Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги


bet89/186
Sana19.02.2022
Hajmi
#458735
1   ...   85   86   87   88   89   90   91   92   ...   186
Bog'liq
Hisoblash metodlari. 1-qism (M.Isroilov)

ўлчовли фазода 
п
тадан ортиқ
чизиқли эркли вектор бўлиши мумкин эмас. Шунинг учун
с

А с
 , 
А 2 с
, . . . , 
А п с
 
(2.1)
векторлар орасида чизиқли боғланиш мавжуддир. Ҳаттоки, ихтиё-
рий 
с
вектор учун ҳам
ср(Л)ё =
0
 

(
2
.
2
)
чизиқли боғланиш мавжуд. Демак, 
А
матрицанинг ср(Х) минимал
кўпҳадининг даражаси 
п
дан кичик бўлса, (
2
.
1
) системада чизиқли
эркли векторларнинг сони 
п
дан кичикдир. Берилган 
с
вектор учун
ф( Л) с = 0 
(2.3)
тенгликни қаноатлантирадиган ф (X) кўпҳадлар орасида бош коэф-
фициенти бирга тенг бўлган энг кичик даражали ягона <рс(),) кўп-
ҳад мавжудки, унииг учун
ср 

(X) 
С
 
= 0
тенглик ўринли бўлади. Бундай кўпҳад 
с векторнанг минимал
кўпҳади
дейилади ва у (2.3) теигликни қаноатлантирувчи ф (X)
кўпҳаднинг бўлувчиси бўлади. Хусусий ҳолда, ихтиёрий 
с
 вектор-
нинг минимал кўпҳади ср_(Х) 
А
матрица минимал кўпҳади -р (X) нинг
бўлувчиси бўлади. Агар (2.1) системада 
с,
 Л с , Л
2
с , . . .
, А т~1с
векторлар чизиқли эркли бўлиб, 
А т с
уларга чизиқли боғлиқ бўл-
са,
Л т с = <
7
т с +
Цт-\
Л с 
+ . . . + Ат~'с,
у ҳолда
. . . — 
9т-\
 ^ — 
9т =
 
0
кўпҳад 
А
матрицанинг минимал кўпҳади <р(Х) га ёки унинг бў-
лувчиси 
9
_ (X) га тенг.
Минимал к ўп ҳадн и топиш . Энди А. Н. Крилов методини
кўриб чиқамиз. Ихтиёрий нолдан фарқли 
с (й) 
= ( с 01сй2
. . .
, с0п)'
векторни олиб,
С11) =
А 
с « - 1)
 =
(сп 
, с 12
........
с1пу 
(I
= Т7я) 
(2.4)
векторлар кетма-кетлигики тузамиз. Юқорида айтганимиздек, бу
векторлар орасида
91
 
с (я_1) +
2
с
(л_2) + . . . +
дп~с
 
(0)=
с(п)
 
(2.5)
157
www.ziyouz.com kutubxonasi


чизиқли комбинапия мавжуддир. Агар буни координаталарда 
ёзиб 
олсак, 
, <
7
2 , . . . 
,д„
ларни тогиш учун қуйидаги чизиқли алге-
браик тенгламалар системасига эга бўламиз:
С п -
1 . 1 +
< ? 2
С п -
2 . 1 +
• • • 
+
<
? «
+
! =
С п и  
+
С п -
1 . 2 +
^ 2
С п -
2 , 2 “
'
- • 
+
Ч п С 02
=
С п 2 ’
+
С п — \, п
+
+ _ 2 , л ~ Г
• • • 
- Г
Ч п С 0п 
С п п '
Б у системакинг детерминанти
с л —1, 1 * * * * С01
+ - 1 , 
п
• • • • + !
(
2
.
6
)
фақат с " 
, . . . , 
с
* векторлар чизиқли эркли бўлганда-
гина нолдан фарқлидир, чунки бу детерминантнинг устунлари шу
векторлар координаталаридан тузилган.
Агар Гаусс методининг тўғри юришидаги барча 
п
қадам б жа-
рилиб, (
2
.
6
) система қуйидаги
<71 + ^12 9г + + з <7з + • • • +
Ь2п Чп
 =
^2
Чп = а п
(2.7)
учбурчак шаклга келтирилса, у ҳолда Д 
Ф
 0 бўлиб, с <0), Ф(1), . . . ,
с (п_1) вектор.тар чизиқли эрклидир. У вақтда (2.7) системадан қа-
ралаётган комбинациянинг коэффициентлари
. . . ,
тог.а оламиз.
Агар Гаусс методидаги тўгри юришнинг фақат 
т
та қадами
бажарилса, у ҳолда фақат аввалги т та с<0), с (1), . . . , 
с'т~Х)
век-
торлар чизиқли эркли бўлади. Керакли
<
7

