|
с]и В^
—
А^
с]\ Е,
А я
=
АВи
—
2
^ = ?
2
>
В2
=»
А 2
д2 Е,
А - П
- 1
=
А В п _ 2 ,
п — \
— ^я-1>
^ п - 1
— -^« -1
Я п - 1
л „ = л в „ _ „ + ! =
' Яп
>
Вп
А п
<]п Е.
(
6
.
1
>
Б у ерда қуйидагиларни исботлаймиз:
З)
?1
= Р г
?
2
= Р
2
, • • • >
Яп^Рпг
в)
Вп
ноль матрица;
в) агар
А
махсусмас матрица бўлса, у ҳолда
Рп
Математик индукция методи билан аввал а) ни исботлаймиз. Рав-
шанки,
рх = {гА = д^.
Энди фараз қилайлик,
Ц \ = р и Яа — Ри
. . . ,
дк_ х
=
рк_\
бўлсин, у ҳолда <
7
* =
р к
эканлигини кўрсатамиз.
(
6
.
1
) дан ва юқоридаги фараздан қуйидагини ҳосил қиламиз:
А к
=
А к
-
ях
Л А" ‘ - ...
- Я к- 1 А = А к — Р \ А к2 х—
- Р
а
- 1
А.
www.ziyouz.com kutubxonasi
1
г
Л
л
= &9
а
= 1
г
Л* —
рл
1г
А к~>
— . . .
— рь_ х\тА
=.
“
Р
\ $ к ~
\
• • • —
Р к - \ $ 1 -
Бу ердан Ньютон формулалари (5.3) га кўра
к(]ь
=
крь,
яъни
уь
=
-= р А. Бу гса биринчи тасдиқни исботлайди.
Иккинчи тасдиқни исботлаш учун Гамильтон — Кели теорема-
сидан фойдаланамиз:
= Ап — РпЕ = А п — Р\ А п~1
— . . . —
рп Е
= 0.
Бу тенгликка кўра
Ап = рпЕ,
(
6
.
1
) дан эса
А п = А - В п_^
Демак,
Д е м а к ,
’
Л - 1 =
В п- \
Рп '
Шу билан учинчи тасдиқ ҳам исботланди. Юқорида ҳосил қилин-
ган
Ап—р пЕ
тенглик контроль вазифасини бажаради, агар
Ап
мат-
рица скаляр
рп Е
матрицадан қанча кам фарқ қилса, ҳисоблаш
■шунча яхши олиб борилган бўлади.
М и с о л. Қуйидаги
А
=
1
2
. 3
2
3
1
2
2
1
матрицанинг хос кўпҳадини ва
А~\
ни толамиз.
Е ч и ш. (6.1) формулага кўра
* 1
2
3 '
г—2
2
3
'
2
1
2
,
Р,
=
3,
5,
=
2
— 2
2
. 3 2
1 .
1 з
2
- 2
'
II
03
II
' 11 4
1 '
4 6
4
.
Р-2
= 14, В2 =
[1
1 ОО
.£>
.
1 '
4
.
.
1 4 11 .
1
1
4
- з .
=
8
0
0
1
0 8 0
0
0
8
)
Демак,
Рз = 8
бўлиб,
ва
Рз
(X) = Ҳз —
3
X
2
— ] 4 х — 8
Л
- 1
=
3
1
1
'
8
2
8
1
1
—
1
1
1
1
1
3
8
2
~
8
Энди хос векторларни топиш масаласини кўрайлик. Юқорида
аниқланган
Вх, В3,
. . .
, В п_ х
матрицалардан фойдаланиб,
(
2
( Х ) - , Х » - ‘ ^ + Х » - * 5 1 + Х » - з 5 а + . . .
+ в аш1
180
www.ziyouz.com kutubxonasi
матрицани тузамиз. Агар
Л
матрицанинг барча X,, Х2, . . . , Х„ хос
сонлари бир-биридан фарқли бўлса, у ҳолда (
2
(Хд.) матрицалар ноль
матрица эмаслигини кўрсатиш мумкин. Энди
0
(ХА) матрицанинг
ҳар бир. устуни
А
матрицанинг Хй хос сонига мос келадиган хос
вектордан иборат эканлигини кўрсатамиз.
_ _
Ҳақиқатан ҳам,
В } —
— р^Е
( у = 1 , я ) в а Х А хос кўп-
ҳаднинг илдизи бўлганлиги учун
(ХЙ£ - И ) С ( Х Й) =
=
(Хк Е
—
А)
( ХГ
1
Е +
В,
+ . . . + хй
В
п_ 2
+
В
п_ ,) =
=
К Е
+ X*
1
(Ву
—
А)
+ . . . + Хй
(В,
—
А В п_ 2)
—
АВп_ г =*
=
( 4 — Рх
а
Г
1
— . . . —
Рп)Е
яъни
бундан эса
ёки
(Х
а
£ - А ) 0( Хй) = 0,
(ХА
Е — А ) х
шт
0.
А х = \ кх
келиб чиқади, бу ерда х: вектор <3 (Хй) матрицанинг ихтиёрий ус-
туни. Албатта, хос векторни топиш учун
0.
(Х4) матрицанинг ҳамма
устунларини эмас, балки унинг бирор устунини топиш кифоядир.
