ўлчовли фазода
п
тадан ортиқ
чизиқли эркли вектор бўлиши мумкин эмас. Шунинг учун
с
,
А с
,
А 2 с
, . . . ,
А п с
(2.1)
векторлар орасида чизиқли боғланиш мавжуддир. Ҳаттоки, ихтиё-
рий
с
вектор учун ҳам
ср(Л)ё =
0
'
(
2
.
2
)
чизиқли боғланиш мавжуд. Демак,
А
матрицанинг ср(Х) минимал
кўпҳадининг даражаси
п
дан кичик бўлса, (
2
.
1
) системада чизиқли
эркли векторларнинг сони
п
дан кичикдир. Берилган
с
вектор учун
ф( Л) с = 0
(2.3)
тенгликни қаноатлантирадиган ф (X) кўпҳадлар орасида бош коэф-
фициенти бирга тенг бўлган энг кичик даражали ягона <рс(),) кўп-
ҳад мавжудки, унииг учун
ср
-с
(X)
С
= 0
тенглик ўринли бўлади. Бундай кўпҳад
с векторнанг минимал
кўпҳади
дейилади ва у (2.3) теигликни қаноатлантирувчи ф (X)
кўпҳаднинг бўлувчиси бўлади. Хусусий ҳолда, ихтиёрий
с
вектор-
нинг минимал кўпҳади ср_(Х)
А
матрица минимал кўпҳади -р (X) нинг
бўлувчиси бўлади. Агар (2.1) системада
с,
Л с , Л
2
с , . . .
, А т~1с
векторлар чизиқли эркли бўлиб,
А т с
уларга чизиқли боғлиқ бўл-
са,
Л т с = <
7
т с +
Цт-\
Л с
+ . . . + ,
Ат~'с,
у ҳолда
. . . —
9т-\
^ —
9т =
0
кўпҳад
А
матрицанинг минимал кўпҳади <р(Х) га ёки унинг бў-
лувчиси
9
_ (X) га тенг.
Минимал к ўп ҳадн и топиш . Энди А. Н. Крилов методини
кўриб чиқамиз. Ихтиёрий нолдан фарқли
с (й)
= ( с 01сй2
. . .
, с0п)'
векторни олиб,
С11) =
А
с « - 1)
=
(сп
, с 12
........
с1пу
(I
= Т7я)
(2.4)
векторлар кетма-кетлигики тузамиз. Юқорида айтганимиздек, бу
векторлар орасида
91
с (я_1) +
2
с
(л_2) + . . . +
дп~с
(0)=
с(п)
(2.5)
157
www.ziyouz.com kutubxonasi
чизиқли комбинапия мавжуддир. Агар буни координаталарда
ёзиб
олсак,
, <
7
2 , . . .
,д„
ларни тогиш учун қуйидаги чизиқли алге-
браик тенгламалар системасига эга бўламиз:
С п -
1 . 1 +
< ? 2
С п -
2 . 1 +
• • •
+
<
? «
+
! =
С п и
+
С п -
1 . 2 +
^ 2
С п -
2 , 2 “
'
- •
+
Ч п С 02
=
С п 2 ’
+
С п — \, п
+
+ _ 2 , л ~ Г
• • •
- Г
Ч п С 0п
С п п '
Б у системакинг детерминанти
с л —1, 1 * * * * С01
+ - 1 ,
п
• • • • + !
(
2
.
6
)
фақат с "
, . . . ,
с
* векторлар чизиқли эркли бўлганда-
гина нолдан фарқлидир, чунки бу детерминантнинг устунлари шу
векторлар координаталаридан тузилган.
Агар Гаусс методининг тўғри юришидаги барча
п
қадам б жа-
рилиб, (
2
.
6
) система қуйидаги
<71 + ^12 2 + + 3 3 + • • • + + „ < ? « = <^1
9г + + з <7з + • • • +
Ь2п Чп
=
^2
Чп = а п
(2.7)
учбурчак шаклга келтирилса, у ҳолда Д
Ф
0 бўлиб, с <0), Ф(1), . . . ,
с (п_1) вектор.тар чизиқли эрклидир. У вақтда (2.7) системадан қа-
ралаётган комбинациянинг коэффициентлари
. . . , , ни
тог.а оламиз.
Агар Гаусс методидаги тўгри юришнинг фақат
т
та қадами
бажарилса, у ҳолда фақат аввалги т та с<0), с (1), . . . ,
с'т~Х)
век-
торлар чизиқли эркли бўлади. Керакли
<
7
,
с
(т
‘1) + д , с т :
<7
т С
(
0
)
~(т )
чизиқли комбинацияни ксординаталарда ёзиб оламиз:
< 7 + т - 1 ,1 +
ЧгСт ^ 2 . \
+
. . . + <7//+01 = С/л1.
