Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

{ / }
■сонлар к е т м а - к е т л и г и н и а н и қ л а й м и з:
•7(0)
Г (0) 
= 6 - Л х (0), а А = Л
(7( *), 7 Й))
__ 
_ 
0
+ \
Ар^к)) ’
Х (А+ 1) = х (»)+ а /+ * ), /<*+!) =
Л х (*+1)= г (*)— аАЛ р (/г), (Ю -13)
(7(*+!)) ЛҲ< +
_ 
_ 
_
Р* - -
1 4 8
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Б у векторлар учун қуйидаги муносабатлар ўринлидир:
р) = 0, агар г > у бўлса, 
(10.14)
(7(0, /•(/)) = 0, агар /=+./' бўлса. 
(10.15)
Ҳақиқатан ҳам, 
р(1)
векторларнинг ҳосил қилинишига кўра / 
ф
/
бўлганда
(р<
0
, Л р (/)) = (Лр(г>, р (/>) = 0.
Бундан ташқари
(7(о, р (/>) = (7(г- » — а ^ И р О - о , р(/)) = (Н /-
1
>, р (/))__
— «^!(Л р('-»>, р).
Агар / = 7 + 1 бўлса, у ҳолда « ц нинг таърифига кўра охирги
тенглик нолга тенг; агар / > У + 1 бўлса, у ҳолда (^4р
('—1
 >, р (/>)=0 ва
исботланганга кўра: (~'>, р(/>) = (г(' ~ р < / > ) . г ((> нинг индексини
кетма-кет камайтириб, бир неча қадамдан_сўнг (а^ нинг таърифига
кўра) 
(г(/+1>, 
р (/)) == (г(/>, р (/>) — а;(Лр(/>, р) = 0 скаляр кўпайт-
мага эга бўламиз.
Шундай қилиб, (10.14) исбот бўлди. (10.15) ни исботлаш учук.
/ > У деб оламиз (чунки 
I
ва у индекслар тенг ҳуқуқлидир).
У ҳолда
(г(о, г (/>) = (г<о, р(/> — р /_
1
р (/—О) _
- (?< '> ,> > ) -
, >
” ■>)- о .
п
 
ўлчовли векторлар фазосида ўзаро ортогонал векторларнинг
сони 
п
тадан ошмаслиги сабабли бгфор 
к
 <
п
қадамда 
г {к) = Ъ—
— 
А х {к) =
 
0
га эга бўламиз, яъни ^с<А) (
10
.
1
) сиетеманинг ечимн
бўлади.
Қўшма градиентлар методи ҳам баъзи камчиликлардан ҳоли
эмас. Бу методдаги ортогоналлаштириш жараёни яхлитлаш хато-
сига нисбатан нотурғун бўлиши_ ҳам мумкин. (10.13) формулада
7(А_1> ==р—
А х {к)= г {к~1)—
а
й -1
 
