|
дан фойдаланиш мумкин. Фараз қилайлик,
/(х)
нинг ҳосилалари
/
{к)(х
,) ни
XI (1 = 0, п)
нуқталарда / 0,
/ и
. . . ,
/„
лар орқали
ифодалаш керак бўлсин. Бунинг учун изланаётган формулани
П
'
.
/ < ^ ) =
2
^ / / + / ( / )
1=0
шаклда ёзамиз ва
С{
ларни шундай
танлаймизки, у л-даражали
кўпҳад учун аниқ формулага айлансин, яъни
У(х) =
1
,
/(х) = х - х ь , /(х) = (х — ли ) \
. . . ,
/ (х ) = (х —
*,)»
бўлганда /?(/) = 0 бўлсин. Бу шартлар бизга
с{ (1 = 0, п)
ларга
нисбатан
п
+
1
та чизиқли алгебраик тенгламалар системасини бе-
ради.
М и с о л.
/ ' ( х 3)
ни
/ ( х )
нинг
х 0, х
0
+ Н, х
0
+
2
к , х
0
+ 3
Н, х
0
+ 4Л нуқ-
талардаги / 0,
/ ъ
/ 2, / 3,
/ 4
қийматлари орқали ифодалаймиз.
.
Е ч и ш. Бунинг учун
/'(Хц) — со/о
+ С
1/1
+ сгА +
с/з
+ с / *
.
тенгликка кетма-кет
/ ( х )
=
1
,
/ ( х )
=
х
— ху,
/ ( х ) = ( х — х 2) 2, / ( х )
=
( х
—
—
х / ) ъ , / ( х )
= (х — х
2) 4
ларни қўямиз:
с о + С 1 + с з + с з + С 4 = 0 ,
— 2
Нс
0
— Лс
4
+
Нс ъ
+ 2 йс
4
= I,
4Д
2
с
0
+
Н Ч г
+
Н Ч Ъ
+ 4
Н?с„
= 0,
—
8
Н Ч
0
—•
Н?сх
+ А
3
с
3
+ 8
й
3
с
4 = 0,
16
Н Ч
0
+
й
4
с
4
+ А
4
с
3
+ 16А4
с
4 = 0.
Соддалаштирсак,
( 1 )
с 0 + С1 + С2 + С3 + С4 ~
(
2
) —
2
с
0
— с
4
+ с
3
+ 2
с
4 =
-
(3) 4с
0
+
С1
+ с
3
+ 4
с
4
= 0,
(4) —
8
с
0
— с
4
+ с
3
+ 8
с
4 = 0,
(5) 16с0 + с
4
+ с
3
+ 16
с
4 = 0
ҳосил бўлади.
Бу системани ечиш учун (3) тенгламани (5) тенгламадан айирамиз, унда
с
4
= — с
0
га эга бўламиз, кейин с
4
= — с
0
ни (3) га қўйиб, с
3
= — с^ ни топа-
255
www.ziyouz.com kutubxonasi
миз. Буларни (1) ва (4) ларга қўйиб, с
2
= 0 ва с
3
==
8
с
4
ларни аниқлаймиз.
Ниҳоят, буларни иккинчи тенгламага қўйиб,
1
8
с*~
с° ~ \2Н’
сз = —с
1 ~ 1 2
н
ларии топамиз. Ниҳоят
'
Г ( х , )
- + ( / 0 - 8Л + 8 / , - / * )
келиб чиқади. Бу эса Лагранж формуласи ёрдамида аввал топилган ифода би-
лан қолдиқ ҳадсиз устма-уст тушади.
1. Агар
=
исботланг:
М АШ Қ Л А Р
п
X
—
X ]
П
——
бўлса, у ҳолда қуйидаги айниятларни
/ =
0
,
1+1 Х1 ~ Х1
а )
Ооп(х)
+
+ • • . +
Япп(х) —
1.
®)
х 0
Оо
п ( х )
+
Х ^ 1п( х )
+ . .. +
Х ^ 0 „ „ ( х )
=
х п ,
п
В) 2 (•*/ — *)*
=
0,
к
= 1, 2, . . . ,
п ,
1=0
2. Айниятни исботланг:
П
II
X
—
X ]
/=о,
}*1 х1 — Х1
1 +
У . П — ■■■■* * - -1
к=
1
Х
0
- Х к
3. Қуйидагини исботланг:
п
1
=
0
(—
1)<_1
—
т
рт
-\-1
Кўрсатма. Ушбу
( т + п —
2
)!
( п
—
\ ) \ т \ '
ў ( х ) = ~ ( т
— х ) ( т
—
1
т \
— х ) . . .
(2
— х )
функцияга Лагранж формуласини қўллаб,
х
0
—
0,
Н
= 1,
х
=
т
+
п
деб олиш
керак.
4. Лагранж интерполяцион кўпҳадидан фойдаланиб, қуйидаги формула-
ларни келтириб чиқаринг:
2
к=
0
1\п
—к
---------
Ск Ск
1
--------
( т
>
п ) ,
т
—
п
б)
2л
< - н
к
— 0
п—к -
_
/-'к.
/ ~ ' к
_
к
т
п ~
т
т
—
п
п
— 1
( т
>
п ) .
5 .