с

‘1) + д , с т :
<7 
т С
(
0
)
~(т )
чизиқли комбинацияни ксординаталарда ёзиб оламиз:
< 7 + т - 1 ,1 +
ЧгСт ^ 2 . \
+
. . . + <7//+01 = С/л1.
1
< ? т -
1,2
+
Ч ч С т -4 ,4
+
. . . + 9 /+ 0 2 =
Ст2,
( 2 8 )
Ч \ с т - \ ,п
+
ЧчСт - 2 , п
+
. . • + <7
тс 0п ~ Ст п .
Бу системадан Га)сс методи ёрдамида 
т
та чизиқли эркли тенг-
ламаларни ажратиб олиб, 
дтг
 
, . . . , < ? , коэффициентларни
топамиз.
Шундай қилиб, биз 
т — п
бўлганда 
А
матрицанинг хос кўп-
ҳадини ва 
т < п
бўлганда унинг бўлувчисини топишимиз мумкин.
Аввал 
т = п
бўлган ҳолни кўрайлик. Бу ҳолда (2.5) чизиқли
комбинациянинг 

Р
(X) = * X* —
р , \ п ~ \
— . . . —
р п
158
www.ziyouz.com kutubxonasi


х о с кўпҳаднинг мос равишда 
ри ръ . .
. , 
рп
коэффициентларига
тенг:
<
7
* = Р ( (/ =
1

2


п).
Ҳақиқатан ҳам, Гамильтон-Кели теоремасига кўра
Р(А) ~ А п —
 р.Л
'1- 1
 
— . . . — раЕ =
 0.
Б у тенгликни с<0) векторга кўпайтириб ва
Л'с<о)==с(« ( / = 1 , 2 ............ л)
ларни ҳисобга олиб,
р ^ " - 1) 
р
2
с<,,- 2) 
р+<0) = с<п)
га эга бўламиз. Бу тенгликни (2.5) дан айириб,
< + - р ]) > - 1, + ( ^ - Р 2) > " 2)+ • • •
+ ( Ч п - Р п й {0) =

(2-9)
ни ҳосил қиламиз.
с<0), с(1), . . . , с<п-1) векторлар чизиқли эркли бўлганлиги'учун
(
2
.
9
) тенглик фақат рг =
? 4
( / =
1

2
, . . . , д) бўлгандагина ба-
жарилади.
Демак, /п = п бўлганда қурилган чизиқли комбинациянинг
кўринишига қараб, 
А
матрицанинг 
Р
(X) хос кўпҳадини - ёзиш
мумкпн. 
Я(Х) = 0 тенгламани ечиб матрицанинг барча хос сон-
ларини топамиз. Агар 
т < . п
бўлса, қурилган чизиқли комбинация
^Д™-1 ) + <
72
с<т-2) + . . . + <
7
тс<0) = с<т) 
(
2
.
10
)
кўринишга эга бўлади. Энди + > = Л'с<0) 
( / = 1 , 2, . . . , 
т)
ларни ҳисобга олиб (
2
.
10
) тенгликни
(Ат
— 
цхА т~{
— <
72
А
т - 2
 — . . . — 
ЦтЕ.)с{м
 = 0
ёки
ф -(
0
)(А)с<0) =
0
кўринишда ёзиб оламиз. Б у ерда
фг <0)(>.) = Л т —
ц + т ~ х
— <
7 2
^ш- 2 — • • • —
Я т -
Демак, изланаётган комбинациянинг коэффициентлари 
д2, . • • , рт
с<0) векторнинг минимал кўпҳади ф г(0) (X) нинг коэффиииентлари-
дир. Бундай кўпҳад с<0), с
ли бўлганлиги учун ягонадир.
Шундай қилиб, 
т
 <
п
бўлганда биз Я(Х) нинг ф- (0) (X) бўлув-
чисини топамиз ва фс (о>Х = 0 тенгламани ечиб, матрицанинг бир
қисм хос сонларини топамиз. Дастлабки с(0) 
векторни бошқача
танлаб,
қолган хос сонларни ҳам топиш мумкин. Шу билан бир-
га янги танланган вектор олдин аниқланган векторларнинг чизиқ-
ли комбинацияси бўлмаслиги керак.
Матрицанинг хос векторларини топиш. 
Энди хос вектор-
ларни топиш масаласига ўт миз. Фараз қилайлик, X,
%
(
0