А р {к~1)
деб олдик. Аммо яхлитлаш
ҳисобига бу ерда тенглик бажарилмаслиги ҳам мумкин. Нотурғун-
ликни сусайтириш мақсадида, г <А> векторни 
г {к)
= = г <А_1> _ а й_ у х
Х А р {к~1)
формула бўйича ҳисоблаб, йўл-йўлакай 
г (к)=Ъ
— 
А х 0^
формула билан ҳам ҳисоблаб бориш ва натижаларни солиштириб
туриш керак. Агар булар бир-биридан фарқ қилса, г 
(к) = Ь—А х (к>!
деб олиш лозимдир.
М и с о л. Қуйидаги система 
.
Х\
"I- 
2х^
*-1“ 
х^
— — I,
2х\ 
Ъх2
 +
х$
= —
2
,
х^
-Ь 5х3 +
х 4
= 4 ,
Х\
-{- 
х%
4” 5-^4 — 2
қўшма градиентлар методи билан ечилсин.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Е ч и ш . С и с т е м а н и н г
матрицаси 
симметрик ва бош минорлари мусбат, шунинг учун у мусбат 
аниқланган ҳамдир. л:(0) сифатида (1,0, 0 ,0 )' 
Еектсрни 
оламиз. Барга ҳисоб- 
лашларни (10.13) фсрмулалар ёрдамида олиб борамиз:
1
2
0
1
2
5
1
0
0
1
5
1
1
0
1
8
— 1
1
2
0
1
1
—2 '
р (0) = 7<о> =
— 2 
4
—
2
0
5
1
1
5
0
1
0
0
=
—4
4
2
1
0
1
8 _1
0
1
А р {0)
= (— 9, — 20, 17, 10)',
г(!)
ао =
■<
0
>_
(7<°), р<°>)
4 + 16 + 16 + 1 __ 37
176
0,210227;
Ғ(1) = 7 (0) ■
’ ( 7 (0), 
Ар
(0)) 
18 + 80 + 68 + 10
■
а0А р т
= (— 0,107957; — 0,840908; 0,840908; 0,210227); 
-а 0Л р (0) = (— 0,107957; 0,204550, 0,426141; — 1,102270)';
Ро =
( г 11), А р (0))
6,897490
0,039190,
’ & 0). А р {0)) ~
176
' (1) = Ғ (1) + Ро
р
(0) = (—0,186337; 0.047780; 0,582501;
1,063080)'.
Ҳисоблаш давомининг натижаси 15- жадгалда келтирилган.
15- жадвал
к
х
(*)
7(*>
Р
ак
0
1
0
0
0
— 
2 
— 
4 
4 
1
— 
2 
— 
4 
4 
1
—
9
—
20 
17 
10
0,210227
0,039190
1
0,579546 
— 
0,840908 
0,840908 
0,210227
— 0,107957 
0,204540 
0,426141
—
1,102270
—
0,186337 
0,047780 
0,582901
—
1,063080
—1,153857
0,449127
1,899205
—8,108076
0,146091
—
1,683324
2
0,607103 
— 
0,833843 
0,927116 
0,179136
-0 ,1 1 8 5 5 4
0,027893 
0,018901 
— 
0,967309
—
0,432221
—
0,052534
—
0,662313 
0,822203
0,284914 
—2,089427 
0,192б}45 
5,183090
—0,187983
0,011951
3
.
0,683354 
— 
0,823967 
1,108015 
0,024576
—
0,064995
—
0,036488
—
0,740068 
0,007025
—
0,071220
—
0,037116
—
0,752182 
0,016851
—0,128009 
— 
1,028142 
—3,781174 
—0,688591
0,195565
4
0,674426 
— 
0,831226 
0,960914 
0,027871
1 5 0
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Демак, 
Х\
= 0,674426; 
х 2 =
—0,831226;
лг3 = 0,960914; 
х 4
= 0,027871.
11- §. МИНИМАЛ ФАРҲЛАР МЕТОДИ
Б у метод М. А. Красноселиский ва С. Г. Крейн томонидаж
1952 йилда яратилган эди. Фараз қилайлик, А мусбат аниқлангаш
матрина бўлиб, х (0) эса 
А х
 = й_система ечимининг дастлабки яқин-
лашиши бўлсин. Одатдагидек, г (0> орқали фарқлар векторини, яъни
Ь — А х {0)
ни белғилаймиз. Навбатдаги яқинлашиш х (1) ни градиент-
лар методидагидек 
х {0)
+
%г{0)
 _кўринишда излаймиз ва а
0
параметр-
ни шундай танлаб оламизки, ||г
(1)||2
= (г(1), г (1>) функционал мини-
_
Ь — А
х
{1)
=- 
? 0) 
—
Д(7<»_7(0)\
мумга айлансин. Бу ер д а т '
г(0) — а
0
А г (0). Шундай қилиб, а
0
ни уш бу
: г ' " ' -
А(х{‘>~
 ;с(0>) = -
(г(1), 
7 {1))
=
( ? 0)
 -
а0А7(0), 
Г<0) 
- а0Л7(0>)
Д
0
) —(
0
)
(0) — а0Л7(0), ' (0) 
г;(0) 
лТ(°)\ I „?/ д7<о> лд;(о)\
= (7(0), г(0>) - 2а
0
(г( , 
А г ')
 + ао(Аг , А г )
: ( ° )
= (г
+ (А7(0), 
а
7(0>)
- (
0)4
 
(А7<°), 7'«))-
Г 1 — / . —/т . -гоп Т-
(А 7 < °и 7 < °))
■ 
и 7 < ° ) , 7 < ° ) ) 1»
а° 
(
а
7<0), 
а
7<0))
ифоданинг минимумга айланиш шартидан топамиз. Б у ифода эса
ўзининг 
минимал 
қиймати 
( г
, 
г )
(0) —
(0)С 
(д г<°), г<°))2
(А7<°).7<°))_
(
а
7<0), 
а
7<°))
га ап =
“ (
а
7<°),
а
7<°))
дагига эга бўлдик
бўлганда эришади. Демак, биринчи қадамда қуйи-
7 (1)
7(0) 4- „ 7<°)
=
X
 