1
< ? т -
1,2
+
Ч ч С т -4 ,4
+
. . . + 9 /+ 0 2 =
Ст2,
( 2 8 )
Ч \ с т - \ ,п
+
ЧчСт - 2 , п
+
. . • + <7
тс 0п ~ Ст п .
Бу системадан Га)сс методи ёрдамида
т
та чизиқли эркли тенг-
ламаларни ажратиб олиб,
дтг
, . . . , < ? , коэффициентларни
топамиз.
Шундай қилиб, биз
т — п
бўлганда
А
матрицанинг хос кўп-
ҳадини ва
т < п
бўлганда унинг бўлувчисини топишимиз мумкин.
Аввал
т = п
бўлган ҳолни кўрайлик. Бу ҳолда (2.5) чизиқли
комбинациянинг
2, • . . , „ козффициентлари
Р
(X) = * X* —
р , \ п ~ \
— . . . —
р п
158
www.ziyouz.com kutubxonasi
х о с кўпҳаднинг мос равишда
ри ръ . .
. ,
рп
коэффициентларига
тенг:
<
7
* = Р ( (/ =
1
,
2
,
,
п).
Ҳақиқатан ҳам, Гамильтон-Кели теоремасига кўра
Р(А) ~ А п —
р.Л
'1- 1
— . . . — раЕ =
0.
Б у тенгликни с<0) векторга кўпайтириб ва
Л'с<о)==с(« ( / = 1 , 2 ............ л)
ларни ҳисобга олиб,
р ^ " - 1)
р
2
с<,,- 2)
р+<0) = с<п)
га эга бўламиз. Бу тенгликни (2.5) дан айириб,
< + - р ]) > - 1, + ( ^ - Р 2) > " 2)+ • • •
+ ( Ч п - Р п й {0) =
0
(2-9)
ни ҳосил қиламиз.
с<0), с(1), . . . , с<п-1) векторлар чизиқли эркли бўлганлиги'учун
(
2
.
9
) тенглик фақат рг =
? 4
( / =
1
,
2
, . . . , д) бўлгандагина ба-
жарилади.
Демак, /п = п бўлганда қурилган чизиқли комбинациянинг
кўринишига қараб,
А
матрицанинг
Р
(X) хос кўпҳадини - ёзиш
мумкпн.
Я(Х) = 0 тенгламани ечиб матрицанинг барча хос сон-
ларини топамиз. Агар
т < . п
бўлса, қурилган чизиқли комбинация
^Д™-1 ) + <
72
с<т-2) + . . . + <
7
тс<0) = с<т)
(
2
.
10
)
кўринишга эга бўлади. Энди + > = Л'с<0)
( / = 1 , 2, . . . ,
т)
ларни ҳисобга олиб (
2
.
10
) тенгликни
(Ат
—
цхА т~{
— <
72
А
т - 2
— . . . —
ЦтЕ.)с{м
= 0
ёки
ф -(
0
)(А)с<0) =
0
кўринишда ёзиб оламиз. Б у ерда
фг <0)(>.) = Л т —
ц + т ~ х
— <
7 2
^ш- 2 — • • • —
Я т -
Демак, изланаётган комбинациянинг коэффициентлари
д2, . • • , рт
с<0) векторнинг минимал кўпҳади ф г(0) (X) нинг коэффиииентлари-
дир. Бундай кўпҳад с<0), с
ли бўлганлиги учун ягонадир.
Шундай қилиб,
т
<
п
бўлганда биз Я(Х) нинг ф- (0) (X) бўлув-
чисини топамиз ва фс (о>Х = 0 тенгламани ечиб, матрицанинг бир
қисм хос сонларини топамиз. Дастлабки с(0)
векторни бошқача
танлаб,
қолган хос сонларни ҳам топиш мумкин. Шу билан бир-
га янги танланган вектор олдин аниқланган векторларнинг чизиқ-
ли комбинацияси бўлмаслиги керак.
Матрицанинг хос векторларини топиш.
Энди хос вектор-
ларни топиш масаласига ўт миз. Фараз қилайлик, X,
%
(
0
)
(*0 =
-
Ч + т ~ 1 ~
т ~ 2 - • • •
~ Ч т
159
www.ziyouz.com kutubxonasi
минимал кўпҳаднинг илдизи бўлсин (кейинги мулоҳазалар
т — п
ва
т < п
ҳолл_ар учун бир хил).