Фараз қилайлик,
Р ( х )
=
а
0
х п
+
а хх п
1
+ . . . +
а п
ва 5
0
= 0,
8
т ••
т
—1
2
Р ( ч )
бўлсин.
^=0
к
256
www.ziyouz.com kutubxonasi
Қуйидаги
5 т
=
тР{
0) +
С 2
тАР{0)
+ . .. + С^+1Д”Р(0)
теигликни кўрсатинг.
( Э с л а т м а . Дп+15 т =
АпР{т) =
тенгликдан фойдаланинг.)
6. Олдинги масаладаги формуладан фойдаланиб,
т
— 1
т
— 1
т
— 1
2
' 1-
2
"
%|=0
>=0
м=0
йиғинднлар учун формулалар чиқаринг.
7. Ихтиёрий 2
п + 2 та х 0, х,, . . . , х п ва с0, сь . . . , сп сонлар берил-
ган бўлсин. Даражаси
п дан ортмайдиган ва қуйидаги
Р{х0) — с0, Р (-+) = сь . . . , Р^ '{хг!) = сп
шартларни қаноатлантирувчи ягона кўпҳад қуриш мумкинлигини исботланг
ва
Р{х) кўпҳаднинг ошкор кўринишини аниқланг.
8. Уш бу Дагс!^-*
агс(2
1 +
х +
тенгликдан фойдаланиб,
агс(£
п =
о
1
1 +
п + я3
71
~2
тенгликни исботланг.
9. Лагранж интерполяцион формуласидан фойдаланиб, иккинчи ҳосила
учун қуйидаги 5 нуқтали
/ " ( Х 2)
= ^
( -
2/о
+
32Л - 6 0 /2
+
32/3 - 2 / 0
+
^
/
У 1 ( £ )
формулани келтириб чиқаринг.
10. Бессел формуласидан фойдаланиб, қуйидаги сонли дифференциаллаш
формулаларини келтириб чиқаринг:
1
.
1 ,
(2!)2
-
Г ( х 0)
= - (^4 - - /03 +
- • • •).
Г ( х 0) =
^ ( /о - ^ / о + -. •)>
1
о
3!(I2 + 22)
.
Г
" ( х
0) = - (,х / 3 -
+ . . . ) .
5!
11. Олдинги машқдаги формулани аниқмас коэффициентлар методи би-
лан топинг.
12. Стирлинг формуласилан фойдаланиб, сонли дифференциаллаш учуи
қуйидаги формулаларни чиқаринг:
Г(хо)
=
Т ( / \ - ~ У - / \ + ~
< +
~
< + ...).
/ ”(Х0) = - (р/.,.
^ ^ У .+ 1 • •)•
<
+ •••).
17—2105
257
www.ziyouz.com kutubxonasi
€ - Б О Б .
ФУНКЦИЯЛАРНИНГ ЯҚИНЛАШИШИ
1- §. МАСАЛАНИНГ ҚЎЙИЛИШИ
Фараз қилайлик,
Ф0(л),
ф
Қ
х
),
. . .
,4>т(х )
етарлича силлиқ
ва
дисоблаш учун қулай бўлган чизиқли эркли функциялар система-
си бўлсин. Бу функциялардан тузилган
'
чизиқли комбинация
(с0, си
. . . ,
ст
— доимий сонлар) умумлаш-
ган кўпҳад дейилади. Олдинги бобда, берилган
/ (х )
функцияни
янтерполяциялаш йўли билан
Р т(х)
орқали тақрибий равишда ал-
маштириш масаласини кўрган эдик. Аммо шуни ҳам таъкидлаб
ўтиш лозимки, қатор масалаларда функциянинг бундай тақрибий
тасвирланиши мақсадга мувофиқ бўлавермайди. Биринчидан, ту-
гунлар сони кўп бўлса, у ҳолда интерполяцион кўпҳадларнинг
:ҳам даражаси ортиб боради, лекин бу яқинлашишнинг сифати,
дар доим ҳам яхши бўлмаслиги мумкин. Иккинчидан,
/(х)
функ-
шиянинг тугун нуқталардаги қиймати бирор тажрибадан аниқлан-
ган бўлиши ҳам мумкин, у ҳолда табиий равишда бу қийматлар
тажриба хатосига эга бўлиб, у иятерполяцион кўпҳадга ҳам таъ-
сир қилади ва шу билан функциянинг ҳақиқий ҳолатини ҳам бу-
з и б кўрсатади.
Қандайдир маънода бу камчиликлардан холи бўлган ўрта ква-
дратик яқинлашувчи кўпҳадларни тузиш билан шуғулланиш мақ-
«адга мувофиқдир. Шундай қилиб, биз функциялар учун ўрта
■хвадратик маънода яқинлашиш масаласи қўйилишининг мақсадга
шувофиқ эканлигига ишонч ҳос-ил қилдик. Бу масала қуйидагидан
шборатдир:
[а, Ь\
оралиқда аниқланган
/ ( х )
функция учун (1.1)
жўринишдаги яқинлашувчи шундай
Р т(х)
кўпҳад топилсинки,
аф ода мумкин қадар энг кичик қийматни қабул қилсин.
Агар (1.2) интеграл кичик қиймат қабул қилса, бу шуни бил-
дирадики,
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
