Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

деб олишимиз мумкин. Одатда х (1) векторнинг бир неча коорди-
наталари нолдан фарқли бўлади. Шунинг учун (9.7) да нисбатни
I
нинг бир неча қийматида ҳисоблаш мумкин. Агар бу нисбатлар
187
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

етарли аниқликда устма-уст тушса, у ҳолда биз X, ни етарли
аниқлик билан топган бўламиз. Равшанки, бу жараённинг яқин-
лашиш тезлиг.и р
-2
нинг кичиклигига боғлиқдир.
Э с л а тм а. Юқоридаги итерацион жараённинг яқинлашишини тезлашти- 
риш учун айрим ҳолларда қуйидаги матрицалар кетма-кетлигини тузиш фой- 
далидир:
А2 =
А - Л ,
" 
Л* = Л
2
-Л
2
,
Аа
=
А*-А\
.
А-2т —
 Л
2
Я
1
-
1
-Л
2
 
т~\
Бу ердан эса 
к — 2т
деб олиб,
ў(к)
^
А к~ут
ва
ў(*-Н
) = А у{к)
.
га эга бўламиз.
_ 
Топилган энг катта хос сон 
га мос келадиган хос вектор сифатидз 
ни олишимиз мумкин. Ҳақиқатан ҳам, (9.2) формуладан
у{к)
=
Ь ^ х ^
+ ^
Ь ў к х {1)
■ 
. 
/ = 2
га эга бўламиз. Бу ердан
I
/ = 2
Агар биз Р -/Г 7^0 эканлигини ҳисобга олсак, у ҳолда етарли аниқлик билан
у к)
*
Ь,1к х {1)
га эга бўламиз, яъни 
у {к)
хос вектор лг(!) дан сонли кўпайтувчи билан фарқ 
қиляпти ва, демак, у 
хос сонга мос келадиган хос вектордир.
М и с о л. Қуйидаги
А
=
5
— 1 0 ‘
1
3
1
0
1
1
матрицанинг энг катта хос согш ва унГа мос келадиган хос вектори топилсин.
Е ч и ш. Дастлабки _у(0) = (2, —1, —1)' векторни олиб, унинг итерация- 
сини ҳосил қиламиз.
Натижа 16-жадвалда келтирилган. 
.
16- жадвал
!
У
А у
А*ў
А 3у
А ‘у
А ‘ у
А ‘у
| 
.
2
11
61
3 3 6
1 8 4 2
10071
5 4 9 8 1
2 9 9 9 1 6
— 1
— 6
— 31
— 162
— 861
— 4 6 2 6
— 25 0 1 1
— 1 3 5 7 0 2
— 1
— 2
— 8
- 3 9
— 291
- 1 0 6 2
— 5 6 8 8
— 3 0 6 9 9
188
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

давоми.
Л8у
Л+
Л‘~у
А"у
Л,5ў
1635288 
—737711 
— 166401
8914131
—4015822
—904112
48586477
—21865709
—4919934
264798094 
— 119103538 
—26785643
1442094008 
—648894351 
— 145889181
Итерацияни шу ерда тўхтатиб
Я 12’ 
1442094008 
„ 
648894351 
р
■^ТТГ) =
264798094 ~ 5-4460; 
у(П) - 11910з538 - 5,4481;
, 
Ўз12> 
145889181 
„
уОП 
26785643 - 5>440°
га эга бўламиз. Демак, Х^ нинг тақрибий қиймати
Л. = — (5,4460 + 5,4481 + 5,4400) = 5,4447 « 5,445 
3 
.
га тенг. 
А
матрицанинг биринчи хос вектори сифатида
“ (
12
) =
1442094008" 
—648894351 
— 145889181
ии олишимиз мумкин. Бу векторни нормаллаштиргандан сўнг
= (1; — 0,46; — 0,10)'
келиб чиқади. 
-
2 - ҳ о л .
А
матрица хос сонининг модули бўйича энг каттасй
каррали бўлсин. Фараз қилайлик,
= к ~~
N > 1 ^ + 1 1 + |^ + 2 | >
> |Х„[
бўлсин. Бу ҳолда (9.5) тенглик қуйидаги кўринишга эга
у
\к + 0 
(си + . . . +
с1$)1к+1
+ <+ , +1 Х*+5 + . . . + СглХ*+1
<*)
(<+ + . . • +
^+1 Х^+1 + . . . +
с1пХп
Бу ерда ҳам 
сп
+ . . . +
с15 ф
 0 деб фараз қиламиз ва
бўлади:
. 
(9.8)
<%п
—•
Сц
Сц
 + • - - +
С{5
(у > 5 ) , [Қ/ = г белгилашларни киритиб, (9.8)
ни қуиидагича езамиз:
УГ"'
 