А
матрицанинг
Ц хос
сонига
мос келадиган’
х (1) хос
векторини олдинги пунктда топилган с<°>
с (1), . . . ,
с(т~1)
векторларнинг чизиқли комбинацияси шаклида
шлаймиз:
*<0 = ра ё«» + (3
12
с П ) + . .
. + ? шс(т-
1).
(2.11)
Бу тенгликни
А
га кўпайтириб ва с (),= Л с < Н ) ҳамда
А х (‘> =
=
)чх (1)
тенгликларни ҳисобга олиб,
\
(Рг^(0) +
+ . . . + Ргтс(т-1>) =
= Рпё(1) + Рг
2
с(2) + . . . + р/т с(т )
(
2
.
12
)
га эга бўламиз. Бундан та шқари, яна
ф г(о) (Л )с(°) = с(т > —
цхс(т~х) — ц2с(т~2)—
. . . —
0
т с(О> = О
ни ҳисобга олсак, у ҳолда (
2
.
12
) ни
Ч № 0)
+ ( ^ (1) + • • • +
=
-
= Рцё(1> + Р/2С(2) + . . . + р|)т_^(—1> + _
+
+ ?
2
с(т - 2) + . . • +
цт-х ~с(1)
+
дтс(0))
ёки
(хгРп — Рг А )с(0) + (хгР/а - рп — р/т?т-
1
)с(1) +
+ . . . + (^Р
/ 1 т - 1
— Рг.от-2 — Ў
2
% т ) с<т~ 2)
+
+ (хгРг« - Р/.*-1 -
М
?(т~1) == о
кўринишда ёзиб олишимиз мумкин. Бундан с (0), с(1), . . . .
с <
'т~1)
векторларнинг чизиқли эрклилигини ҳисобга олсак,
Х/Рц —
$1тЧт
= 0,
хгРгг Рл
$ ш Я т - \ ~
0,
Р/.Ш-2
$1тЯ
2 —0>
хгРгт Рг.ш-г Рг
т # 1
= 0
тенгликлар келиб чиқади. Охирги тенгликдан бошлаб, кетма-кет
Ргй ларни топамиз:
Рг.от
- 1
= (хг
Я\)
Рг/л>
Рг.т—
2 ==
{ Ц
Я \
^г <7з)Ргт>
Ргг = ( ^ 1 -
д ^ ? - 2 - . . . ~ Я т
- 1
)Рг«,
( ^ - ^ Г 1 - . . . - ^ ) Р г т =
0
.
О х и р г и т е н г л и к б а р ч а р/ т л а р у ч у н ў р и н л и д и р , ч у н к и
Ф г (хг) = + —
1
>+ ' 1 — • • . —
Чт
= 0 .
160
www.ziyouz.com kutubxonasi
Г>у тенгликдан ҳисоблашни контрол қилиш учун фойдаланиш
мумкин. Ҳисоблашни соддалаштириш мақсадида
= 1 деб олн-
шимиз мумкин. Унда қолганлари қуйидагича топилади:
=
1
—
Ц
\ ,
■
Р;,т-2 =>■?—
— Ц ъ
0 ) т - 1
п ) т —
2
'
п
у п — ' ч
Ч \ ' н
. .. —
Ч т ~
1
.
Буларни ҳисоблашда Горнер схемасидан фойдаланиш маъқулдир.
Агар берилган ^ хос сонга
А
матрицанинг бир неча хос векто-
ри мос келса, у ҳолда уларни излаш учун бошқа дастлабки век~
торни танлаб олиб, шу ҳисоблаш жараёнини такрорлаш м)мкин.
1 - м и с о л . А. Н. Крилов методи билан қуйидаги
~ — 1
2
2
0~
2
1
3
2
А
=
2
— 1
2
3
0
2
1
— 2
матрицанииг характеристик кўпҳади тоаилсии.
Е ч и ш. Дастлабки с (0) вектор сифатида(1, 0, 0, 0)' ни олиб, с (1),
с (2), с (3), с (4) ларни топамиз:
“ — 1
2
2
0
-
_
1
-
1
~
2
1 3
2
0
2
2
— 1 2
3
0
—
2
0
2
1
—
2
_ _
0
0
9 “
- З -
129
6
36
с (4) =
132
с (2)
=
0
; (3) =
30
30
6
,
0
,
■
^
102
Бу векторлар ёрдамида (2.6) системаии тузамиз:
3<71 +
9д$
— <7з +
= ( 29,
36<71 + 6 <72 + 2<7
з
= 132,
301 + 2<7
з
= 30,
6
<
72
7>7>72>71>71>0>7>7>71> Download Do'stlaringiz bilan baham: |