Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

биринчи тартибли энг умумий чизиқли методи қуйидаги
х0*+')
=
+7<*> 
(8.3)
кўринишга зга бўлиб, бу ерда 
Вк —
 квадрат матрица ва с —
вектор. Биз (8.2) ва (8.3) итерацион методларга табиий равишда
(
8
.
1
) нинг аниқ ечими 
х*=А~Ч>
қўзғалмас нуқта бўлиши керак,
яъни ;ё<°> сифатида аниқ ечим 
х*
олинганда кейинги яқинлашиш-
лар хам 
х*
га тенг бўлиши керак деған талабни қўйишимиз ке-
рак. Бу зса биринчи тартибли чизиқли метод учун ушбу
А~Ч> = В кА~~Ь + сл
 
(8.4)
ёки
ск 
= ( Е - В к)А-'Ь =
СкЪ
 
(8.5)
тенгликларга олиб келади. Ўз навбатида (8.5) дан
’ 
Вк + СкА = Е
 
(
8
.
6
)
тенглик келиб чиқади. (8.5) дан фойдаланиб, (8.3) итерацион жа-
раённи қуйидагича ёзишимиз мумкин:
Т<*+1> = £*Зс<*>+С*&. 
(8.7)
Бу ерда 
Вк
ва 
Ск
матрицалар 
Ъ
 
га боғлиқ эмас. Энди (
8
.
6
) ни
(8.7) га келтириб қўйсак,
3 + + » = х -
Ск {АхМ - Ь)
 
(
8
.
8
)
қосил бўлади.
Агар 
С
к 1
матрица мавжуд бўлса, у ҳолда (8.7) нинг иккалз
томонини чапдан 
Ск 1
га кўпайтириб,
Л * л
:(*+1
 > + Ғ*Зс<« = й 
(8.9)
ни ҳосил қиламиз. Табиийки, бу ерда
£>* + Ғ й ^ Д
(
8
.
10
)
тенглик бажарилиши керак. (8.9) тенглик х<^+!> ни ошкормас кў-
ринишда аниқлайди. Шунинг учун ҳам 
О к
шундай матрица бў-
лиши керакки, 
й к г
ни топиш қийин бўлмасин. Одатда 
й к
сифати-
да диагонал ёки учбурчак матрица олинади. Биринчи ҳолда 
ме-
тод тўлиқ қадамли
, иккинчи ҳолда эса 
бир қадамли
дейила-
Ди.
Кетма-кет яқинлашишлар, биринчи тартибли чизиқли методлар-
нинг турлИ кўринишлари асосан (8.7) — (8.10) формулалар ёрдами-
127
,
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

да амалга оширилади. Ж уда кўп чизиқли ва чизиқли бўлмаган
кетма-кет яқинлашиш методларини
/ ( * ) =
\\Ах - Ь\\2
функнионални 
энг кичик квадратлар методи
ёки бошқа метод*
лар билан минималлаштириш натижасида ҳосил қилиш мумкин.
О ддий итерация м етоди . Фараз қилайлик,
Ах=~Ь
 
(8.11)
система бирор усул билан
,х = Вх + Ъ
 
(
8
.
12
)
кўринишга келтирилган бўлсин, қандай келтириш кераклигини ке-
йинчалик кўриб ўтамиз ва дастлабки яқинлашиш вектори х (0) би-
рор усул бйлан (масалан, х (0> =
с
каби) топилган бўлсин. Агар
кейинги яқинлашишлар.
л ( * > =
Ь х ^ ) + ~ с ,
(7г =
1
, 
2
, . . . ) 
(8.13)
рекуррент формулалар ёрдамида топилса, бундай метод 
оддий ите
-
ргция методи
дейилади. (
8
.
12
) дан кўрамизки, оддий итерация
методи бу биринчи тартибли тўлиқ қадамли итерацион методдир.
Агар (8.13) кетма-кетликнинг лимити л'* мавжуд бўлса, (бу ли-
мит (8.13) системанинг, (шу билан (8.11) системанинг ҳам) ечими
бўлади.
Ҳақиқатан ҳам, (8.13) тенгликда лимитга ўтсак, 
х* = Вх* + с
келиб чиқади.
Оддий итерация методининг яқинлашиш шартини аниқлайлик.
1-т ео р ем а . (8.13) оддий итеоация жараёни ўзининг ихтигрий
дастлабки яқинлашиш вектори л:(0) да яқинлашувчи бўлиши учун
В
матрицанинг барча хос сонлари бирдан кичик бўлиши зарур ва
кифоядир.
И сб о т . З а р у _ р л и г и .
Фараз қилайлик, ихтиёрий дастлдбки
вектор 
учун Н шх (к> = х * лимит мавжуд бўлсин. У ҳолда Зс* = .
_ 
_
к
оо
= Вх* + с.
(8.13) ни бу тенгликдан айириб, қуйидагиларни ҳосил
қиламиз:
х *
 
— 
х ^ = В{х*
— 
) =
В2(х*
— 
) = = . . . =
Вк(х*
—
х {0К
Энди 
х* —
 х (0) вектор 
к
га боғлиқ бўлмаганлиги учун
л:* — 
х<к)
=
Вк(х*
— л:(0))