Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

 
.*;<'г+ 1>||1
+
дфс — 
х ( к \
 
(8.35)
•бўлади. Фараз қилайлик, т а х
\х(
 — лс
<.*+"1
 >[ га / =
5
 =
з(к)
бўлганда
1
^ришилсин:
— •*++1>| = т а х
\х
г — х<*+1>| = ||л: — лг(А'+
1
)Ц1.
■■V вақтда (8.35) да г =
5
деб олиб,
Дд: — 
л
<а+ 1>||1
< рДл:.— х
<1г+ 1>!|1
+ ^||3с — л
:<А>||1
€ки
1
|х — Х
<++1>||1
<
\\х — х 1к%
1 3 6
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

тенгсизликка эга бўламиз. Агар
[ц = т а х
I
41
1
—Р1
леб олсак, у ҳолда
||£ — 
х
<а+1>[|1 <
[ ^ Ц х
 — 
х ^ к %
тенгсизликка эга бўламиз.
Энди (х, < [», эканлигини кўрсатамиз.
Ҳақиқатан ҳам, (8.32) га кўра
п
Р
1
 + И — 
2
бўлганлиги учун
1=1. 1Ф1
Демак,
Ч 1 < Р —Р1-
41 
Р — Р1 
Р — №1
<
------- 1- < Т ------— = {».
1—
Р1
^ 1 — 
Р1
1 
— Р1
Бундан зса
> !< (»•
келиб чиқади. (8.36) тенгсизликдан
\\х
 — 
л ( * + 1 ) || 
<
|
а
*[+ 1 [ |
л
: — :х;<0 > ||1
<8-36)
(8.37)
яи ҳосил қиламиз. Бу эса теореманинг биринчи шарти бажарил-
ганда Зейдел методининг яқинлашишлигини билдиради. (8.37) тенг-
сизлик эса Зейдел методининг яқинлашиши оддий итерация мето-
дига нисбатан секин эмяслигини кўрсатадц.
Энди теореманинг иккинчи шарти бажарилганда Зейдел мето-
Дининг яқинлашишлигини кўрсатамиз.
П 
.
Биз бу ерда [У = 2 1я ц1 
оламиз.
/=
1
, 
1ф!
Фараз қилайлик, 
х = {х
^ х 2, . . . , 
х п)'
ва 
х {к)
=
{х^к\ х<2к\
х<к))'
мос равишда 
х = В х - \ - с
 
системанинг ечими ва ЗейдеЛг
жараёнининг 
к-
 яқинлашиши бўлсин. У ҳолда
/-1
п
Х 1
=
2
а ИХ 1
+
2
а Ч Х 1
+
@1 
/=1
 
/=/+1
/—1
п
х \к+1)
= 2
 
* ^ <к+г)
+
2
 
+ &
1=1 
1=1+1
{£
=
1 , 2
............
п).
13?
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Булардан
/—1 
п
1*1 —*{*+1,[ < 21«и11*у — *}*+1)1+ 2 \л1&\х} — х\к)\
/ = 1
 
/ = / + 1
келиб чиқади. Бу тенгсизликларни барча /.== 1 , 2 , . . . , « лар
бўйича йиғамиз:
2 1*, -
:“к 2 2
1
- д:1*+,,|+ 2 2 |а«| 
'х 1 ~
/=1 
, 
1
“
1 / = 1
 
/ = 1
/ 
= /+1 
'
^амда йиғиш тартибини ўзгартғрсак,
1=1 
/= 1
/= /+ 1
+ 2 1 * > - * } * ,1 2 М -
(8.38)
/ = 1
 
/=п
Энди
п 
/ - 1
“ 2 1а.у!. = 2 1 4 (/ = !> 2........... - 1)
/ = / + 1
 
1=1
ва
п
~ 0 , / „ =
2
[а 1/1
‘=
1
. !+/-■ 
■
деб оламиз. Кўриниб турибдики,
П
5 _ / + / у =
2
I0'-!/! ^
1
л'/ <
1
 •
1
=
1
. 
1+1
Бундан эса, 
5
у< 1 келиб чиқади. (8.38) тенгсизлик қуйидаги
2 [*, - *{*+1,| < 2 +!+■ - х/к+1)\+ 2
~ *Г1
й
-»1
 
/ “ 1
 
У
= 1
€ки
2
(
1
- М * / - * } * +
1
,| <
2
*/ ! * / - * < + !
/ = 
1
 
/=1 
кўринишга эга бўлади.
Энди /; <
— 
5
;- < |х'—
5
/(
а
' = ^'(1 — 
5
;) бўлганлиги учун
• 
2 0
-
+ ) ! + -
 