(*0 =
-
Ч + т ~ 1 ~
 
т ~ 2 - • • • 
~ Ч т
159
www.ziyouz.com kutubxonasi


минимал кўпҳаднинг илдизи бўлсин (кейинги мулоҳазалар 
т — п
ва 
т < п
ҳолл_ар учун бир хил). 
А
матрицанинг 
Ц хос
сонига
мос келадиган’ 
х (1) хос
векторини олдинги пунктда топилган с<°>
с (1), . . . , 
с(т~1)
векторларнинг чизиқли комбинацияси шаклида
шлаймиз:
*<0 = ра ё«» + (3
12
с П ) + . . 
. + ? шс(т-
1). 
(2.11)
Бу тенгликни 
А
га кўпайтириб ва с (),= Л с < Н ) ҳамда 
А х (‘> =
=
)чх (1)
тенгликларни ҳисобга олиб,
\
(Рг^(0) + 
+ . . . + Ргтс(т-1>) =
= Рпё(1) + Рг
2
с(2) + . . . + р/т с(т ) 
(
2
.
12
)
га эга бўламиз. Бундан та шқари, яна
ф г(о) (Л )с(°) = с(т > — 
цхс(т~х) — ц2с(т~2)—
. . . — 
0
т с(О> = О
ни ҳисобга олсак, у ҳолда (
2
.
12
) ни
Ч № 0)
+ ( ^ (1) + • • • +
=
-
= Рцё(1> + Р/2С(2) + . . . + р|)т_^(—1> + _
+
+ ?
2
с(т - 2) + . . • +
цт-х ~с(1)
+
дтс(0))
ёки
(хгРп — Рг А )с(0) + (хгР/а - рп — р/т?т-
1
)с(1) +
+ . . . + (^Р
/ 1 т - 1
— Рг.от-2 — Ў
2
% т ) с<т~ 2)
+
+ (хгРг« - Р/.*-1 -
М
?(т~1) == о
кўринишда ёзиб олишимиз мумкин. Бундан с (0), с(1), . . . .
с <
'т~1)
векторларнинг чизиқли эрклилигини ҳисобга олсак,
Х/Рц — 
$1тЧт
= 0, 
хгРгг Рл 
$ ш Я т - \ ~
0,
Р/.Ш-2 
$1тЯ
2 —0>
хгРгт Рг.ш-г Рг
т # 1
= 0
тенгликлар келиб чиқади. Охирги тенгликдан бошлаб, кетма-кет
Ргй ларни топамиз:
Рг.от
- 1
= (хг 
Я\)
 
Рг/л>
Рг.т—
2 == 
{ Ц
Я \
^г <7з)Ргт>
Ргг = ( ^ 1 -
д ^ ? - 2 - . . . ~ Я т
- 1
)Рг«,
( ^ - ^ Г 1 - . . . - ^ ) Р г т =
0
.
О х и р г и т е н г л и к б а р ч а р/ т л а р у ч у н ў р и н л и д и р , ч у н к и
Ф г (хг) = + —
1
>+ ' 1 — • • . —
Чт
= 0 .
160
www.ziyouz.com kutubxonasi


Г>у тенгликдан ҳисоблашни контрол қилиш учун фойдаланиш
мумкин. Ҳисоблашни соддалаштириш мақсадида 
= 1 деб олн-
шимиз мумкин. Унда қолганлари қуйидагича топилади:
=


Ц
\ ,

Р;,т-2 =>■?—
— Ц ъ
0 ) т - 1
п ) т —
2
'
п
у п — ' ч 
Ч \ ' н
. .. — 
Ч т ~
1
.
Буларни ҳисоблашда Горнер схемасидан фойдаланиш маъқулдир.
Агар берилган ^ хос сонга 
А
матрицанинг бир неча хос векто-
ри мос келса, у ҳолда уларни излаш учун бошқа дастлабки век~
торни танлаб олиб, шу ҳисоблаш жараёнини такрорлаш м)мкин.
1 - м и с о л . А. Н. Крилов методи билан қуйидаги
~ — 1
2
2
0~
2
1
3
2
А
=
2
— 1
2
3
0
2
1
— 2
матрицанииг характеристик кўпҳади тоаилсии.
Е ч и ш. Дастлабки с (0) вектор сифатида(1, 0, 0, 0)' ни олиб, с (1), 
с (2), с (3), с (4) ларни топамиз:
“ — 1
2
2
0
-
_
1
-
1
~
2
1 3
2
0
2
2
— 1 2
3
0

2
0
2
1

2
_ _
0
0
9 “
- З -
129
6
36
с (4) =
132
с (2) 
=
0
; (3) =
30
30
6
,
0

■ 
^
102
Бу векторлар ёрдамида (2.6) системаии тузамиз:
3<71 +
9д$
— <7з +
= ( 29,
36<71 + 6 <72 + 2<7
з
 
= 132,
30з
 
= 30,
6
<
72

Download

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   85   86   87   88   89   90   91   92   ...   186




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish