Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

кўрамизки, х (0) (9.1) системанинг ечимини беради ва шу билан жа-
Ш.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

раён тўхтайди. Агар 7 (0> =+ 
6
бўлса, у ҳолда навбатдаги яқинла-
шиш сифатида _ 
'
+ 0 ==Зс(0> + а ог (0> 
( 9 .6 )
векторни оламиз.
Сўнгра г (!>==й — 
А х {'ҳ
ни ҳисоблаймиз. Кейинги яқинлашиш
вектори 
х (Г)
ни / (л ' ‘> -|- <х/ '!>) функционалнинг минимумга эришиш
шартидан аниқлаймиз:
( г (1>, л (1>)
1
 
(Л7(1), 7(1>) ’
Бу жараённи давом эттириэ, қуйидагиларга эга бўламиз:
7<*> 
=~Ь
— 
А х {к),
(9.7)
( ■) '
7<*))
Ч
= (Л7(*>, 
7{к))
’ 
(9 -8)
л:(*+
1
> = х(*> +
акг {к).
Б у методнинг яқинлашиши ҳақида қуйидаги теоремани исботлай-
миз.
Т еор ем а. Агар 
А
мусбат аниқланган симметрик матрица бўл-
са, у ҳолда градиент методи билан қурилган 
х {0), х (1),
. . . , 
х {к)
кетма-кет яқинлашишлар 
А х
 =
Ь
 
системанинг ечими 
х *
га геомет-
рик прогрессия тезлигида яқинлашади. Аниқроғи, агар А матрица-
нинг 
хос сонлари 0 <
т
 <
<
М
тенгсизликларни қаноатлан-
тирса, у ҳолда 
{х{к)}
кетма-кетликнинг 
х*
ечимга яқинлашиш тез-
лиги учинчи нормада қуйидагича баҳоланади:
\\х{к)
 — х * ||з Ж н Т Т Т " ) (У(*(0)) 
—/{х*)).
И сбот. 
А
матрицанинг хос сонларини қуйидагича
> 7
2
> . . . >
\ п
 >
0
белгилаймиз,_буларга мос келадиган ортонормаллаштирилган хоо
векторларни 
ии и2,
. . . , 
ип
орқали белгилаймиз. У ҳолда ихти-
ёрий
х — схи{Х)
+
с2и{2)
 + . . . +
спи{п)
вектор учун
(Ах, х)
=
с2
 ^ +
с\ \
 + . . . +
с 2 ~кп
тенгликка эга бўламиз. Бундан зса
К(х>х) = К (с\К с\
 + • . • +
с 2)
<
(Ах, 
х)
< Х,(с* +
с\
 + . . . +
+
с1)
 =
Х1(К х)
142
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

тенгсизликлар келиб чиқади. Демак, Л матрица мусбат аниқлан-
ган бўлганлиги учун шундай ўзгармас 
т
> 0 ва 
М
> 0 сонлар
топиладики,
т(х, х)
< (
А х , х)
<
М(х, х)
тенгсизликлар бажарилади.
Уш бу 
/ ( х (1))
— / ( х (0)) айирмани 'қарайлик. (9.3) ва (9 .6 )—(9.9)
формулаларга кўра, мураккаб бўлмаган ҳисоблашлардан кейин
қуйидагиларга эга бўламиз:
Лг<°))-2а0(?(°) ?(о)) = -
. 
(9.9)
Л — симметрик матрица, 
Ах* = Ь
ва г<°' = Л (х* — х(°>) бўлган-
лиги учун
■ / ( х ^ ) —/ ( х * ) = = ( х ^
— х*),
 
Л(х<0) — х*)) 
=
(Л -
1
г(°>, г<°>).
Демак, (9.9) га кўра
/(Д0>) 
_
Д х * )
( л < ° > , 
д7(°>)(Л
- 1
 г(0), 7<0>)
/( 7 <
0
> )-/(Д » ) -
(7<0>, 7
<0>)2
 
’
Энди г <0> ни Л матрицанинг хос векторлари бўйича ёямиз:
Иь
.
/=»1
У вақтда,
АА0)
=
а, 
, 
Л -
1
г<0> = 2 ^ _1а<
(=1
(-0
8 3
га 
»»
(Л?<0>,7<0>) = 
> (Л"7(0), *°о = 2 а^ 1-
г
=1
1=^1
Демак,
Қуйидагича
_,о, 
-
2
 
4 х<
1
/(^ ° ) — /(^*) _ < = 
1
 
^=1
_____
^ Т = > ( 7 (1>)“
*
6=1
^
( * > о, 2 ^ (=>).
2 4
6=1
1=1
143
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

белгилашни киритиб,
/ ( х (0))
— 
Д х*)
2
^
2
<*/
(9.10)
Я + 0)) - / ( + 1» 
/=1
 
/=1
тенгликни ҳосил қиламиз.
Қуйидагини 
исботлайлик: 
агар 0 < /н < ; Х; < ; 
М
(/ =
1
, 
п)
. ' 
П
бўлса, у ҳолда ихтиёрий ҳақиқий 
Ф
>
0
( / =
1
, 
п),
 
2
'й =
1 
сонлар учун
« 
м
1 Г /Х7 
- /~12
^—1
2 « . » . 2 ^ Г < т [ / £ + / 5
/ = 1
1
1=1
(9.11)
тенгсизлик ўринлидир. 
Буни исботлаш учун 
К
ўрнига &
=
-^ 1 ^
сонларни оламиз, у вақтда
бўлиб,
2 * » .
2 >
д
- '
/=1
 
/=1
 
/=1
 
- 
/=1
тенглик ўринли бўлади. Охирги ифодага икки сон ўрта геометригн
унинг ўрта арифметигидан ортмаслиги ҳақидаги теоремани қўллай-
миз:
12
1=1
1=1
1=1
(9.12)
Ушбу
Ф(Ю = ? + -
функция 
£ > 0
бўлганда (
0
, 
1
) оралиқда камайиб, (
1
, оо) оралиқ-
да ўсади ва_ўзининг_энг кичик қийматини 
£ = 1
нуқтада қабул
қилади; [ | / ^ > | / ^ [ оралиқда эса 
I =
| / ^ ва 
6
= | / ^ н у қ -
таларда ўзининг энг катта қийматини қабул қилади, бу қиймат
У Ъ + У ъ
 
(9ЛЗ>
га тенгдир. (9.12) ифодада ҳар бир 
Ь
+
ни унинг энг катта
қиймати (9.13) билан алмаштирамиз, у ҳолда
|
А х,(| -
а
- < - И / ! + / 1 ) | * Ғ - т ( / 1 + / э :
144
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ш у
билан (9.11) исботланди.
/ Д (
0
> )-/(7 * )
/ ( х т ) — Г{х(1))
(9.11) ни (9.10) га қўллаб,
ни ҳссил қиламиз, бу ерда 0 < ^ < 1. Бундан эса /(л:(0>) — 
/ ( х * )
= с деб белгилаб олиб, қуйидагига эга бўламиз:
Д * (1)) — 
/(х*) <
 
(1
— д,)
1
/ ( * <0)) — /( * * ) ]
= ( 1
— ?)
Шундай қилиб, ихтифий 
к
учун
Д х А) — Д х * ) < (1 — 
с])кс
ни ҳосил қиламиз. Энди 
х (к1
нинг 
х*
га^гнтилиш тезлигини учин-
чи нормада баҳолайлик, 
(А х
, 
х)
>
т(х, х)
бўлганлиги учун
||Зс(А> — X* !|з = (л:(А) — 
х*, х {к1 — х
*) <
~
(Лх(А> — 
Ъ, х (к1
—Зс*)..
Равшанки
(Ах{к1
— 
Ъ, 
Х { к )
 —
X * )
=
/ ( х {к1)
— 
/ ( х * ) .
Охирги икки ифодадан
_ 
_ 
„ 
1
_
_
с
||*(*> — х*||з < - 1 / ( * (‘ >)- / ( * * ) ] < “ (1 -
Ш у билан теорема исбот бўлди.
М и с о л . Ушбу системани
(5*1 +
2
х
2
+
х 3
+
х 4
— 7,
12Х) + 6*2 + -^з + аг4 = 11,
|*1
+
Х
2
+ 8згз +
2х± — 23,
№ +
х%
+ 2
а
:3 +
4хд =
17
с_ [М
 — 
т/ к
т
\УИ +
т)
*
градиентлар методи билан ечайлик.
Е ч и ш. Итерацион методда хато ўз-ўзидан тузатиладиган бўлганлигш 
учун, дастлабки қадамдаги ҳисоблашларни катта аниқликда олиб бориш шарг 
эмас. Дастлабки яқинлашиш сифатида /° > = (1, 1, 1, 1)' вектории оламиз, 
у ҳолда
71°> 
=
6
 