*}*+1,1
 
2
(
1
-
 
5
/ )
1
х
у. -
* < * > ! < (
р
')*2
 
(1
/=1
;=1
■5;)!
х
г - х].°>)
/=1
138
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

келиб чиқади. Бундан зса, [х' < 1 бўлганлиги учун
П
ҳосил бўлади. Демак,
Птх<.&) = л:у (у =
1
, 
2
, . . . , 
п)
к-+
оо
ҳосил бўлиб, шу билан теорема тўлиқ исбот қилинди.
Энди мисол кўрамиз.
Мисол. Зейдел метсди билан (8.24) системанинг ечими 5 хона аниқлшс- 
да топилсин.
Е ч и ш. Г8 24) системани (8.25) кўринишда ёзиб оламиз ва дастлабки 
яқинлашиш 
х
<0) си4 атида оддий итерация методидагидек Д 0) = (0,6; 0,44; 
0,95; 1; 1,6)' деб оламиз. Бу ерда итерациянинг фақат бир қадамини келти- 
рамиз:
х \ 1)
= 0 , 6 - 0 , 1Д,0) + 0 , 3 4 0) +0,2л:<0) — 0 ,1 ^ 0) = 0,6 — 0,1 -0,44 + О.ЗХ 
ХО,95 +
0 ,2 -1 -0 ,1 -1 ,6
= 
0,881;
X <]) = 0,44 + О ^ - л 41’ — 0,04.л:<0> + 0 ,2 ^ 0)+ 0 ,0 8 4 0> = °.44 + 0,04-0,881— 
— 0,04 0,95 + 0 ,2 -1 + 0,08-1,6 = 0,771; 
.
4 ]) = 0,95 + 0.1ДД + О.Об-кў* + 0,1 Д 0) — 0,15+10) = 0,95 + 0,1-0,881 +
+ 0,05-0,771 + 0,1-1 — 0,15-0,16 = 0,937;
4 1) = 1 — 0 ,1 4 1) + 0,1х<и + 0 ,5 4 °’ = 1.817;
4 1» = 1,6+0,054,)+ 0 .1 4 1* + О.ОбД1’ + О .Ц 11 “ 1.948.
Кейинги яқинлашишлар 14- жадвалда келтирилган.
Бу ерда 6 -теореманинг шарти ўринли бўлганлиги учун оддий итерация- 
га нисбатан Зейдел итерацияси тезроқ яқинлашмоқда.
■
14- жадвал
к
.*<*)
Х1
,(*)
х2
А к)
хз
х (к) 
■ 
х 4
М
л 5
0
0,6
0,44
0,95
1
1,6
1
0,881
0,771
0,937
1,817
1,948
2
0,973
0,961
0,985
1,974
1,992
3
0,995
0,995
0,999
1,996
1,999
4
0,9995
0,9991
0.9997
1,9995
1,9998
5
0,99992
0,99989
0,99997
1,99991
1,99997
6
0,99999
0,99998
0,99999
1,99999
2,00000
9- §. ГРАДИЕНТЛАР (ЗНГ ТЕЗ ТУШИШ) МЕТОДИ
Бу метод ҳақиқий симметрик мусбат аниқланган матрицали,
чизиқли алгебраик тенгламалар
А х =
Ъ
(9.1)
системасини ечиш учун мўлжалланган.
139
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Градиентлар. методини баён қилишдан аввал функционал гради-
енти тушунчасига қисқача тўхталиб ўтамиз.
Фараз қилайлик, 
/ ( х ) п
ўлчовли 
х = {хи х 2, 
, х п)'
век-
торнинг бирор функционали бўлиб, 
у = {уи
у 2, . . . , 
у пу
узун-
лиги бирга тенг бўлган вектор бўлсин.
Функциянинг ўсиш ёки камайиш тезлигини унинг ҳосиласи ха-
рактерлаганидек, / функционалнинг 
х
„аргументи“ у 
йўналиши
бўйича ўзгарганда, унинг ўзгариш тезлигини функционалнинг ҳ о -
силаси аниқлайди. /
функционалшнг х нуқтада у йўналииш
бўйияа ҳосиласи
деб ушбу
д/(х)
ду
]
1
Ш / й + «~?) —
/(х)
о
-+-0
а
/~а/ ( х
+ “У)1«=о
ифодага айтилади. Бу таърифдан
"
А х
+
«у) 
=
А х \ + а Уи 
х 2
+
а Ў 2
..............
.......
+ “
Ў п )
бўлганлиги учун
бу ерда
^ д Г
=
+
*Уи
 
+
а У ъ
-------
Хп +
 
аУл)1а=0
д/(хГ
 
. 
д/(х)
 
, 
д/(7)
 
- —
“
дХ1
У 1 +
Уа + - ' - + 5 1 7 У « = (^ У),
(9.2)
2
= (
21
. « * , • • • ,
2
«)', 
2
;
дДх)
дх I
г
вектор 
/ ( х ) функционалнинг градиенти
дейилади. (9.2) тенг-
ликда |(у |) =
1
бўлганлиги учун
/~ лл
Л = | |
2
,|с о з(г , у)
ду
келиб чиқади, бундан эса
1|2|| < ^
< 1М (.
Ш у билан бирга агар у_нинг йўналиши градиент йўналиши
д/(х)
 
-. 
_
билан устма-уст тушса, 
==\\г\\
ва у нинг йўналиши градиент
д/(х)
 
_
йўналишига қарама-қарши бўлса, — 
= — 
\[г\\.
Шундай қилиб,.
0 /
градиент йўналиши бўйлаб 
/ ( х )
функционал катта тезлик билан
ў'сар зкац ва градиент йўналишига тескари бўлган йўналиш б ў -
йича у катта тезлик билан камаяр зкан.
Энди градиентлар методига ўтамиз.
Градиентлар методида (9.1) системани ечиш учун
/ ( х )
= (
А х , ~) — 2(Ь, ~)
( 9 , 3 )
140
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

функционал қаралади. Бу функционал 
х и
х 2, . . . , 
х п
ларга нис-
батан иккинчи тартибли кўпҳаддир. х * орқали (9.1) системанинг
ечимини, яъни 
х* = А~1Ь
ни белгилаймиз.
А
матрица симметрик ва мусбат аниҳланган бўлганлиги учун
/ ( х ) — /(х*)
 =
(Ах, х) — 2(Ь, х) —
 (Л х*, х*) + 2
(Ь, х*)
=
=
(Ах, х) — 2(Ах*,
х) — (Л х*, х * ) +
2(Ах*, х)
 =
(Ах, х)
 —
— 
(Ах*, х)
 — (Л х*, х ) +
( А х \ х*) = (А(х
 — х*), х — х * ) > 0 .
Ш у билан бирга сўнгги ифодада х = х*
бўлгандагина, тенглик
ишораси ўринли бўлади. Шундай қилиб, (9.1) системани ечиш
масаласи (9.3) функционални минимумга айлантирадиган х* вектор-
ни топишга келтирилади. Бундай векторни топиш учун қуйидаги-
ча иш кўрамиз.
Фараз қилайлик, х (0) ихтиёрий дастлабки яқинлашиш вектори
бўлсин- (9.3) функционалнинг градиентини ҳисоблаймиз:
д/(х) 
д
_ 
_
й 
,
—. 
— 
— — 
-
=
£ , / ( х
+ ау)[„_о =
^ (А(х
 +
ау)
-
2
Ь, X
 +ау)[а=о =
=
Ха
 1а2(л +
У) ~ 2а(Ь— А х , у)
+ /(х)]а=о = — 2 
(Ь — Ах, у)
 =»
=
2
(Л х — 
Ъ,
у).
Буни (9.2) билан солиштириб, / ( х ) нинг градиенти 2
(Ах — Ь)
га
тенг эканлигини кўрамиз. Кейинги текширишларда фақат градиент-
нинг йўналишигина керак бўлганлиги учун градиент ўрнига мус-
бат кўпайтувчи 2 ни ташлаб, Л х — 
Ь
векторни қараймиз. х (о> нуқ-
тада йўналиши градиент йўналишига теекари бўлган векторни г (0>
орқали белгилаймиз:
ў(о)= / ’_ Л х (°). 
(9.4)
Бу вектор (9.1) 
системанинг хатолик вектори
дейилади.
Л°) векторнинг йўналишида / ( х ) функционалнинг х (0> нуқтадаги
камайиш тезлиги энг катта бўлади. х (0> нуқтадан бошлаб г (0) йў-
яалиш бўйича / ( х (0) + аг(0)) минимал қийматига эришгунга қадар
ҳаракатни давом эттирамиз. Бу нуқтани
1/(х< °> + аг(0)) = 2а(Л г(0), г(0)) — 2
(Ь
 — Л х (0), г (0)) = 0
тенгламадан топамиз:
“о —
(7<0), 
г(0)) 
(7(0), л 7 (0))
(9.5)
А
матрица мусб_ат аниқланган_бўлганлиги сабабли барча г (0)=+
ФО
учун (г(0), Л г(
0
)) > 0 . Агар г (0)= 0 бўлса, у ҳолда (9.4) дан