. 
% 1+ а1.
,+
11
+ + ! + ••• + ^ п
+1
 ^
у \ к)
 
1 1 +
5+1 р.*+1 + . . . + +>+*
Бундан эса, р*+1^
0 ни ҳисобга олиб,
У\
.<*+ 
1
)
( А )
• о 
(К-н!*)
189
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

га эга бўламиз. Шундай қилиб, юқорида келтирилган жараён б у
ерда ҳам ўринлидир. 1) ҳолдагидек 
А
матрицанинг + хос сонига
мос келадиган хос вектор сифатида тақрибий равишда 
у'-к)
ни оли-
шимиз мумкин. У^муман айтганда, бошқа дастлабки у (0> векторни
танлаб бошқа 
А к
у (0> хос векторга эга бўламиз. Шундай қилиб,
+ га мос келадиган бошқа хос векторларни ҳам топиш мумкин.
3 - ҳ о л . Фараз қилайлик, 
А
матрицанинг хос сонлари қуйидаги
шартларни қаноатлантирсин:
+ = • • • = + = — + + 1 = . . . = —
К + р
ва 
.
|>
1
1 = . . • = |++р| > + + р
+1
| > . . - > |ЛЯ|.
Бу ерда юқоридаги итерацион жараённи қўллаб бўлмайди. Ҳақи-
қатан ҳам, (9.3) тенгликни қуйидагича ёзиш мумкин:
у\к) = (&
1
ХП
+ • • • +
Ьгх
1
г)‘"\
 +
фг+
1
х
1
,
 г
+1
+ . . . +
-\-Ь г+рх 1, г+р ) ( —
Л ))А +
Ьг+р+1 х 1, г+р +1^к+р +1
+ . . . +
ЬпХ 1пкк
= »
=
й п \ к
+
й,
1
,
г + Ҳ — 1 ) + А +
&1, г+р+1>'к+р+х
+ . . • + о Д Х А.
Бу ерда 
йц1к
 
ва + , г+] (— 1)+ А ҳадлар бир хил тартибга эга бў-
либ, 
к
нинг ўзгариши билан иккинчиси ўз ишорасини ўзгартира-
ди. Демак,
• 
у \к)
нисбат 
к-^-оо
да лимитга эга бўлмайди. Лекин бу ерда 
у\2к)
ва
у(
2
к+
2
)
ёки -у<
2
*—и ва у<
2
*+
1
) дан фойдаланиб, 
Ц
 ни топишимиз мумкин:
у(
2
А+
2
) 
.
""‘(2к)~
=
Ч
+ 0 (|Р'*+Р+1 I2*)-
У1
у(
2
/е+
1
)
- + = т у = х ° +
0
( к +р+
1
п .
, 
У{
Шундай қилиб, бу ҳолда 
А
матрицанинг модули бўйича энг кат-
та хос сонини топишимиз мумкин. 
А
матрицанинг Х^ ва — X, хос
сонларга мос келадиган хос векторларини топиш учун 
у<к+1)
+
+
\ у ( к)
ва у (А+1> — 
\ ху<-к)
векторларни тузамиз: 
-
ў /н -
1
) +
=
2
Х*+
1
(+Зс(1> + . . . +
Ьгх<г))
+ (Хг +
+
К + р + 1 ) Ь г + р + 1 К + р + 1 Х { Г + Р ^
)
+ • • • +
(*1
+
К К Ь пх { П )
=
=
\\к^ [ 2 ( Ь хх ^
 + . . . + + + > )) +
0
(|^ + Р+
11
*)], : ■
 
:
ў++1) -
1 & к)
= (— Х1)*+1[2(++1;с(г+1> + . 
+
Ьг+рХ^+Р))
 +
+ ° (
1
++ Р
+1
 ]*)]•
190
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