-т а0г ,
(
а
7<°),7<°))
(
а
7<0), 
а
7<0))
Иккинчи қадамда зса
7(1)
Ь — А
х
{1)
= г
Л0)
— а0Аг
( 0 )
(А
а. = 
т -=,
~
г(1>’г<1)) 
х {2)
= 7 (1> + а,7(1)
(
а
Т ^ .
а
? * 1»)’
Худди шунга ўхшаш 
к-
қадамда қуйидаги формулаларга эга б ў -
. 
— (к)
7" 
Л ~ (А )
~ ( * —1) 
„
л ~ ( А —1)
ламиз: г 
= о — лл: 
— г 
— а
и~\Лг 
,
(А 7<к\
7<*>)
а* 
(А 7<+ А7<А>)’
- (^ ) = -(^) + аА
7 (Д
Яқинлашиш ҳақида градиентлар методидаги каби қуйидаги теоре-
ма ўринлиДир. _
_
_
Т еор ем а. лс(0), 
х {1),
. . . , 
х {к)
. . . кетма-кет яқинлашишлар-
А х
 =
Ь
система ечимига геометрик прогрессия тезлигида яқинла-
шади.
15В
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

М и с о л . У ш б у с и с т е м а
" 
( 5лг, + 2лг3 +
х 3
+ лг4 — 7,
I 
2Х}
4- 6лс2 + 
х%
лг4 = 11,
I ЛГ] +
Х‘2
8л'з 4“ 
2
лг
4 
— 23,
( 
х ^
+
лг2 
+ 2лг3 + +г4 = 17
адинимал фарклар методи билан ечилсин.
Е ч и ш. Дастлабки яқинлашиш сифатида лг(0) = (0, 0, 0, 1)' векторни
оламиз, у ҳолда
г<°) *= Ь — А 
х<0) 
~
3, 0, 9, 5)', 
А
г (0) = (— 1,8,79, 35)'.
(А
 7<°>, 7 (0))
( л 7 (0), д 7 (0))
+2+ = 0,1180454: 
7531
х
(1 > = (— 0,354136; 0; 1,062408; 1,590227)'. 
Шунга ўхшаш навбатдаги яқинлашишларни топишимиз мумкин:
х
_ (2) = (0,008460: 0,767495; 2,005787; 
2,574838)',
лг (3> =
(0,105047 0,973666; 2,123706; 
2,799272),'
х (4> =
(0,023240 0,979935; 1,986107; 
2,898334),'
х
(5) = (0,028442; 1,004896; 2,027116; 
2,955150),'
7 (6) = (0,007439; 
0,994176 ; 2,001999: 
2,969578),'
х (7)
= (0,007863; 
1,001331; 
2,008379; 2,986709),'
лг(8) = (0,002131; 0,998390; 
2,000618; 2,990963)'.
■Аниқ ечим лг* = (0, 1, 2, 3)* эканлигига ишонч ҳосил қилиш қийин эмас.
М А 111 Қ Л А Р
1. 
Қуйидаги тенгламалар системаси юқоридаги барча методлар билаи 
«чилсин:
( 2,9112лг, + 0,521 1
х
2 + 0,6756лг3 + 0,1214лг4 = — 0,9964, 
I 0,5211лг, + 4,0015
лг
2 + 0,8161лг3 + 0,7218лг4 = 0,8683, 
0,6756лг! + 0,8161 лг2 + 5,5516лг3 + 0,4140лг4 = 2,8520, 
(0.1214Х! + 0,7218лг3 + 0,4140*3 + 6 ,7550лс4 = 6,9013,
2. Агар барча
I а\\ I
,
а \
1 а 12 
Й21 в 22
а \ \ а П а \Ъ
а 21 а 22 а 23 
Й31 а 32 й33 , • • •
детерминантлар нолдан фарқли бўлса, у ҳолда 
А х — Ь
системани ечиш учун 
Гаусс методипи қўллаш мумкинлигини кўрсатинг.
3. Қўшма градаентлар методида мусбат аниқланган симметрик 
А
матрица
учун барча г (0), 
г
(1)...........л(л—
1
) вект0рЛар нолдан фарқли бўлса, у ҳолда
(Зе1 Д = (а0 а 4 , . . « „ -О -1
эканлигини кўрсатинг.
4. 7- § да киритилган векторлар нормаси 
қуйидаги тенгсизликларни 
.қапоатлантиришлигини кўрсатинг:
| | ЛГ 
]11
< Н лг 
Ц2 
<