентлар учун
2
Ак < ( Хк)
- °-
к=1
’ •
2.
Г а у сс тинидаги квадратур ф ор м ула коэф ф ициентлари-
нинг хоссаси , Гаусс типидаги квадратур формуланинг барча
коэффициентлари
А к
мусбатдир. Ҳақиқатан ҳам, 2« — 2 даражали
Л х )
= Ф
I, п(х )
' шп ( х )
I 2
/х^^Хк.
317
www.ziyouz.com kutubxonasi
кўпҳад учун қуйидаги
'ф
к, п
( + ) =
0, агар
] ф к ,
<»'п{Хк),
агар
7
- = А
тенгликлар бажарилиши аёндир. Бу кўаҳад учун Гаусс
формула аниқдир:
'
типидаги
| Р(*)ф£
п(х)йх
=
Ак [ип(хк
)]2.
а
Бундан:
ь
|
9(х)ю\(х)йх
Ак = а
— ,
------------- .
;
I
(3.4)
Ў з навбатида бундан барча
А к
ларнинг мусбатлиги келиб чиқади.
3. Г аусс типидаги квадратур ф орм уланинг қолдиқ ҳади .
3 -т е о р е м а . Агар
[а, Ь
] оралиқда
/ ( х )
функция 2«-тартибли
узлуксиз ҳосилага эга бўлса, у ҳолда шундай | £ [ а ,
Ь[
нуқта
тогшладики, Гаусс типидаги квадратур формуланинг қолдиқ ҳади
Ь
П
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