А
матрицанинг Х
4
хос сонига 
Ь^х^
+ . . . +
Ьгх (г)
хос вектор
ва — X, х о с сонига 
+ +
1
Х(г+1) + . . . +
Ьг+рХ 'г+р)
хос вектор мос
келади. Шунинг учун ҳам, X, га мос келадиган хос вектор сифа-
тида у<А+1> + Х,у<*> ни олишимиз мумкин. Агар г ва 
р
ёки бу-
ларнинг бирортаси бирдан катта бўлса, у ҳолда бошқа дастлабки
у<°> векторни танлаб шу жараённи такрорлаш керак.
4 - ҳ о л . Бу ҳолга 
А
матрицанинг модули бўйича энг катта хос
сонлари қўшма комплекс бўлган ҳол ёки модуллари билан ўзаро
жуда яқин бўлган ҳол киради. Фараз қилайлик, X, ва Х
2
хос сонлар
қўшма комплекс сонлар бўлиб, қуйидаги шартни қаноатлантирсин:
М = М > 1 У > • • - > М -
Бу ҳолда, қуйидаги тақрибий тенгликларнинг ўринли эканлигига
осонгина ишонч ҳосил қилиш мумкин:
у {к)
 
р
* 
Ь ^ х {1)
 +
Ь21&{2),
ў (А+1) » +Х?+1* (1) +
Ь212+1 
х
{2),
(9.9)
у к+2)^ ь , А +2* {1) + ь 4 +2х {2).
Демак, бу векторлар орасида қуйидаги тақрибий чизиқли боғланиш
мавжуд:
ў (6+2) _ (X, + хй) 
у к+1)
+ Х+Ў+) =
0
.
Агар ҳисоблаш жараёнида 
У(к),
у<*+1>, у<*+2> векторлар орасида
~ А +
2
) 
<ру(*> =
0
 
(
9
.
10
)
чизиқли боғланиш ўринли бўлса, у ҳолда Хх ва Х
2
лар
д
2
 + ри +
<7
 = 0 
( 9. П)
квадрат тенгламани қаноатлантиради. Бу тенгламанинг 
р ва д
коэффициентларини қуйидаги мулоҳазалар ёрдамида топиш мумкин.
(
9
.
10
) тенгликда компонентларга ўтсак,
у
(*+» +
ру
1
*+
ч
 + , у « =
о
,
, / * + » + р у Г » + 9 у ) в = 0
бўлиб, 
деб оламиз. Бу ердан 
р
ва 
ц
ни топиб, (9.11) га
кўйсак, у ҳолда (9.11) ни қуйидагича ёзсак бўлади:
У{1к) 
_
 
___
=я 0 (/, у = 1 
,п\ 1 ф } ) ,
 
(9.12)
у {к) ■
и
у<*+1> у<.4+1>
Ц
2
у(*+
2
) у(*+
2
)
(9.11) тенгликдан X, ва Х
2
топилгандан кейин уларга моо келади-
^ан хос векторларни ҳам топиш мумкин, (9.9) дан
у {к+1) 
-
х4ў (Л) 
=
ь
2\ к2
(Х2 - Х,)х<2),
, 
ў (А+1) 
-
1ау {к)
 -
ь у ^ —
 Х2) 
х {1)
191
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

га эга бўламиз. Бу натижаларни, модуллари тенг ёки яқин бўл-
ган хос сонларнинг сони бир жуфтдан кўп бўлган ҳол учун ҳам
умумлаштириш мумкин. 
•
М и с о л. Қуйидаги
г
2
— 1
— 1
— 1 
-
А =
7
5
2
4
0
1
3
2
_ 1
0
1
0 
_
матрицанинг модуллари бўйича энг катта хос сонлари ва унга мос келадиган 
хос векторлари топилсин.
Е ч и ш. Қуйидаги у (0>= ( 1 ,1 , 1, 1)' векторни олиб унинг итерациялари- 
ни ҳосил қиламиз. Бу итерациялар 17- жадвалда келтирилган.
17- жадвал
- + )
А у
А
2
у
А
3
у
Л 4у
А
5
у
А ' ‘ у
Л ' 
у
Л» 
у
А " у
1
— 1
— 28
— 204
— 1072 — 4496
— 14528
— 6304
120126
1079100
1
18
103
419
1181
801
— 17857
— 160433 — 789083
— 3162093
1
6
40
233
1142
4665
— 14936
2 7 2 8 9
— 70750
— 9 5 9363
1
2
5
12
29
70
169
408
209 8 5
493 7 6
Бу жадвалдан кўриниб турибдики, итерациялар кетма-кетлигининг мос равиш- 
даги компонентларининг нисбатлари тартибсиз равишда ўзгаряпти, ҳатто, 
ишоралар алмашиниши рўй бермоҳда. Бу эса комплекс илдизларнинг мав- 
жудлигидан далолат беради. Энди 
ва Х2 комплекс хос сонларни топиш 
учун (9.12) тенгламани тузамиз:
'1