<3 (Хл)
матрицанинг
и
устунини қуйидаги рекуррент формуладак
аниқлаш маъқулдир:
'
и0
=
е,
= ХА
1
+
,
бу ерда
Ь( Вг
матрицанинг бирор устуни бўлиб,
е
эса бирлик мат-
рицанинг шу номерли устунидир. Бу ҳолда
—
Ц,
д 11
7- §. НОАНИҚ КОЭФФИЦИЕНТЛАР МЕТОДИ
Характеристик кўпҳадни ёзиш мураккаб масала эканлигини ай-
тиб ўтган эдик. Ноаниқ коэффициентлар методи манашу мураккаб
масалани анча содда масалага, яъни
О
(X) = (1е1
(А
— X
Е)
ни X =
=
0
,
1
, . . . ,
п
—
1
қийматларда ҳисоблаш ва битта сонли матри-
цанинг тескарисини топишга олиб келади. Олдинги бобдаги ме-
тодларнинг бирортасини қўллаб,
0(0), 0(1), . . . , 0 ( п —
1
) ни
ҳисоблаймиз, натижада хос кўпҳаднинг
ри р2, . . . , Рп
коэффи-
циентларини топиш учун қуйидаги чизиқли алгебраик тенгламалар
системасига эга бўламиз:
Рп —
(— I
)4-1
Е>
(0),
(—\)п ( \ п
— р, •
\ п~х — р г
1 я“ 2
—
• (—
1
) ’?
(2п
—
р^-2п~'
—
р2 2п~2 —
- Р п ) = * 0 (
1).
— Рп) = 0 (
2),
(7Л)
. (—
\)п( ( и - \)п— р 1(п. — \)п~1— р2(п — \)ч~*— ... — рп) = 0 ( п —\ ) г
181.
www.ziyouz.com kutubxonasi
Б у ердан эса
Л + Р » + • • • + Р „ - 1 ” 1 + ( - 1 ) " Р ( 0 ) - Д ( 1 ) ) ,
Р1-2п~ 1
+ Ра-2”-3 + ... + Рл-,2 =2" + (—1)я (£>(0)—2>(2)), (7.2)
Р1(я—1)Я"1+Ря ( й - 1 ) ч“2 + ••• + Рл-1 (л— 1) = (л—1)л+
+ ( -
1
Г( £>(
0
) - £ > ( / х -
1
)).
Бу системани ечиб, хос кўпҳад коэффидиентлари
р и р2,
ши
топиб оламиз. Қуйидаги матрица
Г
1
1
. . . 1
т
2П-1
2П-1
. . .
2
ВП
- 1
==*
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(л—I)»-1 («—I)"-2 ! . ! Я—1.
ва
Р*
Г 1 + (-1 )» (£ > (О )-0 (1 )) •
-1
\ Р\ ~\
2" + (— 1)” (£>(0)-Я(2))
—
Р
2
Р
=
1 ( я - 1 ) “ + ( - 1)"
( 0
(0)
-
Ь(я—1) ]
»
^
Рп
-1
векторларни киритиб, (7.2) системани матрицали тенглама шаклида
ёзиб оламиз:
Б ундан эса
Вп-\ р
= с?.
р =
Вп1х й
.
(7.3)
Шуни ҳам таъкидлаб ўтиш керакки, бу метод билан бир нечта
/бир хил тартибли матрицаларнинг кўпҳадини топиш қулайдир,
тескари матрица фақат характеристик детерминантнинг тартибига
'боғлиқ бўлиб, уни олдиндан топиб қўйиш мумкин.
М и с о л. Куйидаги
—1
2 2
0 '
2
1 3
2
2 — 1 2
3
0
2
1 —2 .
матрицанинг хос кўпҳади топилсин.
Е ч и ш. Гаусс методи билан аввал
' 1
1
1 '
Яз
ек
23
22
2
. Зз
З2
3 .
матрицанинг тескарисини топамиз:
1
1
1“
2
— 2
6
5
“ 2
2
"
1
" 2
3
1
.
3
~ 2
3
182
www.ziyouz.com kutubxonasi
Сўнгра қуйидагиларни ҳисоблаймиз:
1
2
2
0
—
~ —2
2
2
о -
2
1
3
2
2
0
3
2
т
2
-1
2
3
=* 9. °(1) “
2 —1
1
3
= *
_
0
2
1 —2
.
0
2
1
—3 .
——3
2 2
0
~
“ —4
2
2
0
“
2
-
-1
3
2
2 —2
3
2
0(2)
=
2
-
-1
0
3
=* — 73.
0(3)
=
2
—
1
- 1
3
0
2 1
-—4 _
_
0
2
1 —5 _
= —
22,
■,
—
108
.
Энди (7.3) тенгликка кўра
-
1
1
1 “
—
—
—
—
2
— 2
6
32
0
р
-
б
” * 2
2
1
2
98
»
17
3
3
~ 2
1
3
198
15
ци топамиз. Демак,
Р(Х) = Х< — 17X2— 15Х + Э
берилган матрицанинг характеристик кўпҳадидир.
8- §. ҲОШИЯЛАШ МЕТОДИ
Маълумки,
п-
тартибли
А
=
Ап
квадрат матрицанинг характе-
ристик кўпҳади
Д(Х) = £)„(Х) = (1е1(Л —
\ Е )
ни топиш
п
ортган сари қийинлашиб боради. Лекин
Б п
(X) билан
( п
— 1) -тартибли
Ап_ г
квадрат матрицанинг характеристик кўпҳа-
ди орасида рекуррент муносабат ўрнатиб,
Оп
(X) ни топиш масала-
сини
(>•) ни топишга келтириш мумкин. Бунинг учун биз оли&
алгебрадан айрим маълумотлар келтирамиз. Берилган
А — [а^]
мат-
рицага бириктирилган матрица деб,
■
А и
• • •
^
1
я "
•»
II
А
21
^22
• • •
-
А пч
• • •
й
,
а
1
__
(
8
.
1
)
матрицага айтилади, бу ерда
А и
лар
а 1}
элементларнинг алгебраик.
тўлдирувчисидир. Матрицаларни кўпайтириш қоидасидан
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