— Дх(0>=(9, 10, 12, 
8
)', 
А?{°1
= (12, 22, 115, 57)',
“о
(г<°>, г(0>) 
207
(г"°>, 
А
; (о>) = 1776 - ° * 117;
х (1> = (0,767; 1,117; 2,282; 2,049)'.
Навбатдаги қадамларни (9.5) — (9.7) формулалар ёрдамида давом эттирамизт
л:(2> = (0,008; 0,767; 2,006; 2,575)',
л:(3> = (0,105; 0,974; 2,124; 2,794)',
л(4) = (0,023; 0,980; 1,985; 2,898)', 
,
л:(5) = (0,028; 1,005; 2,027; 2,955)',
*«» = (0,007; 0,994; 2,002; 2,970)',
л:(7) = (0,00786; 1,00133; 2,00838; 2,98671)',
л:(8> = (0,002131; 0,998390; 2,000618; 2,990963)'.
10—2105
145
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

-Аниқ ечим 
х
* — (0, 1, 2, 3)г билан такрибий ечим орасидаги фарқ қуйидаги- 
^а экан
||Х(8) — 
=
/
(1<8> 
— X * , Х {Ъ )— 'Х * ) =
=
V
(0,002131)а + (0,001910)2 + (0.000618)2 + (0,009037)2 < 0,0095.
10-§. ҚЎ11ША ГРАДИЕНТЛАР МЕТОДИ 
Бу методнинг ҳам асосий ғояси градиентлар методи каби
/ ( х ) = (Л х, 
х ) — 2(Ь, х) 
-
 
(Ю-1)
;функционални минималлаштиришдан исоратдир. Худди ўтган пара-
трафдаги каби, бу ерда ҳам 
/ ( х )
га минимумни таъминловчи век-
тор х :,! симметрик ва мусбат аниқланган Л матрицали 
Ах — Ь
сис-
теманинг ечими бўлади. Бу метод ўзида аниқ ва итерацион метод-
ларнинг ижобий хусусиятларини мужассамлаштирган. Бу метод
итерацион метод сифатида ҳар доим яқинлашади ва ўз хатосини
ўзи тузатиб боради. Иккинчи томондан бирор 
дастлабки яқинла-
шиш танлангандан кейин, 
п-
 қадамда (ундан 
ўтмасдан) итерация
ткараёни узилиб, аниқ ечимни 
еради.
Қўшма градиентлар методини ноль элементлари кўп бўлган
тенгламалар системасини ечишда қўллаш маъқулдир, системани бу
метод билан ечганда матрица элементлари фақат векторга кўпай-
тиришдагина қатнашади, ЭҲМ ларда эса матрицани векторга кў-
пайтиришни шундай ташкил этиш мумкинки, арифметик амалларда
:нолдан фарқли элементлар қатнашсин.
Градиентлар методидагидек бирор дастлабки яқинлашиш векто-
ри л (0> =
(х\°\ х<2°>,
..........
х
<10)) ни танлаб олиб, навбэтдаги яқин-
.лашиш векторини
Л(1) = Х(0) + а
0
г(0)
(Ю.
2
)
«формула ёрдамида ҳосил қиламиз, бу ерда
71°> = (г(0>, г (0), . . . , гб») 
= Ь
- Л л(0),
(Ю.З)
а0 :
(7(0), г<°>)
~(Аг<и>, ?<°>) ' 
.
Навбатдаги яқинлашишни қуйидагича топамиз. л (0)